Le formule trigonometriche sono equazioni che mettono in relazione i lati e gli angoli dei triangoli. Sono essenziali per risolvere un'ampia gamma di problemi in matematica, fisica, ingegneria e altri campi.

Ecco alcuni dei tipi più comuni di formule trigonometriche:

• Definizioni di base: Queste formule definiscono i rapporti trigonometrici (seno, coseno, tangente, ecc.) in termini di lati di un triangolo rettangolo.
• Teorema di Pitagora: Questo teorema mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.
• Relazioni angolari: Queste formule mettono in relazione i rapporti trigonometrici di diversi angoli, come le formule di somma e differenza, le formule di doppio angolo e le formule di semiangolo.
• Identità reciproche: Queste formule esprimono un rapporto trigonometrico in termini di un altro, ad esempio sin(θ) = 1/coc(θ).
• Cerchio unitario: Il cerchio unitario è una rappresentazione grafica dei rapporti trigonometrici e può essere utilizzato per derivare molte altre formule.
• Legge dei seni e legge dei coseni: Queste leggi mettono in relazione i lati e gli angoli di qualsiasi triangolo, non solo dei triangoli rettangoli.

Continua a leggere per conoscere diverse formule e identità trigonometriche, esempi risolti e problemi pratici.

Tabella dei contenuti

• Cos'è la trigonometria?
• Panoramica sulle formule di trigonometria
• Rapporti trigonometrici di base
• Identità trigonometriche
• Elenco delle formule di trigonometria

Cos'è la trigonometria?

La trigonometria è definita come una branca della matematica che si concentra sullo studio delle relazioni che coinvolgono le lunghezze e gli angoli dei triangoli. La trigonometria consiste in diversi tipi di problemi che possono essere risolti utilizzando formule e identità trigonometriche.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche sono funzioni matematiche che mettono in relazione gli angoli di un triangolo rettangolo con le lunghezze dei suoi lati. Hanno ampie applicazioni in vari campi come fisica, ingegneria, astronomia e altro ancora. Le principali funzioni trigonometriche includono seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante.

Panoramica sulle formule di trigonometria

Le formule trigonometriche sono espressioni matematiche che mettono in relazione gli angoli e i lati di a Triangolo rettangolo . Ci sono 3 lati di un triangolo rettangolo è fatto di:

• Ipotenusa : Questo è il lato più lungo di un triangolo rettangolo.
• Perpendicolare/Lato opposto : È il lato che forma un angolo retto rispetto all'angolo dato.
• Base : La base si riferisce al cateto adiacente dove sono collegati sia l'ipotenusa che il cateto opposto.

Rapporto trigonometrico

Tutti i rapporti trigonometrici, le identità dei prodotti, le formule dei semiangoli, le formule dei doppi angoli, le identità delle somme e delle differenze, le identità delle cofunzioni, il segno dei rapporti nei diversi quadranti, ecc. sono qui brevemente forniti per gli studenti delle Classi 9, 10, 11, 12 .

Java è vuoto

Ecco l'elenco delle formule di trigonometria di cui parleremo:

• Formule di rapporto trigonometrico di base
• Formule del cerchio unitario
• Identità trigonometriche

Rapporti trigonometrici di base

In trigonometria ci sono 6 rapporti. Queste sono chiamate funzioni trigonometriche. Di seguito è riportato l'elenco di rapporti trigonometrici , inclusi seno, coseno, secante, cosecante, tangente e cotangente.

Formula del cerchio unitario in trigonometria

Per un cerchio unitario, per il quale il raggio è uguale a 1, io è l'angolo. I valori dell'ipotenusa e della base sono uguali al raggio del cerchio unitario.

Ipotenusa = lato adiacente (base) = 1

I rapporti della trigonometria sono dati da:

• peccato θ = y/1 = y
• cosθ = x/1 = x
• marrone chiaro θ = y/x
• lettino θ = x/y
• secθ = 1/x
• cosecθ = 1/a

Diagramma delle funzioni trigonometriche

Identità trigonometriche

La relazione tra le funzioni trigonometriche è espressa tramite identità trigonometriche, a volte denominate identità trigonometriche o formule trigonometriche. Rimangono veri per tutti i valori dei numeri reali delle variabili assegnate in essi.

