La dimensione Vapnik-Chervonenkis (VC) è una misura della capacità di un insieme di ipotesi di adattarsi a diversi insiemi di dati. È stato introdotto da Vladimir Vapnik e Alexey Chervonenkis negli anni '70 ed è diventato un concetto fondamentale nella teoria dell'apprendimento statistico. La dimensione VC è una misura della complessità di un modello, che può aiutarci a capire quanto bene può adattarsi a diversi set di dati.
La dimensione VC di un insieme di ipotesi H è il maggior numero di punti che possono essere frantumati da H. Un insieme di ipotesi H frantuma un insieme di punti S se, per ogni possibile etichettatura dei punti in S, esiste un'ipotesi in H che classifica correttamente i punti. In altre parole, un insieme di ipotesi frantuma un insieme di punti se può adattarsi a qualsiasi possibile etichettatura di tali punti.
operatore Java
Limiti di VC – Dimensione
La dimensione VC fornisce limiti superiori e inferiori al numero di esempi di addestramento necessari per raggiungere un determinato livello di accuratezza. Il limite superiore del numero di esempi di training è logaritmico nella dimensione VC, mentre il limite inferiore è lineare.
Applicazioni di VC – Dimensione
La dimensione VC ha una vasta gamma di applicazioni in apprendimento automatico e statistiche. Ad esempio, viene utilizzato per analizzare la complessità delle reti neurali, delle macchine a vettori di supporto e degli alberi decisionali. La dimensione VC può essere utilizzata anche per progettare nuovi algoritmi di apprendimento resistenti al rumore e in grado di generalizzare bene ai dati invisibili.
La dimensione VC può essere estesa a scenari di apprendimento più complessi, come la classificazione e la regressione multiclasse. Il concetto di dimensione VC può essere applicato anche ad altre aree dell'informatica, come la geometria computazionale e la teoria dei grafi.
Implementazione del codice per VC – Dimensione
La dimensione VC è un concetto teorico che non può essere calcolato direttamente dai dati. Tuttavia, possiamo stimare la dimensione VC per un dato insieme di ipotesi contando il numero di punti che possono essere distrutti dall'insieme. In Python, possiamo implementare una funzione che calcola la dimensione VC di un dato insieme di ipotesi utilizzando questo approccio.
La funzione prende un'ipotesi impostata come input e calcola la dimensione VC utilizzando l'approccio della forza bruta controllando tutte le possibili combinazioni di punti ed etichette. Utilizza il modulo itertools per generare tutte le possibili combinazioni di punti ed etichette e quindi controlla se l'ipotesi impostata può mandare in frantumi ogni combinazione. La funzione restituisce la dimensione VC stimata dell'insieme di ipotesi.
Illustriamo l'utilizzo di questa funzione con alcuni esempi:
Esempio 1:
Supponiamo di avere un insieme di ipotesi costituito da tutte le funzioni lineari della forma f(x) = ax + b, dove a e b sono numeri reali. Possiamo definire questa ipotesi impostata in Python come segue:
Pitone
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 4> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 1: linear function hypothesis set> def> linear_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x)> > > print>(vc_dimension(linear_function))> |
>
>
Produzione:
2>
Nell'esempio 1, la funzione linear_function implementa un semplice insieme di ipotesi di funzione lineare che restituisce 1 se la coordinata y del punto di input è maggiore o uguale alla coordinata x e 0 in caso contrario. La funzione vc_dimension viene quindi utilizzata per stimare la dimensione VC di questo insieme di ipotesi, che è 2.
angolo acuto
Esempio 2:
Supponiamo di avere un insieme di ipotesi costituito da tutte le funzioni quadratiche della forma f(x) = ax2+ bx + c, dove a, b e c sono numeri reali. Possiamo definire questo ipotesi impostato in Python come segue:
Pitone
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 5> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 2: quadratic function hypothesis set> def> quadratic_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x>*>*>2>)> > > print>(vc_dimension(quadratic_function))> |
>
>
Produzione:
3>
Nell'esempio 2, la funzione quadratic_function implementa un insieme di ipotesi di funzione quadratica più complessa che restituisce 1 se la coordinata y del punto di input è maggiore o uguale al quadrato della coordinata x e 0 in caso contrario. La funzione vc_dimension viene quindi utilizzata per stimare la dimensione VC di questo insieme di ipotesi, che è 3.
array di programmazione Java
Conclusione
La dimensione VC è un concetto fondamentale nella teoria dell'apprendimento statistico che misura la complessità di un insieme di ipotesi. Fornisce limiti superiori e inferiori al numero di esempi di addestramento necessari per raggiungere un determinato livello di precisione. In Python, possiamo stimare la dimensione VC di un dato insieme di ipotesi utilizzando un approccio di forza bruta che controlla tutte le possibili combinazioni di punti ed etichette. La dimensione VC ha un’ampia gamma di applicazioni nell’apprendimento automatico e nelle statistiche e può essere estesa a scenari di apprendimento più complessi.