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Formula di distribuzione uniforme

Distribuzione uniforme è la distribuzione di probabilità che rappresenta risultati ugualmente probabili, ovvero la probabilità che si verifichi ciascun risultato è la stessa. Esistono due tipi di distribuzione uniforme: distribuzione uniforme discreta e distribuzione uniforme continua (il tipo più comune nelle statistiche elementari). Definisce la funzione di densità della variabile casuale, della media e della varianza.

In questo articolo impareremo la distribuzione uniforme, i tipi di distribuzione uniforme e le formule di distribuzione uniforme insieme ad alcuni esempi risolti basati su di essi.




Tabella dei contenuti

Distribuzione uniforme

Una distribuzione uniforme è una distribuzione che ha probabilità costante a causa di eventi che si verificano con uguale probabilità. È nota anche come distribuzione rettangolare (distribuzione uniforme continua). Ha due parametri a e b: a = minimo e b = massimo. La distribuzione è scritta come U (a, b).



Definizione di distribuzione uniforme

Una distribuzione uniforme è un tipo di distribuzione di probabilità in cui ogni possibile risultato ha la stessa probabilità di verificarsi. Ciò significa che tutti i valori all’interno di un dato intervallo hanno la stessa probabilità di essere osservati.

Grafico della distribuzione uniforme

Calcolo dell'altezza del rettangolo:

La probabilità massima della variabile X è 1, quindi l'area totale del rettangolo deve essere 1.



Area del rettangolo = base × altezza = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = altezza del rettangolo

Grafico della funzione di distribuzione cumulativa

Grafico della funzione di distribuzione cumulativa

Nota: Distribuzione uniforme discreta: Px = 1/n. Dove, pX= Probabilità di una variabile discreta, n = Numero di valori nell'intervallo

Formula di distribuzione uniforme

Una variabile casuale X si dice distribuita uniformemente sull'intervallo -∞

Funzione di densità di probabilità(pdf)f(x) = 1/( b – a), a ≤ x ≤ b
Media (μ)

int_{a}^{b} x.f(x) ,dx =frac{1}{b-a}[frac{x^2}{2}]_a^b

= (a+b)/2

Varianza (σ2)

int_{a}^{b} x.f(x) ,dx =frac{1}{b-a}[frac{x^2}{2}]_a^b

= m2' - M2=int_{a}^{b}x^2.frac{1}{b-a}dx hspace{0.1cm}-(frac{a+b}{2})^2

= (b – a)2/12

Deviazione standard (σ)

= sqrt {frac{(b – a)^2}{12}}

Funzione di distribuzione cumulativa (cdf)= (x – a)/(b – a) per x ∈ [a , b]
Mediano= (a+b)/2
Per la probabilità condizionata = P( c

= (d – c ) × f(x)

= (d – c)/(b – a)

Tipi di distribuzione uniforme

I tipi di distribuzione uniforme sono:

  1. Distribuzione uniforme continua: Una distribuzione di probabilità uniforme e continua è una distribuzione che ha un numero infinito di valori definiti in un intervallo specificato. Ha un grafico di forma rettangolare, la cosiddetta distribuzione rettangolare. Funziona sui valori che sono continui in natura. Esempio: generatore di numeri casuali
  2. Distribuzione uniforme discreta: Una distribuzione di probabilità discreta ed uniforme è una distribuzione che ha un numero finito di valori definiti in un intervallo specificato. Il suo grafico contiene varie linee verticali per ogni valore finito. Funziona su valori di natura discreta. Esempio: viene lanciato un dado.

Discutiamo questi tipi in dettaglio come segue.

Distribuzioni uniformi continue o distribuzioni rettangolari

Le distribuzioni uniformi continue, note anche come distribuzioni rettangolari, sono distribuzioni di probabilità in cui la funzione di densità di probabilità (PDF) è costante entro un certo intervallo e zero altrove. Ciò significa che tutti i risultati all’interno dell’intervallo sono ugualmente probabili.

Le distribuzioni uniformi continue forniscono un quadro semplice ma potente per comprendere e modellare la casualità entro intervalli definiti, rendendole strumenti essenziali nella teoria della probabilità e nella statistica applicata.

Funzione di densità di probabilità (PDF)

IL densità di probabilità (PDF) di una distribuzione uniforme continua definisce la probabilità che una variabile casuale rientri in un particolare intervallo. Per una distribuzione uniforme continua nell’intervallo [a, b], la PDF è data da:

f(x) = 1 / (b – a) per a ≤ x ≤ b

e f(x) = 0 altrimenti.

Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)

La funzione di distribuzione cumulativa (CDF) di una distribuzione uniforme continua dà la probabilità che una variabile casuale sia inferiore o uguale a un determinato valore. Per la distribuzione uniforme continua su [a, b], la CDF è definita come:

F(x) = (x – a) / (b – a) per a ≤ x ≤ b

e F(x) = 0 per x b.

Funzioni generatrici

Le funzioni generatrici forniscono un modo per rappresentare sequenze di numeri come serie di potenze. Nella teoria della probabilità, le funzioni generatrici vengono spesso utilizzate per manipolare sequenze di variabili casuali. Possono semplificare i calcoli e aiutare a ricavare importanti proprietà di variabili e distribuzioni casuali.

Distribuzione uniforme standard

La distribuzione uniforme standard è un caso speciale della distribuzione uniforme continua in cui l'intervallo è [0, 1]. È ampiamente utilizzato nelle simulazioni, nella generazione di numeri casuali e in varie applicazioni statistiche.

Proprietà delle distribuzioni continue uniformi

  • Uguale densità di probabilità all'interno dell'intervallo.
  • La funzione di distribuzione cumulativa aumenta linearmente all'interno dell'intervallo.
  • La media di una distribuzione uniforme continua è il punto medio dell'intervallo.
  • La varianza di una distribuzione uniforme continua è [(b – a)2]/12.

Applicazioni delle distribuzioni uniformi continue

  • Modellazione dell'incertezza in vari campi come ingegneria, finanza e fisica.
  • Generazione di numeri casuali per simulazioni e giochi.
  • Utilizzato nel controllo statistico della qualità per modellare l'uniformità nei processi di produzione.
  • In crittografia per generare chiavi e creare permutazioni casuali.
  • Come distribuzione di base per il confronto con altre distribuzioni nell'analisi statistica.

Distribuzione uniforme discreta

La distribuzione discreta uniforme è a probabilità distribuzione che descrive la probabilità dei risultati quando ciascun risultato in un insieme finito è ugualmente probabile. È caratterizzato da una funzione di massa di probabilità costante (PMF) su un intervallo finito di valori.

La distribuzione uniforme discreta funge da modello fondamentale nella teoria e nella statistica della probabilità, fornendo un modo semplice ma efficace per descrivere l’incertezza in situazioni in cui i risultati sono ugualmente probabili. Le sue proprietà e applicazioni si estendono a varie discipline, rendendolo uno strumento versatile nell'analisi dei dati e nei processi decisionali.

Stima del massimo

In statistiche , la stima del massimo si riferisce ai metodi utilizzati per stimare il valore più grande o l'osservazione massima in un set di dati. A questo scopo vengono comunemente utilizzate tecniche come le statistiche sugli ordini e la stima della massima verosimiglianza.

Permutazione casuale

Una permutazione casuale è una disposizione casuale di un insieme di elementi o elementi. Viene spesso utilizzato in vari campi come crittografia, statistica e informatica. La generazione di permutazioni casuali è essenziale negli algoritmi, nelle simulazioni e nei progetti sperimentali.

Proprietà della distribuzione uniforme discreta

  • Ogni risultato nello spazio campionario ha la stessa probabilità di verificarsi.
  • La funzione di massa di probabilità (PMF) è costante nell'intervallo dei possibili risultati.
  • La media di una distribuzione discreta uniforme è la media dei valori minimo e massimo.
  • La varianza di una distribuzione discreta uniforme è [(n^2 – 1) / 12], dove n è il numero di possibili risultati.

Applicazioni della distribuzione uniforme discreta

  • Lanciare dadi equilibrati o lanciare monete equilibrate, dove ogni risultato ha la stessa probabilità.
  • Modellare scenari in cui non vi è alcuna preferenza o pregiudizio verso un risultato particolare.
  • Campionamento senza reinserimento, come la selezione di campioni casuali da una popolazione finita.
  • Generazione di numeri casuali per simulazioni, metodi Monte Carlo e algoritmi randomizzati.
  • Creazione di permutazioni casuali per mescolare mazzi di carte, progettare esperimenti e applicazioni crittografiche.

Per saperne di più,

  • Distribuzione di Poisson
  • Distribuzione binomiale
  • Distribuzione normale

Domande di esempio

Domanda 1: Una variabile casuale X ha una distribuzione uniforme su (-2, 2),

(i) trovare k per cui P(X>k) = 1/2 (ii) Valutare P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

long per stringere Java

Soluzione:

(io) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Risolvendo otteniamo k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Domanda 2: Se X è distribuito uniformemente in (-1, 4), allora

(i) la sua media è ______________.

