Una quantità che è caratterizzata non solo dalla grandezza ma anche dalla sua direzione si chiama vettore. Velocità, forza, accelerazione, quantità di moto, ecc. Sono vettori.

I vettori possono essere moltiplicati in due modi:

• Prodotto scalare o prodotto scalare
• Prodotto vettoriale o prodotto incrociato

Tabella dei contenuti

• Prodotto scalare/prodotto scalare di vettori
• Proiezione di un vettore su un altro vettore
• Proprietà del prodotto scalare
• Disuguaglianze basate sul prodotto scalare
• Prodotto incrociato/Prodotto vettoriale di vettori
• Proprietà del prodotto incrociato
• Prodotto incrociato nella forma determinante
• Prodotto punto e croce
• Domande frequenti sui prodotti punto e croce sui vettori

Prodotto scalare/prodotto scalare di vettori

Il prodotto scalare/prodotto scalare risultante di due vettori è sempre una quantità scalare. Consideriamo due vettori UN E B . Il prodotto scalare viene calcolato come il prodotto delle grandezze di a, b e del coseno dell'angolo compreso tra questi vettori.

data locale

Prodotto scalare = |a||b| cosα

Qui,

• |a| = grandezza del vettore UN,
• |b| = grandezza del vettore B , E
• α = angolo tra i vettori.

Vettori aeb con angolo α compreso

Proiezione di un vettore su un altro vettore

Vettore UN può essere proiettato sulla linea l come mostrato di seguito:

CD = proiezione del vettore a sul vettore b

Dalla figura sopra è chiaro che possiamo proiettare un vettore su un altro vettore. AC è la grandezza del vettore A. Nella figura sopra, AD è tracciato perpendicolare alla linea l. CD rappresenta la proiezione del vettore UN sul vettore B .

Il triangolo ACD è quindi un triangolo rettangolo e possiamo applicare formule trigonometriche.

Se α è la misura dell'angolo ACD, allora

cosα = CD/AC

O, CD = AC cos a

Dalla figura è chiaro che CD è la proiezione del vettore a sul vettore b

Quindi, possiamo concludere che un vettore può essere proiettato sull'altro vettore dal coseno dell'angolo compreso tra loro.

Proprietà del prodotto scalare

• Il prodotto scalare di due vettori è sempre un numero reale (scalare).
• Il prodotto scalare è commutativo cioè a.b =b.a= |a||b| cosα
• Se α è 90°, il prodotto scalare è zero poiché cos(90) = 0. Pertanto, il prodotto scalare dei vettori unitari nelle direzioni x, y è 0.
• Se α è 0° allora il prodotto scalare è il prodotto delle grandezze di UN E B |a||b|.
• Il prodotto scalare di un vettore unitario con se stesso è 1.
• Il prodotto scalare di un vettore a con se stesso è |a|²
• Se α è 180⁰, il prodotto scalare per i vettori a e b è -|a||b|
• Il prodotto scalare è distributivo rispetto all'addizione

UN. ( B + C ) = a.b + AC

• Per ogni scalare k e m allora,

l UN. (M B ) = km a.b

• Se la forma componente dei vettori è data come:

UN = un₁x+a₂e + a₃Con

B = b₁x+b₂sì + b₃Con

quindi il prodotto scalare è dato come

a.b = un₁B₁+a₂B₂+a₃B₃

• Il prodotto scalare è zero nei seguenti casi:
  • La grandezza del vettore a è zero
  • La grandezza del vettore b è zero
  • I vettori a e b sono perpendicolari tra loro

Disuguaglianze basate sul prodotto scalare

Esistono varie disuguaglianze basate sul prodotto scalare dei vettori, come ad esempio:

• Disuguaglianza di Cauchy – Schwartz
• Disuguaglianza del triangolo

Discutiamone in dettaglio come segue:

Disuguaglianza di Cauchy – Schwartz

Secondo questo principio, per due vettori qualsiasi UN E B , la grandezza del prodotto scalare è sempre inferiore o uguale al prodotto delle grandezze del vettore a e del vettore b

|a.b| ≤ |a| |b|

Prova:

Poiché a.b = |a| |b| cosα

Sappiamo che 0

Quindi concludiamo che |a.b| ≤ |a| |b|

Disuguaglianza del triangolo

Per due vettori qualsiasi UN E B , lo abbiamo sempre fatto

| UN + B | ≤ | UN | + | B |

Disuguaglianza del triangolo

Prova:

| UN + B |²=| UN + B || UN + B |

= aa + a.b + b.a + b.b

= | UN |²+2 a.b +| B |²(il prodotto scalare è commutativo)

≤ | UN |²+2| a||b | + | B |²

≤ ( |a | + | b| )²

Ciò dimostra che | UN + B | ≤ | UN | + | b|

nodo elenco in Java

Esempi di prodotto scalare di vettori

Esempio 1. Consideriamo due vettori tali che |a|=6 e |b|=3 e α = 60°. Trova il loro prodotto scalare.

