La derivata della funzione trigonometrica inversa si riferisce alla velocità di variazione delle funzioni trigonometriche inverse. Sappiamo che la derivata di una funzione è la velocità di variazione di una funzione rispetto alla variabile indipendente. Prima di imparare questo, è necessario conoscere le formule di derivazione delle funzioni trigonometriche. Per trovare la derivata della funzione trigonometrica inversa, prima equipareremo la funzione trigonometrica con un'altra variabile per trovare la sua inversa e poi differenziarla utilizzando la formula di differenziazione implicita.

In questo articolo conosceremo il D derivato delle funzioni trigonometriche inverse, formule di differenziazione delle funzioni trigonometriche inverse, e risolvere alcuni esempi basati su di esso. Ma prima di andare avanti, rispolveriamo il concetto di io Funzioni trigonometriche inverse e derivazione implicita.

• Funzioni trigonometriche inverse
• Cos'è la differenziazione implicita?
• Cos'è la derivata delle funzioni trigonometriche inverse?
• Dimostrazione della derivata di funzioni trigonometriche inverse
• Formula della derivata trigonometrica inversa
• Esempi di derivata trigonometrica inversa

Funzioni trigonometriche inverse

Funzioni trigonometriche inverse sono le funzioni inverse dei rapporti trigonometrici, cioè sin, cos, tan, cot, sec e cosec. Queste funzioni sono ampiamente utilizzate in campi come la fisica, la matematica, l'ingegneria e altri campi di ricerca. Proprio come addizione e sottrazione sono l'una l'inversa dell'altra, lo stesso vale per l'inversa delle funzioni trigonometriche.

senza θ = x

⇒ i ​= s In ⁻¹ X ​

Rappresentazione di funzioni trigonometriche inverse

Si rappresentano aggiungendo arco in prefisso o aggiungendo -1 alla potenza.

Il seno inverso può essere scritto in due modi:

• senza^-1X
• arcoseno x

Lo stesso vale per cos e tan.

Nota: Non confondere il peccato^-1x con (peccato x)^-1. Sono diversi. Scrivere peccato^-1x è un modo per scrivere seno inverso mentre (sin x)^-1significa 1/sen x.

Dominio delle funzioni trigonometriche inverse

Sappiamo che una funzione è differenziabile solo se è continua in quel punto e se una funzione è continua in un dato punto allora quel punto è il dominio della funzione. Quindi dovremmo imparare il dominio delle funzioni trigonometriche inverse per lo stesso.

Ora impariamo brevemente la tecnica della differenziazione implicita.

Cos'è la differenziazione implicita?

Differenziazione implicita è un metodo che utilizza la regola della catena per differenziare le funzioni definite implicitamente. Una funzione implicita è la funzione che contiene due variabili anziché una variabile. In tal caso a volte possiamo convertire esplicitamente la funzione in una variabile, ma non sempre è così. Poiché generalmente non è facile trovare esplicitamente la funzione e quindi differenziarla. Invece, possiamo differenziare totalmente f(x, y), cioè entrambe le variabili, e poi risolvere il resto dell'equazione per trovare il valore di f'(x).

Leggi in dettaglio: Calcolo in matematica

Cos'è la derivata delle funzioni trigonometriche inverse?

La derivata trigonometrica inversa è la derivata delle funzioni trigonometriche inverse. Ce ne sono sei funzioni trigonometriche ed esiste l'inverso per ciascuna di queste funzioni trigonometriche. Questi sono peccati^-1x, cos^-1x, quindi^-1x, cosec^-1x, sez^-1x, lettino^-1X. Possiamo trovare la derivata delle funzioni trigonometriche inverse utilizzando il metodo di differenziazione implicita. Impariamo prima quali sono le derivate delle funzioni trigonometriche inverse.

