Il determinante è un concetto fondamentale dell'algebra lineare utilizzato per trovare un singolo valore scalare per una determinata matrice. Questo articolo spiegherà cos'è una matrice 3 × 3 e come calcolare passo dopo passo il determinante di una matrice 3 × 3, nonché le sue applicazioni. Che tu sia uno studente che sta imparando l'algebra lineare o un appassionato che cerca una comprensione più profonda delle operazioni con le matrici, comprendere il determinante di una matrice 3 × 3 è un'abilità preziosa da acquisire.

Qual è il determinante della matrice?

Determinante di una matrice è un singolo numero calcolato da una matrice quadrata. Nel campo dell'algebra lineare, i determinanti si trovano utilizzando i valori all'interno della matrice quadrata. Questo numero agisce come un fattore di scala, influenzando il modo in cui la matrice si trasforma. I determinanti sono utili per risolvere sistemi di equazioni lineari, trovare l'inverso di una matrice e varie operazioni di calcolo.

Cos'è la matrice 3×3?

Una matrice 3×3 è a matrice in cui il numero di righe e colonne sono entrambi uguali a 3. Poiché il numero di righe e colonne sono uguali, quindi 3 × 3 è una matrice quadrata di ordine 3 × 3. Una matrice è come una tabella composta da numeri, organizzata in righe e colonne. Viene utilizzato per archiviare e lavorare con dati in matematica e altri campi. Considerando che una matrice 3 × 3 è un tipo specifico di matrice composta da tre righe e tre colonne. Può essere rappresentato come:

Matrice 3×3

Proprietà della Matrice 3×3

Come le altre matrici, anche le matrici 3×3 hanno alcune proprietà importanti.

• Matrice quadrata : Una matrice 3 × 3 ha tre righe e tre colonne, rendendola una matrice quadrata.

• Determinante: Una matrice 3 × 3 ha un determinante, un valore numerico cruciale per risolvere equazioni e trovare le inverse.

• Moltiplicazione di matrici: Puoi moltiplicare una matrice 3 × 3 per un'altra matrice se il numero di colonne nella prima matrice corrisponde al numero di righe nella seconda.

• Inverso: Una matrice 3 × 3 può avere un'inversa se il suo determinante è diverso da zero. La matrice inversa, moltiplicata per la matrice originale, produce la matrice identità.

Determinante della formula della matrice 3 × 3

Esistono vari metodi per calcolare il determinante di una matrice. L'approccio più comune consiste nel suddividere una determinata matrice 3 × 3 in determinanti 2 × 2 più piccoli. Ciò semplifica il processo di ricerca del determinante ed è ampiamente utilizzato nell'algebra lineare.

Prendiamo una matrice quadrata 3 × 3 scritta come:

Per calcolare il determinante della matrice A, ovvero |A|.

Espandi la matrice lungo gli elementi della prima riga.

sottolineare nel ribasso

Perciò,

Come si trova il determinante di una matrice 3 × 3?

Cerchiamo di comprendere il calcolo di una matrice 3×3 con un esempio. Per la matrice 3 × 3 data di seguito.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Passaggio 1: scegli una riga o colonna di riferimento

Seleziona una riga e una colonna per iniziare, supponiamo che in questo esempio prendiamo il primo elemento (2) come riferimento per calcolare il determinante della matrice 3 × 3.

Quindi, espandendosi lungo la riga R₁

Passaggio 2: cancella riga e colonna

Rimuovi la riga e la colonna scelte per semplificarle in una matrice 2 × 2.

