L'angolo tra due vettori è l'angolo tra le loro code e questo angolo può essere facilmente trovato utilizzando il prodotto incrociato e il prodotto scalare delle formule vettoriali. L'angolo tra due vettori è sempre compreso tra 0° e 180°.
In questo articolo impareremo l'angolo tra due vettori, la definizione, le formule e gli esempi in dettaglio.
Qual è l'angolo tra due vettori?
L'angolo tra due vettori è l'angolo formato all'intersezione delle loro code. L'angolo tra due vettori può essere acuto, retto o ottuso, a seconda della direzione dei vettori.
L'angolo tra due vettori si trova utilizzando due formule:
- Utilizzo del prodotto scalare di vettori
- Utilizzo del prodotto incrociato di vettori
Ciò è spiegato nella formula seguente.
Formule dell'angolo tra due vettori
Angolo tra due vettori si trova facilmente e più comunemente utilizzando il prodotto scalare di vettori.
Due vettori A e B
Prodotto scalare di A e B è dato da,
vec{A}.vec{B} = |A| |B| cosθ.
Casi speciali
- Quando l'angolo tra i vettori è 0 gradi.
Cioè θ = 0°
⇒ |A| |B| cosθ
⇒ |A| |B| cos0°
⇒ |A| |B| [cos0° = 1]
- Quando l'angolo tra i vettori è di 180 gradi.
⇒ |A| |B| cosθ
⇒ |A| |B| cos180°
⇒ – |A| |B| [cos180° = -1]
- Quando l'angolo tra i vettori è di 90 gradi.
⇒ |A| |B| cosθ
⇒ |A| |B| cos90°
⇒ |A| |B| × 0 [cos90° = 0]
⇒0
Formula per l'angolo tra due vettori
Il coseno dell'angolo compreso tra due vettori è uguale alla somma del prodotto dei singoli costituenti dei due vettori, diviso per il prodotto del modulo dei due vettori.
Due vettori A e B
array di stringhe programmazione c
cosθ=
θ=cos-1
Nella forma cartesiana,
A = AXio+AEj+AConK
B=BXio + BEj+BConK
cosθ =
frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}
Proprietà del prodotto Dot
- Il prodotto scalare è commutativo
vec{A}.vec{B}=vec{B}.vec{A}
- Il prodotto scalare è distributivo
vec{A}.(vec{B}+vec{C})=(vec{A}.vec{B}+vec{A}.vec{C})
L'angolo tra due vettori è compreso tra 0 ≤ θ ≤ 180. Quando le code o le teste di entrambi i vettori coincidono, viene calcolato l'angolo tra i vettori.
Coda coincidente
Testa Coincide
Esempio di problemi Formula dell'angolo tra due vettori
Problema 1: trova l'angolo tra i vettori (se formano un triangolo equilatero)
- vettori a e b
- vettori b e c
- vettori a e c
Triangolo equilatero formato dai vettori a, b, c
Soluzione:
- vettori a e b
Per i vettori a e b, la testa di entrambi i vettori coincide tra loro, quindi l'angolo tra i vettori a e b è uguale all'angolo tra due lati del triangolo equilatero = 60°.
modello tcp e ip
- vettori b e c:
Dalla figura sopra vediamo che la testa o la coda dei vettori b e c non coincidono tra loro.
Quindi, utilizzando la proprietà- Un vettore rimane invariato se viene trasmesso parallelamente a se stesso.
Il vettore c viene spostato parallelamente a se stesso
Ora vediamo che la coda dei vettori b e c coincidono tra loro, quindi è uguale all'angolo esterno formato da un triangolo equilatero = 120°.
- vettori a e c
La coda di a e c coincidono
Per i vettori a e c, la coda di entrambi i vettori coincide tra loro, quindi l'angolo tra i vettori a e c è uguale all'angolo tra due lati del triangolo equilatero = 60°.
Problema 2: trova gli angoli tra i vettori se formano un triangolo rettangolo isoscele.
