Una volta che hai la formula quadratica e le nozioni di base sulle equazioni quadratiche, è il momento di passare al livello successivo della tua relazione con le parabole: conoscere la loro forma del vertice .

Continua a leggere per saperne di più sulla forma del vertice della parabola e su come convertire un'equazione quadratica dalla forma standard alla forma del vertice.

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Perché la forma vertice è utile? Una panoramica

IL forma del vertice di un'equazione è un modo alternativo di scrivere l'equazione di una parabola.

Normalmente, vedrai un'equazione quadratica scritta come $ax^2+bx+c$, che, una volta rappresentata graficamente, sarà una parabola. Da questa forma, è abbastanza facile trovare le radici dell'equazione (dove la parabola tocca l'asse $x$) impostando l'equazione uguale a zero (o utilizzando la formula quadratica).

Se devi trovare il vertice di una parabola, tuttavia, la forma quadratica standard è molto meno utile. Invece, ti consigliamo di convertire la tua equazione quadratica in forma di vertice.

Cos'è la forma del vertice?

Mentre la forma quadratica standard è $ax^2+bx+c=y$, la forma del vertice di un'equazione quadratica è $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

In entrambe le forme, $y$ è la coordinata $y$, $x$ è la coordinata $x$ e $a$ è la costante che indica se la parabola è rivolta verso l'alto ($+a$) o verso il basso ($-a$). (Ci penso come se la parabola fosse una ciotola di salsa di mele; se c'è $+a$, posso aggiungere la salsa di mele nella ciotola; se c'è $-a$, posso scuotere la salsa di mele dalla ciotola.)

La differenza tra la forma standard della parabola e la forma del vertice è che la forma del vertice dell'equazione fornisce anche il vertice della parabola: $(h,k)$.

Ad esempio, dai un'occhiata a questa parabola sottile, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Basandosi sul grafico, il vertice della parabola sembra essere qualcosa come (-1,5,-2), ma è difficile dire esattamente dove si trova il vertice solo dal grafico. Fortunatamente, in base all'equazione $y=3(x+4/3)^2-2$, sappiamo che il vertice di questa parabola è $(-4/3,-2)$.

Perché il vertice è $(-4/3,-2)$ e non $(4/3,-2)$ (a parte il grafico, che rende chiare entrambe le coordinate $x$ e $y$ di i vertici sono negativi)?

Ricordare: nell'equazione della forma dei vertici, $h$ viene sottratto e $k$ viene aggiunto . Se hai $h$ negativi o $k$ negativi, dovrai assicurarti di sottrarre $h$ negativi e aggiungere $k$ negativi.

In questo caso, ciò significa:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

e quindi il vertice è $(-4/3,-2)$.

Dovresti sempre ricontrollare i segni positivi e negativi quando scrivi una parabola sotto forma di vertice , in particolare se il vertice non ha valori positivi $x$ e $y$ (o per voi teste di quadrante là fuori, se non è in quadrante I ). Questo è simile al controllo che faresti se dovessi risolvere la formula quadratica ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) e dovessi assicurarti di mantenere il valore positivo e negativi direttamente per $a$s, $b$s e $c$s.

Di seguito è riportata una tabella con ulteriori esempi di alcune altre equazioni della forma dei vertici della parabola, insieme ai loro vertici. Notare in particolare la differenza nella parte $(x-h)^2$ dell'equazione della forma del vertice della parabola quando la coordinata $x$ del vertice è negativa.

Come convertire dalla forma quadratica standard alla forma vertice

La maggior parte delle volte, quando ti viene chiesto di convertire equazioni quadratiche tra forme diverse, passerai dalla forma standard ($ax^2+bx+c$) alla forma dei vertici ($a(x-h)^2+k$ ).

Il processo di conversione dell'equazione dalla forma quadratica standard a quella dei vertici prevede l'esecuzione di una serie di passaggi chiamati completamento del quadrato. (Per ulteriori informazioni sul completamento del quadrato, assicurati di leggere questo articolo.)