Matrice 2×2

Passaggio 3: Trova il determinante della matrice 2 × 2

Trova il determinante della matrice 2 × 2 utilizzando la formula

Determinante = (a × d) – (b × c)

Moltiplicazione incrociata

Qui a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

inserendo questi valori nella formula del determinante sopra, otteniamo

Determinante = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinante = 0- (-1)

Determinante = 0+1

∴ Determinante della matrice 2 × 2 = 1

Passaggio 4: moltiplicare per l'elemento scelto

Moltiplicare il determinante della matrice 2 × 2 per l'elemento scelto dalla riga di riferimento (che in questo caso è 2,1 e 3):

primo elemento = 2 × 1 = 2

Passaggio 5: ripetere questo processo per il secondo elemento nella riga di riferimento scelta

Per il secondo elemento

Trova il determinante per il secondo elemento 1 inserendo i valori della matrice 2×2 nella formula

Determinante = (a × d) – (b × c)

Qui a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinante = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinante = 8 – 2

Determinante = 6

Ora moltiplica il determinante della matrice 2 × 2 per l'elemento scelto dalla riga di riferimento (che in questo caso è 1):

secondo elemento = 1 × 6 = 6

Passaggio 6: ripetere questo processo per il terzo elemento nella riga di riferimento scelta

Per il terzo elemento

Trova il determinante per il terzo elemento 3 inserendo i valori della matrice 2×2 nella formula

Determinante = (a × d) – (b × c)

Qui a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinante = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinante = -4 – 0

Determinante = -4

Ora moltiplica il determinante della matrice 2×2 per l'elemento scelto dalla riga di riferimento (che in questo caso è 3):

secondo elemento = 3 × (-4) = -12

Passaggio 7: utilizzo della formula

Somma tutti i risultati dei passaggi 4, 5 e 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 è il determinante della matrice 3 × 3.

Applicazione del determinante di una matrice 3 × 3

Il determinante di una matrice può essere utilizzato per trovare l'inverso e risolvere il sistema di equazioni lineari. Quindi, impariamo a trovare l'inverso della Matrice 3 × 3 e anche a risolvere il sistema di equazioni lineari utilizzando la Regola di Cramer che implica l'uso del determinante della Matrice 3 × 3.

Inverso della matrice 3×3

La formula per trovare l'inversa di una matrice quadrata A è:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Dove,

• A-1 è il inversa della matrice A .
• Det(A) rappresenta il determinante della matrice A.
• adj(A) sta per l'adigato della matrice A

In termini semplici, puoi seguire questi passaggi per trovare l'inverso di una matrice:

Passo 1. Calcolare il determinante della matrice A.

Passo 2. Trova l'adiugato della matrice A.

Passaggio 3. Moltiplica ciascun elemento dell'adigato per 1/det(A).

Questa formula viene utilizzata per matrici quadrate (matrici con lo stesso numero di righe e colonne) e presuppone che il determinante sia diverso da zero, che è una condizione necessaria affinché una matrice abbia un inverso.

Regola di Cramer

Regola di Cramer fornisce una formula per risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando determinanti. Per un sistema lineare le equazioni con n variabili sono date nella forma di

ASSE=B

Dove,

• A = Coefficiente della matrice quadrata
• X = Matrice di colonne con variabili
• B = matrice di colonne con costanti

Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari

UN₁x+b₁y+c₁z+. . . = d₁

UN₂x+b₂y+c₂z+. . . = d₂

. . .

UN_Nx+b_Ny+c_Nz+. . . = d_N

Le variabili x, y, z, …, vengono determinate utilizzando le seguenti formule:

• x = D_X/D
• y = D_E/D
• z = D_Con/D

Dove:

• D è il determinante della matrice dei coefficienti.
• D_Xè il determinante della matrice ottenuta sostituendo i coefficienti di x con le costanti a destra.
• D_Eè il determinante della matrice ottenuta sostituendo i coefficienti di y
• D_Conè il determinante della matrice ottenuta sostituendo i coefficienti di z

La regola di Cramer è applicabile quando il determinante della matrice dei coefficienti D è diverso da zero. Se D = 0 non è applicabile la regola che indica o nessuna soluzione oppure infinite soluzioni a seconda del caso specifico.