Soluzione:

a.b = |a| |b| cosα

COSÌ, a.b = 6.3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Esempio 2. Dimostra che i vettori a = 3i+j-4k e il vettore b = 8i-8j+4k sono perpendicolari.

Soluzione :

Sappiamo che i vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Poiché il prodotto scalare è zero, possiamo concludere che i vettori sono perpendicolari tra loro.

Prodotto incrociato/Prodotto vettoriale di vettori

I lettori hanno già familiarità con un sistema di coordinate rettangolari tridimensionale destrorso. In questo sistema, una rotazione in senso antiorario dell'asse x nell'asse y positivo indica che una vite destrorsa (standard) avanzerebbe nella direzione dell'asse z positivo come mostrato nella figura.

fetta di Java

Sistema di coordinate rettangolari 3D

IL prodotto vettoriale o prodotto vettoriale di due vettori UN E B con un angolo α tra loro viene calcolato matematicamente come

a×b = |a| |b| senza α

Va notato che il prodotto vettoriale è un vettore con una direzione specificata. La risultante è sempre perpendicolare sia ad a che a b.

Inoltre, se dati due vettori,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)Emathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), il loro prodotto incrociato, indicato con a × b, è calcolato come:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Nel caso a e b siano vettori paralleli, la risultante sarà zero poiché sin(0) = 0

Proprietà del prodotto incrociato

• Cross Product genera una quantità vettoriale. La risultante è sempre perpendicolare sia ad a che a b.
• Il prodotto incrociato di vettori paralleli/vettori collineari è zero poiché sin(0) = 0.

io × io = j × j = k × k = 0

• Il prodotto incrociato di due vettori reciprocamente perpendicolari con grandezza unitaria ciascuno è l'unità. (Poiché sin(0)=1)
• Il prodotto incrociato non è commutativo.

a × b non è uguale a b × a

• Il prodotto incrociato è distributivo rispetto all'addizione

una × ( B + C ) = UN × b + UN × C

• Se k è uno scalare allora,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Muovendoci in senso orario e prendendo il prodotto incrociato di due coppie qualsiasi di versori otteniamo il terzo e in senso antiorario otteniamo la risultante negativa.

Prodotto incrociato in senso orario e antiorario

Si possono stabilire i seguenti risultati:

Prodotto incrociato nella forma determinante

Se il vettore UN è rappresentato come a = a1x + a2y + a3z e vettore B è rappresentato come b = b1x + b2y + b3z

Quindi il prodotto incrociato a×b può essere calcolato utilizzando la forma determinante

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Poi, a×b = x(a₂B₃- B₂UN₃) + y(a₃B₁- UN₁B₃) + z(a₁B₂- UN₂B₁)

Se a e b sono i lati adiacenti del parallelogramma OXYZ e α è l'angolo compreso tra i vettori a e b.

Allora l'area del parallelogramma è data da | a×b | = |a| |b|peccato.a

Vettori a e b come lati adiacenti di un parallelogramma

Esempi di C prodotto ross di vettori

Esempio 1. Trova il prodotto incrociato di due vettori a e b se le loro grandezze sono rispettivamente 5 e 10. Dato che l'angolo tra allora è 30°.

Soluzione:

stringa sottostringa java

a×b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 perpendicolare a UN E B

Esempio 2. Trova l'area di un parallelogramma i cui lati adiacenti sono

a = 4i+2j -3k

b=2i+j-4k

Soluzione :

L'area si calcola trovando il prodotto vettoriale dei lati adiacenti

a×b = x(a₂B₃- B₂UN₃) + y(a₃B₁- UN₁B₃) + z(a₁B₂- UN₂B₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i+10j

Pertanto, la grandezza dell'area èsqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Prodotto punto e croce

Alcune delle differenze comuni tra il prodotto scalare e il prodotto incrociato dei vettori sono:

Per saperne di più,

• Algebra vettoriale
• Scalare e vettoriale
• Prodotto scalare di due vettori
• Prodotto di vettori

Domande frequenti sui prodotti punto e croce sui vettori

Cosa rappresenta geometricamente il prodotto scalare?

Il prodotto scalare di due vettori rappresenta la proiezione di un vettore sull'altro, scalata in base alla loro grandezza e al coseno dell'angolo compreso tra loro.

Come viene utilizzato il prodotto scalare in geometria?

Viene utilizzato per trovare angoli tra vettori, determinare vettori ortogonali, calcolare proiezioni e misurare la somiglianza tra vettori.

Cosa succede se il prodotto scalare di due vettori è zero?

Se il prodotto scalare è zero, significa che i vettori sono ortogonali (perpendicolari) tra loro.

Cosa rappresenta geometricamente il prodotto vettoriale?

Il prodotto vettoriale di due vettori rappresenta un vettore perpendicolare al piano contenente i vettori originali. La sua grandezza è uguale all'area del parallelogramma formato dai vettori.

Come trovi la direzione del prodotto incrociato?

Usa la regola della mano destra: punta il pollice destro nella direzione del primo vettore, l'indice nella direzione del secondo vettore e il medio nella direzione del prodotto incrociato.