• Identità reciproche
• Identità pitagoriche
• Identità di periodicità (in radianti)
• Formula degli angoli pari e dispari
• Identità cofunzionali (in Gradi)
• Identità di somma e differenza
• Identità a doppio angolo
• Formule di trigonometria inversa
• Identità a triplo angolo
• Identità di mezzo angolo
• Somma alle identità del prodotto
• Identità del prodotto

Discutiamo queste identità in dettaglio.

Identità reciproche

Tutte le identità reciproche si ottengono utilizzando come riferimento un triangolo rettangolo. Le identità reciproche sono le seguenti:

• cosec θ = 1/sen θ
• secθ = 1/cosθ
• lettino θ = 1/tan θ
• peccato θ = 1/cosec θ
• cosθ = 1/secθ
• marrone chiaro θ = 1/culla θ

Identità pitagoriche

Secondo il teorema di Pitagora, in un triangolo rettangolo, se “c” è l’ipotenusa e “a” e “b” sono i due cateti allora c2 = a2 + b2. Possiamo ottenere identità pitagoriche usando questo teorema e i rapporti trigonometrici. Usiamo queste identità per convertire un rapporto trigonometrico in un altro .

• senza²θ + cos²θ = 1
• 1 + così²θ = sez²io
• 1 + lettino²θ = cosec²io

Grafico delle formule di trigonometria

Identità di periodicità (in radianti)

Queste identità possono essere utilizzate per spostare gli angoli di π/2, π, 2π, ecc. Queste sono anche note come identità di co-funzione.

Tutto identità trigonometriche ripetersi dopo un determinato periodo. Quindi sono di natura ciclica. Questo periodo per la ripetizione dei valori è diverso per le diverse identità trigonometriche.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A e cos (2π + A) = cos A

Ecco una tabella che confronta le proprietà trigonometriche in diversi quadranti:

Formula degli angoli pari e dispari

Le formule degli angoli pari e dispari, note anche come identità pari-dispari, vengono utilizzate per esprimere le funzioni trigonometriche degli angoli negativi in ​​termini di angoli positivi. Queste formule trigonometriche si basano sulle proprietà delle funzioni pari e dispari.

• peccato(-θ) = -senθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• lettino(-θ) = -lettinoθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Identità cofunzionali (in Gradi)

Le identità di cofunzioni ci danno l'interrelazione tra varie funzioni trigonometriche. Le cofunzioni sono elencate qui in gradi:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = lettino x
• lettino(90°−x) = abbronzatura x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Identità di somma e differenza

Le identità di somma e differenza sono le formule che mettono in relazione il seno, il coseno e la tangente della somma o della differenza di due angoli con i seni, i coseni e le tangenti dei singoli angoli.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sen(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sen(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sen(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Identità a doppio angolo

Le identità dei doppi angoli sono le formule che esprimono le funzioni trigonometriche degli angoli che sono il doppio della misura di un dato angolo in termini delle funzioni trigonometriche dell'angolo originale.

• sin (2x) = 2 sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – senza²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2peccato²(X)
• abbronzatura (2x) = [2abbronzatura(x)]/ [1 – abbronzatura²(X)]
• secondo (2x) = secondo²x/(2 – sec²X)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Formule di trigonometria inversa

Le formule di trigonometria inversa si riferiscono alle funzioni trigonometriche inverse, che sono gli inversi delle funzioni trigonometriche di base. Queste formule vengono utilizzate per trovare l'angolo che corrisponde a un dato rapporto trigonometrico.