• Derivato del peccato^-1x è d(peccato^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) per tutti gli x ϵ (-1, 1)
• Derivata di cos^-1x è d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) per tutti gli x ϵ (-1, 1)
• Derivato di abbronzatura^-1x è d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) per ogni x ϵ R
• Derivato di cosec^-1x è d(cosec^-1x)/dx = -1/ per ogni x ϵ R – [-1, 1]
• Derivata della sec^-1x è d(sec^-1x)/dx = 1/x per tutti gli x ϵ R – [-1, 1]
• Derivato di culla^-1x è d(lettino^-1x)/dx = -1/(1 + x²) per ogni x ϵ R

L'immagine per la derivata trigonometrica inversa è allegata di seguito:

Ora che abbiamo imparato quali sono le derivate di tutte le sei funzioni trigonometriche inverse, impareremo ora come trovare la derivata delle sei funzioni trigonometriche inverse.

Dimostrazione della derivata di funzioni trigonometriche inverse

Possiamo differenziare le funzioni trigonometriche inverse utilizzando il primo principio e anche utilizzando la formula di differenziazione implicita che prevede anche l'uso della regola della catena. Trovare la derivata delle funzioni trigonometriche inverse utilizzando il primo principio è un processo lungo. In questo articolo impariamo come differenziare le funzioni trigonometriche inverse utilizzando la differenziazione implicita. Possiamo trovare la derivata (dy/dx) delle funzioni trigonometriche inverse utilizzando i seguenti passaggi

Passaggio 1: assumi le funzioni trigonometriche nella forma sin y = x

Passaggio 2: trova la derivata della funzione precedente utilizzando la differenziazione implicita

Passaggio 3: calcolare dy/dx

Passaggio 4: sostituire il valore della funzione trigonometrica presente nel passaggio 3 utilizzando identità trigonometriche.

Derivata del peccato inverso x

Supponiamo sin y = x

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

⇒ cos e. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Poiché sappiamo che Sin²e +Cos²y = 1

⇒Cos²y = 1 – peccato²E

analizzando la stringa in int

⇒ accogliente = √(1 – sin²y) = √(1 – x²) poiché abbiamo sin y = x

Mettendo questo valore di cos y nell'equazione (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) dove y = peccato^-1X

Derivata del cos inverso X

Supponiamo cos y = x

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

⇒ -senza e. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sen y →(i)

Poiché sappiamo che Sin²e +Cos²y = 1

⇒ senza²y = 1 – cos²E

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) poiché abbiamo cos y = x

Mettendo questo valore di sin y nell'equazione (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) dove y = cos^-1X

Derivato dell'abbronzatura inversa X

Supponiamo tan y = x

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

⇒ sez²sì. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec²e →(i)

Poiché sappiamo che il sec²e così²y = 1

⇒ sez²y = 1 + abbronzatura²E

⇒ sez²y = (1 + tan²y) = (1 + x²) poiché abbiamo tan y = x

Mettendo questo valore di sec²y nell'equazione (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) dove y = tan^-1X

Derivata di cot inversa X

Supponiamo che la culla y = x

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

⇒ -cosec²sì. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²e →(i)

Poiché sappiamo che il csec²e – lettino²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + lettino²E

⇒ cosec²y = (1 + lettino²y) = (1 + x²) poiché abbiamo culla y = x

Mettendo questo valore di cosec²y nell'equazione (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) dove y = lettino^-1X

Derivata della seconda inversa X

Supponiamo che sec y = x

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec y.tan y →(i)

Poiché sappiamo che il sec²e così²y = 1

⇒ così²y = sec²e – 1

⇒ tan y = √(sec²y – 1) = √(x²– 1)poiché abbiamo sec y = x

Mettendo questo valore di tan y nell'equazione (i)

math.pow java

dy/dx = 1/x dove sec y = x e y = sec^-1X

Derivata della coseca inversa X

Supponiamo cosec y = x

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Poiché sappiamo che cosec²e – lettino²y = 1

⇒ lettino²y = cosec²e – 1

⇒ lettino y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)poiché abbiamo cosec y = x

Mettendo questo valore di tan y nell'equazione (i)

dy/dx = -1/x dove cosec y = x e y = cosec^-1X

Formula della derivata trigonometrica inversa

Ora abbiamo imparato a differenziare le funzioni trigonometriche inverse, quindi vedremo ora le formule per la derivata delle funzioni trigonometriche inverse che possono essere utilizzate direttamente nei problemi. Di seguito è riportata la tabella della derivata della formula della funzione trigonometrica inversa.