- vettori a e b
- vettore b e c
- vettori a e c
Soluzione:
- vettori a e b
Triangolo isoscele ad angolo retto
Dalla figura sopra vediamo che la testa o la coda dei vettori a e b non coincidono tra loro. Quindi, utilizzando la proprietà- Un vettore rimane invariato se viene trasmesso parallelamente a se stesso.
un vettore viene spostato parallelamente a se stesso
Ora, le code dei vettori a e b coincidono tra loro e formano un angolo uguale all'angolo esterno di un triangolo isoscele rettangolo = 135°.
- vettore b e c
Triangolo isoscele ad angolo retto
Dalla figura sopra, la testa o le code dei vettori b e c non coincidono tra loro. Quindi, utilizzando la proprietà, un vettore rimane invariato se viene trasmesso parallelamente a se stesso.
Il vettore b viene spostato parallelamente a se stesso
Ora, le code dei vettori b e c coincidono tra loro e formano un angolo uguale all'angolo esterno di un triangolo isoscele angolo retto = 135°.
- vettori a e c
Triangolo isoscele ad angolo retto
Dalla figura sopra, la testa o le code dei vettori a e c non coincidono tra loro. Quindi, utilizzando la proprietà- Un vettore rimane invariato se viene trasmesso parallelamente a se stesso.
Il vettore c viene spostato parallelamente a se stesso
Ora, le code dei vettori a e c coincidono tra loro e formano un angolo uguale all'angolo retto del triangolo isoscele = 90°.
Problema 3: Trova l'angolo tra i vettori A = i + j + k e il vettore B = -2i – 2j – 2k.
Soluzione:
Dalla formula,
A = AXio+AEj+AConK
B=BXio + BEj+BConK
cosθ=
frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})} Qui nella domanda data,
A= io + j + k
B= -2i -2j -2k
Sostituendo i valori nella formula
⇒ cosθ =
frac{(1.(-2)+1.(-2)+1.(-2))}{(sqrt{1^2+1^2+1^2}×sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2})} ⇒ cosθ =
frac{(-2-2-2)}{(sqrt{1+1+1}×sqrt{4+4+4})} ⇒ cosθ =
frac{-6}{(sqrt{3}×sqrt{12})} ⇒ cosθ =
frac{-6}{(sqrt{36})} ⇒ cosθ = -6/6
⇒ cosθ= -1
⇒θ = 180°
Problema 4: Trova l'angolo tra il vettore A = 3i + 4j e B = 2i + j
Soluzione:
A = AXio+AEj+AConK
B = BXio + BEj+BConK
cosθ =
frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})} Qui dato,
A= 3i + 4j + 0k
B=2i+j+0k
colori JavaSostituendo i valori nella formula,
⇒ cosθ =
frac{(3.2+4.1+0.0)}{(sqrt{3^2+4^2+0^2}×sqrt{2^2+1^2+0^2})} ⇒ cosθ =
frac{(6+4+0)}{(sqrt{9+16+0}×sqrt{4+1+0})} ⇒ cosθ =
frac{(10)}{(sqrt{25}×sqrt{5})} ⇒ cosθ =
frac{(10)}{(sqrt{125})} ⇒θ = cos-1(
frac{(10)}{5.(sqrt{5})} )⇒θ = cos-1(
frac{2}{(sqrt{5})} )
Problema 5: Trova l'angolo tra il vettore A = i + j e il vettore B = j + k.
Soluzione:
Dalla formula,
A = AXio+AEj+AConK
B = BXio + BEj+BConK
cosθ =
frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})} Qui nella domanda data,
⇒ A = i + j
⇒ B = j + k
⇒ cosθ =
frac{(1.0+1.1+0.1)}{(sqrt{1^2+1^2+0^2}×sqrt{0^2+1^2+1^2})} ⇒ cosθ =
frac{(1)}{(sqrt{1+1+0}×sqrt{0+1+1})} ⇒ cosθ =
frac{1}{(sqrt{2}×sqrt{2})} ⇒θ = cos-1(1/2)
⇒θ = 60°