La trigonometria è un'importante branca della matematica che si occupa della relazione tra gli angoli e le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. I sei rapporti o funzioni trigonometrici sono seno, coseno, tangente, cosecante e secante, e un rapporto trigonometrico è un rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo. Le funzioni seno, coseno e tangente sono tre importanti funzioni trigonometriche poiché le altre tre, cioè le funzioni cosecante, secante e cotangente, sono le funzioni reciproche delle funzioni seno, coseno e tangente, rispettivamente.

• sin θ = lato opposto/ipotenusa
• cos θ = Lato adiacente/Ipotenusa
• tan θ = Lato opposto/Lato adiacente
• cosec θ = Ipotenusa/Lato opposto
• sec θ = Ipotenusa/Lato adiacente
• lettino θ = Lato adiacente/Lato opposto

La funzione tangente è una delle 6 funzioni trigonometriche utilizzate in formule di trigonometria .

Tabella dei contenuti

• Formula tangente
• Alcune formule fondamentali della tangente
• Funzione tangente in termini di funzione seno
• Funzione tangente in termini di funzione coseno
• Funzione tangente in termini di funzione cotangente
• Funzione tangente in termini di funzione cosecante
• Funzione tangente in termini di funzione secante

Formula tangente

La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente all'angolo dato. Scriviamo una funzione tangente come tan. Consideriamo un triangolo rettangolo XYZ e uno dei suoi angoli acuti è θ. Un lato opposto è il lato opposto all'angolo θ e il lato adiacente è il lato adiacente all'angolo θ.

Ora, la formula della tangente per l'angolo dato θ è,

tan θ = Lato opposto/Lato adiacente

Alcune formule fondamentali della tangente

Funzione tangente nei quadranti

La funzione tangente è positiva nel primo e terzo quadrante e negativa nel secondo e quarto quadrante.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stquadrante)
• abbronzatura (π – θ) = – abbronzatura θ (2^ndquadrante)
• abbronzatura (π + θ) = abbronzatura θ (3^rdquadrante)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thquadrante)

Funzione tangente come funzione negativa

La funzione tangente è una funzione negativa poiché la tangente di un angolo negativo è il negativo di un angolo tangente positivo.

tan (-θ) = – tan θ

Funzione tangente in termini di funzione seno e coseno

La funzione tangente in termini di funzioni seno e coseno può essere scritta come,

tan θ = sin θ/cos θ

Sappiamo che tan θ = Lato opposto/Lato adiacente

Ora dividi sia il numeratore che il denominatore con l'ipotenusa

tan θ = (lato opposto/ipotenusa)/(lato adiacente/ipotenusa)

Sappiamo che sin θ = lato opposto/ipotenusa

cos θ = lato adiacente/ipotenusa

Quindi, tan θ = sin θ/cos θ

Funzione tangente in termini di funzione seno

La funzione tangente in termini della funzione seno può essere scritta come,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² io)

Lo sappiamo,

tan θ = sin θ/cos θ

puntatori in c

Dalle identità pitagoriche, abbiamo,

senza²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – peccato²io

cos θ = √(1 – sin²io)

Quindi, tan θ = sin θ/(√1 – sin²io)

Funzione tangente in termini di funzione coseno

La funzione tangente in termini della funzione coseno può essere scritta come,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Lo sappiamo,

tan θ = sin θ/cos θ

Dalle identità pitagoriche, abbiamo,

senza²θ + cos²θ = 1

senza²θ = 1 – cos²io

peccato θ = √(1 – cos²io)

Quindi, tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Funzione tangente in termini di funzione cotangente

La funzione tangente in termini della funzione cotangente può essere scritta come,

marrone chiaro θ = 1/culla θ

O

marrone chiaro θ = lettino (90° – θ) (o) lettino (π/2 – θ)

Funzione tangente in termini di funzione cosecante

La funzione tangente in termini della funzione cosecante può essere scritta come,

tan θ = 1/√(cosec ² io-1)

Dalle identità pitagoriche, abbiamo,

cosec²θ – lettino²θ = 1

culla²θ = cosec²io – 1

lettino θ = √(cosec²io-1)

Lo sappiamo,

marrone chiaro θ = 1/culla θ

Quindi, tan θ = 1/√(cosec²io-1)

Funzione tangente in termini di funzione secante

La funzione tangente in termini della funzione secante può essere scritta come,

tan θ = √sec ² io – 1

Dalle identità pitagoriche, abbiamo,

sez²θ – quindi²θ = 1

tan θ = sec²io – 1

Quindi, tan θ = √(sec²io-1)

Funzione tangente in termini di doppio angolo

La funzione tangente per un doppio angolo è:

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² io)

Funzione tangente in termini di triplo angolo

La funzione tangente per un triplo angolo è:

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² io)

Funzione tangente in termini di semiangolo

La funzione tangente per un semiangolo è:

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Funzione tangente in termini di addizione e sottrazione di due angoli

Le formule di somma e differenza per una funzione tangente sono:

abbronzatura (A + B) = (abbronzatura A + abbronzatura B)/(1 – abbronzatura A abbronzatura B)

abbronzatura (A – B) = (abbronzatura A – abbronzatura B)/(1 + abbronzatura A abbronzatura B)

Tabella dei rapporti trigonometrici

Esempio risolto sulle formule tangenti

Esempio 1: Trova il valore di tan θ se sin θ = 2/5 e θ è l'angolo del primo quadrante.

