Teorema di Bayes viene utilizzato per determinare la probabilità condizionata di un evento. Prende il nome da uno statistico inglese, Tommaso Bayes che scoprì questa formula nel 1763. Il Teorema di Bayes è un teorema molto importante in matematica, che gettò le basi di un approccio unico all'inferenza statistica chiamato L’inferenza di Bayes. Viene utilizzato per trovare la probabilità di un evento, in base alla conoscenza anticipata delle condizioni che potrebbero essere correlate a tale evento.

Per esempio, se vogliamo trovare la probabilità che una biglia bianca estratta a caso provenga dal primo sacchetto, dato che è già stata estratta una biglia bianca, e ci sono tre sacchetti contenenti ciascuno delle biglie bianche e nere, quindi possiamo usare il Teorema di Bayes.

Questo articolo esplora il teorema di Bayes inclusa la sua affermazione, dimostrazione, derivazione e formula del teorema, nonché le sue applicazioni con vari esempi.

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Qual è il teorema di Bayes?

Il teorema di Bayes (noto anche come regola di Bayes o legge di Bayes) viene utilizzato per determinare la probabilità condizionata dell'evento A quando l'evento B si è già verificato.

L’enunciato generale del teorema di Bayes è La probabilità condizionata di un evento A, dato il verificarsi di un altro evento B, è uguale al prodotto dell'evento di B, dato A e la probabilità di A divisa per la probabilità dell'evento B. i.e.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

Dove,

• PAPÀ) E P(B) sono le probabilità degli eventi A e B
• P(A|B) è la probabilità che si verifichi l'evento A quando si verifica l'evento B
• P(B|A) è la probabilità che si verifichi l'evento B quando si verifica A

Controllo: Teorema di Bayes per la probabilità condizionata

Enunciato del teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes per n insieme di eventi è definito come:

Lasciamo che E₁, E₂,…, E_Nessere un insieme di eventi associati allo spazio campionario S, in cui tutti gli eventi E₁, E₂,…, E_Nhanno una probabilità di accadimento diversa da zero. Tutti gli eventi E₁, E₂,…, E formano una partizione di S. Sia A un evento dello spazio S per il quale dobbiamo trovare la probabilità, quindi secondo il teorema di Bayes,

P(E _io |A) = P(E _io )P(A|E _io ) / ∑ P(E _K )P(A|E _K )

per k = 1, 2, 3, …., n

Formula del teorema di Bayes

Per due eventi A e B qualsiasi, la formula per il teorema di Bayes è data da: (l'immagine riportata di seguito fornisce la formula del teorema di Bayes)

Formula del teorema di Bayes

Dove,

• PAPÀ) E P(B) sono le probabilità degli eventi A e B anche P(B) non è mai uguale a zero.
• P(A|B) è la probabilità che si verifichi l'evento A quando si verifica l'evento B
• P(B|A) è la probabilità che si verifichi l'evento B quando si verifica A

Derivazione del teorema di Bayes

La dimostrazione del Teorema di Bayes è data come, secondo la formula della probabilità condizionata,

P(E _io |A) = P(E _io ∩A) / P(A)…..(i)

Quindi, utilizzando la regola della moltiplicazione delle probabilità, otteniamo

P(E _io ∩A) = P(E _io )P(A|E _io )……(ii)

Ora, per il teorema della probabilità totale,

P(A) = ∑ P(E _K )P(A|E _K )…..(iii)

Sostituendo il valore di P(E_io∩A) e P(A) dall'eq (ii) e dall'eq(iii) nell'eq(i) otteniamo,

P(E _io |A) = P(E _io )P(A|E _io ) / ∑ P(E _K )P(A|E _K )

Il teorema di Bayes è anche conosciuto come la formula del probabilità delle cause . Come sappiamo, l'E _io sono una partizione dello spazio campionario S, e in ogni dato istante solo uno degli eventi E _io si verifica. Concludiamo quindi che la formula del teorema di Bayes fornisce la probabilità di un particolare E_io, dato che si è verificato l'evento A.

Termini relativi al teorema di Bayes

Dopo aver appreso in dettaglio il teorema di Bayes, comprendiamo alcuni termini importanti relativi ai concetti trattati in formula e derivazione.

• Ipotesi: Eventi che accadono nello spazio campionario E ₁ , E ₂ ,… E _N si chiama ipotesi

• Probabilità a priori: La probabilità a priori è la probabilità iniziale che un evento si verifichi prima che vengano presi in considerazione nuovi dati. P(E_io) è la probabilità a priori dell'ipotesi E_io.

• Probabilità posteriore: La probabilità posteriore è la probabilità aggiornata di un evento dopo aver considerato nuove informazioni. Probabilità P(E_io|A) è considerata la probabilità a posteriori dell'ipotesi E_io.