Inoltre, controlla

• Tipi di matrici
• Sistema di equazioni lineari con tre variabili
• Operazioni su matrici

Determinante della matrice 3 × 3 Esempi risolti

Esempio 1: Trova il determinante della matrice A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinante di A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinante di A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinante di A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinante di A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinante di A =-44+11

∴ Determinante di A cioè |A| = (-33)

Esempio 2: Trova il determinante della matrice B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinante di B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinante di B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinante di B = 1(6) – 0 – 12

elenco Java di

⇒ Determinante di B =6-12

⇒ Determinante di B = (-6)

∴ Determinante di B cioè |B| = 6

Esempio 3: Trova il determinante della matrice C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinante della matrice C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinante di C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinante di C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinante di C = 24 + 10 -8

⇒ Determinante di C = 26

∴ Determinante di C cioè |C| = 26

Esempio 4: risolvere il sistema di equazioni fornito utilizzando la regola di Cramer

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Soluzione:

Passo 1: Innanzitutto, trova il determinante D della matrice dei coefficienti.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Sulla risoluzione di questo determinante D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Passo 2: Ora troviamo le determinanti di D_X, D_Ee D_Con

Per D_X, sostituiamo i coefficienti di x con le costanti a destra:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Per D_E, sostituiamo i coefficienti di y con le costanti:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Per D_Con, sostituiamo i coefficienti di z con le costanti:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Sulla risoluzione del determinante D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒D_X= -49 + 42 + 28

Così, d_X= 21

Sulla risoluzione del determinante D_E

if else istruzione in Java

D_E= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒D_E= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒D_E= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒D_E= -68 + 14 + 24

⇒D_E= -30

Sulla risoluzione del determinante D_Con

D_Con= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒D_Con= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒D_Con= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒D_Con= 20 – 6 – 98

⇒D_Con= -84

Passaggio 3: Ora inserendo i valori di D, D_X, D_Ee D_Connella formula della regola di Carmer per trovare i valori di x, y e z.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_E/D = (-30)/(-19)

z = D_Con/D = (-84)/(-19)

Domande pratiche sul determinante della matrice 3 × 3

Q1. Calcolare il determinante della matrice identità:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Trovare il determinante della matrice:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Determinare il determinante della matrice:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Calcolare il determinante della matrice:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Trovare il determinante della matrice:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Determinare il determinante della matrice:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinante della Matrice 3×3 – Domande frequenti

1. Cos'è una matrice?

Una matrice è una disposizione rettangolare di numeri o elementi organizzati in righe e colonne. Viene utilizzato in vari campi per rappresentare e risolvere problemi matematici, scientifici e ingegneristici.

2. Qual è il significato del Determinante di una Matrice 3 × 3?

Il determinante di una matrice 3×3 è significativo perché fornisce informazioni sulle proprietà della matrice. Aiuta a determinare se un sistema di equazioni lineari ha una soluzione unica, tra le altre applicazioni.

3. Qual è la definizione di determinante della matrice?

Il determinante di una matrice è un valore scalare calcolato dagli elementi della matrice, che fornisce informazioni sulle sue proprietà. Viene utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari, trovare inversi e altro ancora.

4. Cosa succede se il determinante di una matrice 3 × 3 è zero?

Se il determinante di una matrice 3 × 3 è zero, significa che la matrice è singolare e non ha inversa. In termini geometrici, indica che la trasformazione rappresentata dalla matrice fa collassare l'area o il volume a zero. il determinante è sempre zero. Questo è applicabile per matrici di qualsiasi dimensione.

5. Il determinante di una matrice 3 × 3 può essere negativo?

Sì, il determinante può essere negativo. Il segno del determinante dipende dalla disposizione degli elementi della matrice e se, a seconda del metodo di calcolo, danno un valore positivo o negativo.

6. Quali sono alcune applicazioni pratiche per trovare il determinante di una matrice 3 × 3?

I determinanti sono utilizzati in vari campi, tra cui fisica, ingegneria, computer grafica ed economia. Aiutano a risolvere sistemi di equazioni lineari, analizzare trasformazioni geometriche e determinare la stabilità dei sistemi dinamici.