Soluzione:

Dato,

• peccato θ = 2/5

Dalle identità pitagoriche che abbiamo,

senza²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – peccato²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cosθ = ±√21/5

Poiché θ è l'angolo del primo quadrante, cos θ è positivo.

cosθ = √21/5

Lo sappiamo,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

marrone chiaro θ = 2√21 /21

Quindi, il valore di tan θ quando sin θ = 2/5 e θ è nel primo quadrante è (2√21) /(21)

Esempio 2: Trova il valore di tan x se sec x = 13/12 ex è l'angolo del quarto quadrante.

Soluzione:

Dato, sec x = 13/12

Dalle identità pitagoriche, abbiamo,

sez²x – quindi²x = 1

COS̲x = sec²x – 1= (13/12)²-1

COS̲x = (169/144) – 1= 25/144

marrone chiaro x = ± 5/12

Poiché x è l'angolo del quarto quadrante, tan x è negativo.

abbronzatura x = – 5/12

Quindi, abbronzatura x = – 5/12

Esempio 3: Se tan X = 2/3 e tan Y = 1/2, qual è il valore di tan (X + Y)?

Soluzione:

Dato,

abbronzatura X = 2/3 e abbronzatura Y = 1/2

Lo sappiamo,

abbronzatura (X + Y) = (abbronzatura X + abbronzatura Y)/(1 – abbronzatura X abbronzatura Y)

marrone chiaro (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

elenca come array

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Quindi, tan(X + Y) = 7/4

Esempio 4: Calcola la funzione tangente se i lati adiacenti e opposti di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 4 cm e 7 cm.

Soluzione:

Dato,

Lato adiacente = 4 cm

Lato opposto = 7 cm

Lo sappiamo,

tan θ = Lato opposto/Lato adiacente

marrone chiaro θ = 7/4 = 1,75

Quindi, marrone chiaro θ = 1,75

Esempio 5: Un uomo guarda la torre dell'orologio con un angolo di 60° rispetto alla cima della torre, la cui altezza è di 100 m. Qual è la distanza tra l'uomo e i piedi della torre?

Soluzione:

Dato,

Altezza della torre = 100 me θ = 60°

Sia la distanza tra uomo e piede della torre = d

Abbiamo,

tan θ = Lato opposto/Lato adiacente

abbronzatura 60° = 100/d

√3 = 100/d [Poiché, quindi 60° = √3]

d = 100/√3

Pertanto, la distanza tra l'uomo e i piedi della torre è 100/√3

Esempio 6: Trova il valore di tan θ se sin θ = 7/25 e sec θ = 25/24.

Soluzione:

Dato,

peccato θ = 7/25

secθ = 25/24

Lo sappiamo,

secθ = 1/cosθ

25/24 = 1/cosθ cosθ = 24/25

Abbiamo,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Quindi, abbronzatura θ = 7/24

Esempio 7: Trova il valore di tan θ se cosec θ = 5/3 e θ è l'angolo del primo quadrante.

Soluzione:

Dato, cosec θ = 5/3

Dalle identità pitagoriche, abbiamo,

123film

cosec²θ – lettino²θ = 1

culla²θ = cosec²io – 1

lettino θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

lettino θ = ±√16/9 = ± 4/3

Poiché θ è l'angolo del primo quadrante, sia la funzione cotangente che quella tangente sono positive.

lettino θ = 4/3

Lo sappiamo,

lettino θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

marrone chiaro θ = 3/4

Quindi, marrone chiaro θ = 3/4

Esempio 8: Trova tan 3θ se sin θ = 3/7 e θ è l'angolo del primo quadrante.

Soluzione:

Dato, peccato θ = 12/13

Dalle identità pitagoriche che abbiamo,

senza²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – peccato²θ = 1 – (12/13)²

cos2θ = 1 – (144/169) = 25/169

cosθ = ±√25/169 = ±5/13

Poiché θ è l'angolo del primo quadrante, cos θ è positivo.

cosθ = 5/13

Lo sappiamo,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Quindi, tan θ = 12/5

Ora, lo sappiamo,

tan3θ = (3 tanθ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

marrone chiaro 3θ = 3 × (12/5)