Probabilità condizionale

• Si definisce probabilità che un evento A si verifichi in base al verificarsi di un altro evento B probabilità condizionale .
• È indicato come P(A|B) e rappresenta la probabilità di A quando l'evento B è già accaduto.

Probabilità congiunta

Quando viene misurata la probabilità che altri due eventi si verifichino insieme e nello stesso momento, viene contrassegnata come probabilità congiunta. Per due eventi A e B, è indicato con probabilità congiunta è indicato come, P(A∩B).

Variabili casuali

Le variabili a valori reali i cui possibili valori sono determinati da esperimenti casuali sono chiamate variabili casuali. La probabilità di trovare tali variabili è la probabilità sperimentale.

Applicazioni del Teorema di Bayes

L'inferenza bayesiana è molto importante e ha trovato applicazione in varie attività, tra cui medicina, scienza, filosofia, ingegneria, sport, diritto, ecc., e l'inferenza bayesiana deriva direttamente dal teorema di Bayes.

Esempio: Il teorema di Bayes definisce l’accuratezza del test medico prendendo in considerazione la probabilità che una persona abbia una malattia e qual è l’accuratezza complessiva del test.

Differenza tra probabilità condizionata e teorema di Bayes

La differenza tra Probabilità Condizionata e Teorema di Bayes può essere compresa con l'aiuto della tabella riportata di seguito,

Teorema della probabilità totale

Lasciamo che E₁, E₂, . . ., E_Nè eventi mutuamente esclusivi ed esaustivi associati a un esperimento casuale e lascia che E sia un evento che si verifica con qualche E_io. Allora dimostralo

P(E) = ^N ∑ _io=1 P(E/E _io ). P(E _J )

Prova:

Sia S lo spazio campionario. Poi,

S = E₁∪E₂∪E₃∪. . . ∪ Uno ed E_io∩E_J= ∅ per i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪E₂∪E₃∪. . . ∪E_N)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_N)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_N)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_N)

{Pertanto, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_N)} sono disgiunti a coppie}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_N). P(E_N) [per teorema della moltiplicazione]

⇒ P(E) =^N∑_io=1P(E/E_io). P(E_io)

Articoli relativi al Teorema di Bayes

• Distribuzione di probabilità
• Teorema di Bayes per la probabilità condizionata
• Permutazioni e combinazioni
• Teorema binomiale

Conclusione – Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes offre un potente quadro per aggiornare la probabilità di un’ipotesi sulla base di nuove prove o informazioni. Incorporando le conoscenze pregresse e aggiornandole con i dati osservati, il Teorema di Bayes consente un processo decisionale più accurato e informato in un’ampia gamma di campi, tra cui statistica, apprendimento automatico, medicina e finanza. Le sue applicazioni spaziano dalla diagnosi medica e valutazione del rischio al filtraggio dello spam e all'elaborazione del linguaggio naturale.

Comprendere e applicare il Teorema di Bayes ci consente di fare previsioni migliori, stimare le incertezze e trarre spunti significativi dai dati, migliorando in definitiva la nostra capacità di prendere decisioni informate in situazioni complesse e incerte.

Controlla anche:

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• Teorema di Bayes nel data mining
• Teorema di Bayes nell'intelligenza artificiale
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Esempi di teorema di Bayes

Esempio 1: Una persona ha intrapreso un lavoro. Le probabilità di completare il lavoro in tempo con e senza pioggia sono rispettivamente 0,44 e 0,95. Se la probabilità che piova è 0,45, determinare la probabilità che il lavoro venga completato in tempo.

Soluzione:

Lasciamo che E₁essere il caso in cui il lavoro di estrazione sarà completato in tempo ed E₂sia il caso in cui piova. Abbiamo,

P(A) = 0,45,

P(senza pioggia) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Per la legge della moltiplicazione delle probabilità,

P(E₁) = 0,44 e P(E₂) = 0,95

Poiché gli eventi A e B formano partizioni dello spazio campionario S, per il teorema della probabilità totale, abbiamo

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Pertanto, la probabilità che il lavoro venga completato in tempo è 0,7205

Esempio 2: Ci sono tre urne contenenti 3 palline bianche e 2 nere; 2 palline bianche e 3 nere; Rispettivamente 1 pallina nera e 4 palline bianche. C'è la stessa probabilità che ciascuna urna venga scelta. Una pallina è scelta a caso con uguale probabilità. qual è la probabilità che venga estratta una pallina bianca?

