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Il teorema di De Morgan

Un famoso matematico DeMorgan inventò i due teoremi più importanti dell'algebra booleana. I teoremi di DeMorgan vengono utilizzati per la verifica matematica dell'equivalenza delle porte NOR e AND negativo e delle porte OR negativo e NAND. Questi teoremi svolgono un ruolo importante nella risoluzione di varie espressioni dell'algebra booleana. Nella tabella seguente viene definita l'operazione logica per ciascuna combinazione della variabile di ingresso.

Variabili di input Condizione di uscita
UN B E NAND O
0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0

Le regole del teorema di De-Morgan sono prodotte dalle espressioni booleane per OR , AND e NOT utilizzando due variabili di input x e y. Il primo teorema di Demorgan dice che se eseguiamo l'operazione AND di due variabili di input e poi eseguiamo l'operazione NOT del risultato, il risultato sarà lo stesso dell'operazione OR del complemento di quella variabile. Il secondo teorema di DeMorgan dice che se eseguiamo l'operazione OR di due variabili di input e poi eseguiamo l' NON operazione del risultato, il risultato sarà lo stesso dell'operazione AND del complemento di quella variabile.

Primo Teorema di De Morgan

Secondo il primo teorema, il risultato del complemento dell'operazione AND è uguale all'operazione OR del complemento di quella variabile. Pertanto, è equivalente alla funzione NAND ed è una funzione OR negativo che dimostra che (A.B)' = A'+B' e possiamo mostrarlo utilizzando la seguente tabella.

Ingressi Output per ogni termine
UN B A.B (AB)' UN' B' A'A+B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0

Il teorema di De Morgan

Secondo Teorema di De-Morgan

Secondo il secondo teorema, il risultato del complemento dell'operazione OR è uguale all'operazione AND del complemento di quella variabile. Pertanto, è l'equivalente della funzione NOR ed è una funzione AND negativa che dimostra che (A+B)' = A'.B' e possiamo dimostrarlo utilizzando la seguente tabella di verità.

Ingressi Output per ogni termine
UN B A+B (A+B)' UN' B' A'.B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0

Il teorema di De Morgan

Facciamo alcuni esempi in cui prendiamo alcune espressioni e applichiamo i teoremi di DeMorgan.

Esempio 1: (A.B.C)'

(A.B.C)'=A'+B'+C'

Esempio 2: (A+B+C)'

(A+B+C)'=A'.B'.C

Esempio 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'

Per applicare il teorema di DeMorgan a questa espressione, dobbiamo seguire le seguenti espressioni:

1) Nell'espressione completa troviamo innanzitutto quei termini sui quali possiamo applicare il teorema di DeMorgan e trattare ogni termine come un'unica variabile.

Il teorema di De Morgan
Il teorema di De Morgan

COSÌ,

Il teorema di De Morgan

2) Successivamente applichiamo il primo teorema di DeMorgan. COSÌ,

Il teorema di De Morgan

3) Successivamente, utilizziamo la regola numero 9, ovvero (A=(A')') per cancellare le doppie battute.

Il teorema di De Morgan

4) Successivamente applichiamo il secondo teorema di DeMorgan. COSÌ,

Il teorema di De Morgan

5) Applica nuovamente la regola numero 9 per annullare la doppia battuta

Il teorema di De Morgan

Ora, questa espressione non ha un termine al quale si possa applicare qualche regola o teorema. Quindi questa è l'espressione finale.

Esempio 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'

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Il teorema di De Morgan