In questo articolo discuteremo la differenza simmetrica tra due insiemi. Qui discuteremo anche le proprietà della differenza simmetrica tra due insiemi.
Spero che questo articolo ti sia utile per comprendere la differenza simmetrica tra due insiemi.
Cos'è una differenza simmetrica?
Un'altra variante della differenza è la differenza simmetrica. Supponiamo che ci siano due insiemi, A e B. La differenza simmetrica tra entrambi gli insiemi A e B è l'insieme che contiene gli elementi presenti in entrambi gli insiemi tranne gli elementi comuni.
La differenza simmetrica tra due insiemi è detta anche a unione disgiuntiva . La differenza simmetrica tra due insiemi è un insieme di elementi che si trovano in entrambi gli insiemi ma non nella loro intersezione. La differenza simmetrica tra due insiemi A e B è rappresentata da AD B O UN ? B .
Possiamo capirlo tramite esempi.
Esempio 1 Supponiamo che ci siano due insiemi con alcuni elementi.
Imposta A = {1, 2, 3, 4, 5}
Insieme B = {3, 5}
Quindi, la differenza simmetrica tra gli insiemi A e B dati è {1, 2, 4}
Oppure possiamo dirlo AΔB = {1, 2, 4} .
Esempio2 Supponiamo che ci siano due insiemi con alcuni elementi.
Imposta A = {a, b, c, k, m, n}
Insieme B = {c, n}
Quindi, la differenza simmetrica tra gli insiemi A e B dati è {a, b, k, m}
Oppure possiamo dirlo AΔB = {a, b, k, m} .
Nel diagramma di Venn qui sotto, puoi vedere la differenza simmetrica tra i due insiemi.
La parte ombreggiata con il colore della pelle nel diagramma di Venn sopra è la differenza simmetrica tra i set dati, cioè AD B .
Vediamo alcune proprietà della differenza simmetrica tra due insiemi.
Proprietà
Alcune proprietà della differenza simmetrica sono elencate come segue;
- La differenza simmetrica può essere rappresentata come l'unione di entrambi i complementi relativi, cioè
AΔB = (A/B) ∪ (B/A) - La differenza simmetrica tra due insiemi può anche essere espressa come l'unione di due insiemi meno l'intersezione tra loro -
UNΔB = (A∪B) - (A∩B) - La differenza simmetrica è sia commutativa che associativa:
AΔB = BΔA
(AΔB) ΔC = AΔ (BΔC) - L'insieme vuoto è neutro (in matematica, un elemento neutro è detto un tipo speciale di elemento che, quando combinato con qualsiasi elemento dell'insieme per eseguire un'operazione binaria, lascia l'elemento invariato. È noto anche come Elemento identitario ).
AΔ∅ = A
AΔA = ∅ - Se l'insieme A è uguale all'insieme B, la differenza simmetrica tra i due insiemi è:
A Δ B = ∅ {quando A = B}
'Differenza simmetrica tra due insiemi' v/s 'Differenza tra due insiemi'
Differenza tra due insiemi
La differenza tra due insiemi A e B è un insieme di tutti quegli elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B e si indica con A-B .
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5, 6}
allora A - B = {3, 4} e B - A = {5, 6}
Differenza simmetrica tra due insiemi
La differenza simmetrica tra due insiemi, A e B, è l'insieme contenente tutti gli elementi che sono in A o B ma non in entrambi. È rappresentato da AD B O UN ? B .
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5, 6}
allora AΔB = {1, 2, 5, 6}
Vediamo ora alcuni esempi per comprendere più chiaramente la differenza simmetrica tra due insiemi.
Domanda 1 - Supponiamo di avere gli insiemi A = {10, 15, 17, 19, 20} e B = {15, 16, 18}. Scopri la differenza tra i due insiemi A e B e scopri anche la differenza simmetrica tra loro.
Soluzione - Dato,
cento contro rhel
A = {10, 15, 17, 19, 20}
e B = {15, 16, 18}
La differenza tra i due set è:
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
La differenza simmetrica tra i due insiemi è:
AΔ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Domanda 2 - Supponiamo di avere gli insiemi A = {2, 4, 6, 8} e B = {2, 5, 7, 8}. Scopri la differenza simmetrica B Δ A. Inoltre, disegna il diagramma di Venn per rappresentare la differenza simmetrica tra entrambi gli insiemi dati.
Soluzione - Dati, A = {2, 4, 6, 8} e B = {2, 5, 7, 8}
Sappiamo che B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Proviamo a risolvere la domanda passo dopo passo. Quindi il primo passo è trovare l’unione dell’insieme A e dell’insieme B.
Pertanto, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Successivamente, dobbiamo calcolare l'intersezione tra i due insiemi.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Ora dobbiamo trovare la differenza tra l'unione e l'intersezione degli insiemi A e B, come indicato nella formula,
Quindi, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Pertanto, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Che sarà uguale a A Δ B, come detto sopra, 'La differenza simmetrica è commutativa'. Ora mostreremo la differenza simmetrica tra i due insiemi tramite il diagramma di Venn.
Nel diagramma di Venn, per prima cosa disegneremo due cerchi che rappresentano gli insiemi A e B. Come calcolato sopra, l'intersezione tra entrambi gli insiemi è {2, 8}, quindi abbiamo elencato questi elementi nella regione di intersezione. Quindi, elenchiamo gli elementi rimanenti nei rispettivi cerchi dell'insieme, ovvero {4, 6} nell'insieme A e {5, 7} nell'insieme B. Dopo aver disposto gli elementi, il diagramma di Venn sarà:
Quando guardiamo il diagramma di Venn sopra, c'è un insieme universale U. Entrambi gli insiemi A e B sono il sottoinsieme dell'insieme universale U. Gli elementi {2, 8} sono gli elementi che si intersecano, quindi sono rappresentati nella regione di intersezione. La regione di colore arancione chiaro è l'unione di insiemi ad eccezione della regione che si interseca. Questa regione è la differenza simmetrica tra i due insiemi A e B e sarà rappresentata come:
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Domanda 3 - Supponiamo di avere gli insiemi A = {5, 6, 8, 9, 10} e B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Dimostrare che la differenza simmetrica è commutativa utilizzando gli insiemi dati.
Soluzione - Dati, A = {5, 6, 8, 9, 10} e B = {2, 7, 8, 9, 10}
Provare: AΔB = BΔA
Prendi LHS,
UNΔB = (A∪B) - (A∩B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Quindi, AΔB = {2, 5, 6, 7}
Ora prendi RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Quindi, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Pertanto AΔB = BΔA
Quindi la differenza simmetrica è commutativa.