Esaminiamo un esempio di conversione di un'equazione dalla forma standard alla forma dei vertici. Inizieremo con l'equazione $y=7x^2+42x-3/14$.

La prima cosa che vorrai fare è spostare la costante, o il termine senza $x$ o $x^2$ accanto. In questo caso, la nostra costante è $-3/14$. (Lo sappiamo negativo $3/14$ perché l'equazione quadratica standard è $ax^2+bx+c$, non $ax^2+bx-c$.)

Innanzitutto, prenderemo $ -3/14 $ e li sposteremo sul lato sinistro dell'equazione:

$y+3/14=7x^2+42x$

Il passaggio successivo consiste nel fattorizzare il 7 (il valore $a$ nell'equazione) dal lato destro, in questo modo:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Grande! Questa equazione assomiglia molto di più alla forma del vertice, $y=a(x-h)^2+k$.

A questo punto potresti pensare: 'Tutto quello che devo fare ora è riportare i $ 3/14 $ sul lato destro dell'equazione, giusto?' Ahimè, non così in fretta.

Se dai un'occhiata alla parte dell'equazione all'interno delle parentesi, noterai un problema: non è nella forma di $(x-h)^2$. Ci sono troppi $x$! Quindi non abbiamo ancora finito.

Ciò che dobbiamo fare ora è la parte più difficile: completare il quadrato.

Diamo uno sguardo più da vicino alla parte $x^2+6x$ dell'equazione. Per scomporre $(x^2+6x)$ in qualcosa di simile a $(x-h)^2$, dovremo aggiungere una costante all'interno delle parentesi e dovremo ricordare per aggiungere quella costante anche all'altro lato dell'equazione (poiché l'equazione deve rimanere in equilibrio).

Per impostarlo (e assicurarci di non dimenticare di aggiungere la costante all'altro lato dell'equazione), creeremo uno spazio vuoto in cui la costante andrà su entrambi i lati dell'equazione:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Nota che sul lato sinistro dell'equazione, ci siamo assicurati di includere il nostro valore $a$, 7, davanti allo spazio dove andrà la nostra costante; questo perché non stiamo semplicemente aggiungendo la costante al lato destro dell'equazione, ma stiamo moltiplicando la costante per tutto ciò che si trova all'esterno delle parentesi. (Se il tuo valore $a$ è 1, non devi preoccuparti di questo.)

Il prossimo passo è completare il quadrato. In questo caso, il quadrato che stai completando è l'equazione racchiusa tra parentesi: aggiungendo una costante, la trasformi in un'equazione che può essere scritta come un quadrato.

Per calcolare la nuova costante, prendi il valore accanto a $x$ (6, in questo caso), dividilo per 2 ed elevalo al quadrato.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. La costante è 9.

Il motivo per cui dimezziamo il 6 e lo eleviamo al quadrato è che sappiamo che in un'equazione nella forma $(x+p)(x+p)$ (che è ciò a cui stiamo cercando di arrivare), $px+px= 6x$, quindi $p=6/2$; per ottenere la costante $p^2$ dobbiamo quindi prendere $6/2$ (il nostro $p$) ed elevarlo al quadrato.

Ora sostituisci lo spazio vuoto su entrambi i lati della nostra equazione con la costante 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Successivamente, fattorizza l'equazione all'interno delle parentesi. Poiché abbiamo completato il quadrato, potrai fattorizzarlo come $(x+{qualche umero})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Ultimo passaggio: sposta il valore diverso da $y$ dal lato sinistro dell'equazione al lato destro:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Congratulazioni! Hai convertito con successo la tua equazione dalla forma quadratica standard a quella dei vertici.

Ora, la maggior parte dei problemi non ti chiederà semplicemente di convertire le tue equazioni dalla forma standard alla forma dei vertici; vorranno che tu fornisca effettivamente le coordinate del vertice della parabola.