Soluzione:

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Lasciamo che E₁, E₂, ed E₃essere gli eventi di scelta rispettivamente della prima, della seconda e della terza urna. Poi,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Sia E l'evento in cui viene estratta una pallina bianca. Poi,

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Per il teorema della probabilità totale, abbiamo

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Esempio 3: Una carta di un mazzo di 52 carte viene persa. Dalle restanti carte del mazzo si estraggono due carte e si scopre che sono entrambe di cuori. trovare la probabilità che la carta persa sia un cuore.

Soluzione:

Lasciamo che E₁, E₂, E_3,ed E₄essere gli eventi di perdere rispettivamente una carta di cuori, fiori, picche e quadri.

Allora P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Sia E l'evento in cui si estraggono 2 cuori dalle rimanenti 51 carte. Poi,

P(E|E₁) = probabilità di estrarre 2 cuori, dato che manca una carta di cuori

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = probabilità di estrarre 2 fiori, dato che manca una carta di fiori

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = probabilità di estrarre 2 picche, dato che manca una carta di cuori

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = probabilità di estrarre 2 quadri, dato che manca una carta di quadri

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Perciò,

P(E₁|E) = probabilità che la carta persa sia di cuori, dato che vengono estratti 2 cuori dalle restanti 51 carte

⇒ P(E₁|E) = P(E₁) . P(E|E₁)/P(E₁) . P(E|E₁) + P(E₂) . P(E|E₂) + P(E₃) . P(E|E₃) + P(E₄) . P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Quindi, la probabilità richiesta è 0,22.

Esempio 4: Supponiamo che 15 uomini su 300 uomini e 25 donne su 1000 siano buoni oratori. Un oratore viene scelto a caso. Trovare la probabilità che venga selezionata una persona di sesso maschile. Supponiamo che vi sia un numero uguale di uomini e donne.

Soluzione:

Gievn,

• Totale uomini = 300
• Totale donne = 1000
• Buoni oratori tra gli uomini = 15
• Buoni oratori tra le donne = 25

Numero totale di buoni oratori = 15 (dagli uomini) + 25 (dalle donne) = 40

Probabilità di selezionare un oratore maschio:

P(Oratore maschio) = Numero di oratori maschi / numero totale di oratori = 15/40

Esempio 5: È noto che un uomo dice bugie 1 volta su 4. Lancia un dado e dice che è un sei. Trova la probabilità che sia effettivamente un sei.

Soluzione:

In un lancio di dado, lasciamo

E₁= evento in cui si ottiene un sei,

E₂= evento in cui non si ottiene un sei e

E = evento in cui l'uomo riferisce che è un sei.

Allora P(E₁) = 1/6 e P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = probabilità che l'uomo riferisca che si verifica il sei quando il sei si è effettivamente verificato

⇒ P(E|E₁) = probabilità che l'uomo dica la verità

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = probabilità che l'uomo riporti che si verifica il sei quando il sei in realtà non si è verificato

⇒ P(E|E₂) = probabilità che l'uomo non dica la verità

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Probabilità di ottenere un sei, dato che l'uomo riferisce che è sei

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [secondo il teorema di Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Quindi la probabilità richiesta è 3/8.

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Domande frequenti sul teorema di Bayes

Qual è il teorema di Bayes?

Il teorema di Bayes, come suggerisce il nome, è un teorema matematico utilizzato per trovare la probabilità di condizionalità di un evento. La probabilità condizionata è la probabilità che un evento si verifichi in futuro. Viene calcolato in base ai risultati precedenti degli eventi.

Quando viene utilizzato il teorema di Bayes?

Il teorema di Bayes ha una vasta gamma di applicazioni, soprattutto nei campi che riguardano l’aggiornamento delle probabilità basate su nuovi dati. La regola di Bayes ti consente di calcolare il probabilità a posteriori (o aggiornata). Viene utilizzato per calcolare la probabilità condizionata degli eventi.

Quali sono alcuni termini chiave per comprendere il teorema di Bayes?

Alcuni dei termini chiave sono:

• Probabilità a priori (P(A))
• Probabilità posteriore (P(A | B))
• Probabilità (P(B | A))
• Probabilità marginale (P(B))

Quando utilizzare il teorema di Bayes?

Il teorema di Bayes è applicabile quando viene data la probabilità condizionata di un evento, viene utilizzato per trovare la probabilità inversa dell'evento.

In cosa differisce il teorema di Bayes dalla probabilità condizionata?

Il teorema di Bayes viene utilizzato per definire la probabilità di un evento in base alle condizioni precedenti dell'evento. Il Teorema di Bayes, invece, utilizza la probabilità condizionata per trovare la probabilità inversa dell’evento.

Qual è la formula del teorema di Bayes?

La formula del teorema di Bayes è spiegata di seguito,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)