• senza ^-1 (–x) = – peccato ^-1 X
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• COSÌ ^-1 (–x) = – quindi ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 X
• sez ^-1 (–x) = π – sec ^-1 X
• culla ^-1 (–x) = π – lettino ^-1 X

Identità a triplo angolo

Le identità dei tripli angoli sono formule utilizzate per esprimere le funzioni trigonometriche dei tripli angoli (3θ) in termini delle funzioni dei singoli angoli (θ). Queste formule trigonometriche sono utili per semplificare e risolvere equazioni trigonometriche in cui sono coinvolti tripli angoli.

peccato 3x=3 peccato x – 4 peccato ³ X

cosa è const in Java

cos3x=4cos ³ x – 3cosx

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identità di mezzo angolo

Le identità dei semiangoli sono quelle formule trigonometriche utilizzate per trovare il seno, il coseno o la tangente della metà di un dato angolo. Queste formule vengono utilizzate per esprimere le funzioni trigonometriche dei semiangoli in termini dell'angolo originale.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Anche,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Somma alle identità del prodotto

Le identità Somma in prodotto sono le formule trigonometriche che ci aiutano a esprimere somme o differenze di funzioni trigonometriche come prodotti di funzioni trigonometriche.

nodo dell'elenco Java

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sen((x − y)/2)]
• cosx + accogliente = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − accogliente = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identità del prodotto

Le identità di prodotto, note anche come identità prodotto-somma, sono le formule che consentono l'espressione di prodotti di funzioni trigonometriche come somme o differenze di funzioni trigonometriche.

Queste formule trigonometriche derivano dalle formule di somma e differenza per seno e coseno.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Elenco delle formule di trigonometria

La tabella riportata di seguito è costituita dai rapporti trigonometrici di base per angoli come 0°, 30°, 45°, 60° e 90° comunemente utilizzati per risolvere i problemi.

Domande risolte sulla formula di trigonometria

Ecco alcuni esempi risolti sulle formule trigonometriche per aiutarti a comprendere meglio i concetti.

Domanda 1: Se cosec θ + cot θ = x, trova il valore di cosec θ – cot θ, utilizzando la formula della trigonometria.

Soluzione:

cosec θ + lettino θ = x

Sappiamo che cosec²θ+ lettino²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Domanda 2: Usando le formule trigonometriche, mostra che tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Soluzione:

Abbiamo,

LHS= marrone chiaro 10 ° quindi 15 ° quindi 75 ° quindi 80 °

= abbronzatura(90-80) ° quindi 15 ° abbronzatura(90-15) ° quindi 80 °

= lettino 80 ° quindi 15 ° lettino 15 ° quindi 80 °

=(lettino 80 ° *quindi 80 ° )( lettino 15 ° *quindi 15 ° )

= 1 = D.S

Domanda 3: Se sin θ cos θ = 8, trova il valore di (sin θ + cos θ) ² utilizzando le formule della trigonometria.

Soluzione:

(senoθ + cosθ)²

modelli di progettazione in Java

= senza²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (senoθ + cosθ)²= 17

Domanda 4: Con l'aiuto delle formule trigonometriche, dimostra che (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Soluzione:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tanθ + secθ) – (sec²θ – quindi²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Da, sec²θ – quindi²θ = 1]

programma c per array bidimensionali

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (senθ/cosθ) + (1/cosθ)

= (senθ + 1)/cosθ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Dimostrato.

Domande frequenti su formule e identità trigonometriche

Cos'è la trigonometria?

La trigonometria è una branca della matematica che si concentra sulle relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli, in particolare dei triangoli rettangoli.

Quali sono i tre rapporti trigonometrici fondamentali?

• Sin A = Perpendicolare/Ipotenusa
• Cos A= Base/Ipotenusa
• Tan A= Perpendicolare/Base

A quale triangolo sono applicabili le formule trigonometriche?

Le formule trigonometriche sono applicabili ai triangoli rettangoli.

Quali sono i principali rapporti trigonometrici?

Seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante.

Per quale angolo il valore del rapporto tan è uguale al rapporto cot?

Per il valore di 45°, tan 45°= cot 45° = 1.

Qual è la formula per sin3x?

La formula per sin3x è 3sin x – 4 sin³X.