Per evitare di essere ingannati dai cambiamenti di segno, scriviamo l'equazione generale della forma del vertice direttamente sopra l'equazione della forma del vertice che abbiamo appena calcolato:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

E poi possiamo facilmente trovare $h$ e $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Il vertice di questa parabola è alle coordinate $(-3,-{885/14})$.

Wow, c'erano un sacco di numeri mescolati in giro! Fortunatamente, convertire le equazioni nella direzione opposta (dal vertice alla forma standard) è molto più semplice.

Come convertire dalla forma vertice alla forma standard

Convertire le equazioni dalla forma dei vertici alla forma quadratica regolare è un processo molto più semplice: tutto ciò che devi fare è moltiplicare la forma dei vertici.

Prendiamo l'equazione di esempio di prima, $y=3(x+4/3)^2-2$. Per trasformarlo in forma standard, espandiamo semplicemente il lato destro dell'equazione:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Hai convertito con successo $y=3(x+4/3)^2-2$ nella sua forma $ax^2+bx+c$.

Pratica sulla forma del vertice della parabola: domande di esempio

Per concludere questa esplorazione della forma dei vertici, abbiamo quattro esempi di problemi e spiegazioni. Vedi se riesci a risolvere i problemi da solo prima di leggere le spiegazioni!

N. 1: Qual è la forma del vertice dell'equazione quadratica $x^2+ 2.6x+1.2$?

N. 2: Converti l'equazione $7y=91x^2-112$ nella forma dei vertici. Qual è il vertice?

N. 3: Data l'equazione $y=2(x-3/2)^2-9$, quali sono le coordinate $x$ del punto in cui questa equazione si interseca con l'asse $x$?

N. 4: Trova il vertice della parabola $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Pratica della forma del vertice della parabola: soluzioni

#1: Qual è la forma del vertice dell'equazione quadratica ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Inizia separando la variabile diversa da $x$ sull'altro lato dell'equazione:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Poiché il nostro $a$ (come in $ax^2+bx+c$) nell'equazione originale è uguale a 1, non abbiamo bisogno di scomporlo dal lato destro qui (anche se, se vuoi, puoi scrivere $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Successivamente, dividi il coefficiente $x$ (2.6) per 2 ed elevalo al quadrato, quindi aggiungi il numero risultante a entrambi i lati dell'equazione:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Fattorizza il lato destro dell'equazione all'interno delle parentesi:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Infine, combina le costanti sul lato sinistro dell'equazione, quindi spostale sul lato destro.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

La nostra risposta è $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Converti l'equazione $7i y=91i x^2-112$ nella forma del vertice. Qual è il vertice?

Quando converti un'equazione in forma di vertice, vuoi che $y$ abbia un coefficiente pari a 1, quindi la prima cosa che faremo è dividere entrambi i lati di questa equazione per 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Successivamente, porta la costante sul lato sinistro dell'equazione:

$y+16=13x^2$

Fattorizza il coefficiente del numero $x^2$ ($a$) dal lato destro dell'equazione

$y+16=13(x^2)$

Ora, normalmente dovresti completare il quadrato sul lato destro dell'equazione all'interno delle parentesi. Tuttavia, $x^2$ è già un quadrato, quindi non devi fare altro che spostare la costante dal lato sinistro dell'equazione al lato destro:

$y=13(x^2)-16$.

Ora per trovare il vertice:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, quindi $h=0$

$+k=-16$, quindi $k=-16$

Il vertice della parabola è in $(0, -16)$.

#3: Data l'equazione $i y=2(i x-3/2)^2-9$, quali sono le coordinate $i x$ del punto in cui questa equazione si interseca con $i asse x$?

Poiché la domanda ti chiede di trovare l'intercetta/e di $x$ dell'equazione, il primo passo è impostare $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Ora, ci sono un paio di modi per procedere da qui. Il modo subdolo è sfruttare a nostro vantaggio il fatto che c'è già un quadrato scritto nell'equazione della forma dei vertici.

Per prima cosa spostiamo la costante sul lato sinistro dell'equazione:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Successivamente, divideremo entrambi i lati dell'equazione per 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Ora, la parte subdola. Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±