Per saperne di più,

• Derivata in forma parametrica
• Formule derivate
• Applicazione del derivato
• Derivata della funzione esponenziale

Esempi di derivata trigonometrica inversa

Esempio 1: Differenziare il peccato ^-1 (X)?

Soluzione:

Permettere, E = senza ⁻¹( X )

Prendendo il seno su entrambi i lati dell'equazione si ottiene,

peccato y = peccato(peccato^-1X)

Per la proprietà della trigonometria inversa sappiamo che sin(sin^-1x) = x

peccato y = x

Ora differenziando entrambi i membri rispetto a x,

d/dx{peccato y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Possiamo semplificarlo ulteriormente utilizzando l'osservazione seguente:

senza²e + cos²y = 1

X²+cos²y = 1 {Come peccato y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Sostituendo il valore, otteniamo

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Esempio 2: Differenziare cos ^-1 (X)?

Soluzione:

Permettere,

E =cos⁻¹( X )

Prendendo il coseno su entrambi i lati dell'equazione si ottiene,

cos y = cos(cos^-1X)

Per la proprietà della trigonometria inversa sappiamo che cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Ora differenziando entrambi i membri rispetto a x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-peccato y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sen y

Possiamo semplificarlo ulteriormente utilizzando l'osservazione seguente:

senza²e + cos²y = 1

senza²y+x²= 1 {Come cos y = x}

senza²y = 1-x²

peccato y = √(1 – x²)

Sostituendo il valore, otteniamo

dy/dx = -1/{peccato y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Esempio 3: Differenziare l'abbronzatura ^-1 (X)?

Soluzione:

Permettere, E = così⁻¹( X )

Prendere l'abbronzatura su entrambi i lati dell'equazione dà,

abbronzatura y = abbronzatura(abbronzatura^-1X)

Dalla proprietà della trigonometria inversa sappiamo che tan(tan^-1x) = x

abbronzatura y = x

Ora differenziando entrambi i membri rispetto a x,

d/dx{peccato y} = d/dx{x}

sez²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sec²X

Possiamo semplificarlo ulteriormente utilizzando l'osservazione seguente:

sez²e così²y = 1

sez²y–x²= 1

sez²y = 1 + x²

Sostituendo il valore, otteniamo

dy/dx = 1/sec²E

dy/dx = 1/(1 + x²)

Esempio 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Trovare dy/dx in x = 1/2?

Soluzione:

Metodo 1 (utilizzando la differenziazione implicita)

Dato, E = cos ⁻¹(-2 X ²)

⇒ cos E = −2 X ²

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-peccato y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sen y

Semplificando

senza²e + cos²y = 1

senza²e + (-2x²)²= 1 {Come cos y = -2x²}

senza²y + 4x⁴= 1

senza²y = 1 – 4x⁴

k il vicino più vicino

peccato y = √(1 – 4x⁴)

Mettendo il valore ottenuto otteniamo,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metodo 2 (utilizzando la regola della catena poiché conosciamo la differenziazione del cos inverso x)

Dato, E = cos ⁻¹(-2 X ²)

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Esempio 5: Differenziare egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Soluzioni:

Permettere,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Differenziando entrambi i membri rispetto a x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Domande sulla derivata trigonometrica inversa

Prova le seguenti domande sulla derivata trigonometrica inversa

Q1: Differenziare il peccato ^-1 (3x-4x ³ ) per x ϵ -1/2