(ii) la sua varianza è ______________.

(iii) la sua deviazione standard è ___________.

(iv) la sua mediana è ______________.

Soluzione:

Qui a = -1 e b = 4

(io) Media (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Varianza(σ2) = (4+1)2/12 = 2,08

(iii) Deviazione standard(σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Mediana = (4-1)/2 = 1,5

Domanda 3: Se ci sono 52 carte nel mazzo tradizionale di carte con quattro semi: cuori, picche, fiori e quadri. Ogni suite contiene 13 carte di cui 3 sono figure. Il nuovo mazzo si forma escludendo il numero di carte. Allora qual è la probabilità di ottenere una carta cuore dal mazzo modificato?

Soluzione:

Nella domanda, il numero di carte indicato è finito, quindi si tratta di una distribuzione discreta e uniforme.

La formula per la probabilità nella distribuzione discreta uniforme è P(X) = 1/n

Probabilità di ottenere cuori nel mazzo modificato = 1/4 = 0,25

Domanda 4: Utilizzando la funzione di densità di probabilità della distribuzione uniforme per la variabile casuale X, in (0, 20), trovare P(3

Soluzione:

Qui a = 0, b = 20

f(x) = 1/(20 – 0) = 1/20

P(3

Domanda 5: Una variabile casuale X ha una distribuzione uniforme su (-5 , 6), trova la funzione di distribuzione cumulativa per x = 3.

Soluzione:

Qui a = -5, b = 6, x = 3

CDF = (3 – (-5))/(6 – (-5)) = 8/11

Formula di distribuzione uniforme – Domande frequenti

Cos'è la distribuzione uniforme?

La distribuzione uniforme si riferisce a un tipo di distribuzione di probabilità in cui ogni possibile risultato ha la stessa probabilità di verificarsi. In altre parole, i valori all’interno di un dato intervallo hanno la stessa probabilità di essere osservati. La distribuzione uniforme può essere continua o discreta.

Cos'è la distribuzione uniforme continua?

La distribuzione uniforme continua è una distribuzione di probabilità che assegna la stessa densità di probabilità a tutti i risultati entro un intervallo specificato. Ciò significa che qualsiasi valore all'interno dell'intervallo ha la stessa probabilità di verificarsi. La funzione di densità di probabilità (PDF) rimane costante per tutto l'intervallo ed è zero al di fuori dell'intervallo. Gli esempi includono la distribuzione uniforme standard sull'intervallo [0, 1] e le variazioni di questa distribuzione su altri intervalli.

Cos'è la distribuzione discreta uniforme?

La distribuzione uniforme discreta è una distribuzione di probabilità in cui esiste un numero finito di risultati e ciascun risultato ha la stessa probabilità di verificarsi. In sostanza, è una versione discreta della distribuzione uniforme continua. Gli esempi includono lanciare un dado equilibrato, dove ciascuna faccia ha una probabilità uguale a 1/6, o pescare una carta da un mazzo standard, dove ogni carta ha una probabilità di 1/52 se estratta casualmente e senza reinserimento.

Come si calcola la media di una distribuzione uniforme?

Il valore medio o atteso di una distribuzione uniforme continua è 2 M =2 UN + B ​.

Come si può identificare una distribuzione uniforme da un grafico?

Un grafico di distribuzione uniforme è piatto, il che indica che ogni risultato all'interno dell'intervallo specificato ha la stessa probabilità di verificarsi.

Quali sono alcuni esempi di distribuzione uniforme?

Gli esempi includono il lancio di un dado equilibrato, in cui ogni risultato è ugualmente probabile, o la scelta casuale di un punto lungo un tratto di strada.

La distribuzione uniforme può essere distorta?

No, per definizione, le distribuzioni uniformi non sono distorte poiché ogni risultato all’interno dell’intervallo ha la stessa probabilità.

Come viene utilizzata la distribuzione uniforme nella vita reale?

Viene utilizzato nelle simulazioni, per creare numeri casuali nei programmi per computer e nei processi di controllo qualità.

Qual è la differenza tra distribuzioni uniformi discrete e continue?

Le distribuzioni uniformi discrete si applicano a scenari con un insieme finito di risultati, mentre le distribuzioni uniformi continue si applicano a scenari in cui qualsiasi valore all'interno di un intervallo continuo è ugualmente probabile.