Un famoso matematico DeMorgan inventò i due teoremi più importanti dell'algebra booleana. I teoremi di DeMorgan vengono utilizzati per la verifica matematica dell'equivalenza delle porte NOR e AND negativo e delle porte OR negativo e NAND. Questi teoremi svolgono un ruolo importante nella risoluzione di varie espressioni dell'algebra booleana. Nella tabella seguente viene definita l'operazione logica per ciascuna combinazione della variabile di ingresso.
| Variabili di input | Condizione di uscita | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| UN | B | E | NAND | O | NÉ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Le regole del teorema di De-Morgan sono prodotte dalle espressioni booleane per OR , AND e NOT utilizzando due variabili di input x e y. Il primo teorema di Demorgan dice che se eseguiamo l'operazione AND di due variabili di input e poi eseguiamo l'operazione NOT del risultato, il risultato sarà lo stesso dell'operazione OR del complemento di quella variabile. Il secondo teorema di DeMorgan dice che se eseguiamo l'operazione OR di due variabili di input e poi eseguiamo l' NON operazione del risultato, il risultato sarà lo stesso dell'operazione AND del complemento di quella variabile.
Primo Teorema di De Morgan
Secondo il primo teorema, il risultato del complemento dell'operazione AND è uguale all'operazione OR del complemento di quella variabile. Pertanto, è equivalente alla funzione NAND ed è una funzione OR negativo che dimostra che (A.B)' = A'+B' e possiamo mostrarlo utilizzando la seguente tabella.
| Ingressi | Output per ogni termine | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| UN | B | A.B | (AB)' | UN' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Secondo Teorema di De-Morgan
Secondo il secondo teorema, il risultato del complemento dell'operazione OR è uguale all'operazione AND del complemento di quella variabile. Pertanto, è l'equivalente della funzione NOR ed è una funzione AND negativa che dimostra che (A+B)' = A'.B' e possiamo dimostrarlo utilizzando la seguente tabella di verità.
| Ingressi | Output per ogni termine | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| UN | B | A+B | (A+B)' | UN' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Facciamo alcuni esempi in cui prendiamo alcune espressioni e applichiamo i teoremi di DeMorgan.
Esempio 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Esempio 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Esempio 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Per applicare il teorema di DeMorgan a questa espressione, dobbiamo seguire le seguenti espressioni:
1) Nell'espressione completa troviamo innanzitutto quei termini sui quali possiamo applicare il teorema di DeMorgan e trattare ogni termine come un'unica variabile.
COSÌ,
2) Successivamente applichiamo il primo teorema di DeMorgan. COSÌ,
3) Successivamente, utilizziamo la regola numero 9, ovvero (A=(A')') per cancellare le doppie battute.
4) Successivamente applichiamo il secondo teorema di DeMorgan. COSÌ,
5) Applica nuovamente la regola numero 9 per annullare la doppia battuta
Ora, questa espressione non ha un termine al quale si possa applicare qualche regola o teorema. Quindi questa è l'espressione finale.
Esempio 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
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