La permutazione e la combinazione sono i concetti fondamentali della matematica e con questi concetti viene introdotta agli studenti una nuova branca della matematica, ovvero la combinatoria. La permutazione e la combinazione sono i modi per organizzare un gruppo di oggetti selezionandoli in un ordine specifico e formando i loro sottoinsiemi.

Per organizzare gruppi di dati in un ordine specifico vengono utilizzate formule di permutazione e combinazione. Si dice che la selezione dei dati o degli oggetti da un certo gruppo sia una permutazione, mentre l'ordine in cui sono disposti è chiamato combinazione.

Permutazioni e combinazioni

In questo articolo studieremo il concetto di Permutazione e Combinazione e le loro formule, utilizzandole anche per risolvere molti problemi di esempio.

Tabella dei contenuti

• Significato della permutazione
• Significato della combinazione
• Derivazione di formule di permutazione e combinazione
• Differenza tra permutazione e combinazione
• Esempi risolti su permutazioni e combinazioni

Significato della permutazione

La permutazione è l'interpretazione diversa di un determinato numero di componenti trasportati uno per uno, alcuni o tutti alla volta. Ad esempio, se abbiamo due componenti A e B, allora ci sono due prestazioni probabili, AB e BA.

Un numero di permutazioni quando i componenti 'r' sono posizionati su un totale di componenti 'n' lo è ^N P _R . Ad esempio, sia n = 3 (A, B e C) e r = 2 (tutte le permutazioni di dimensione 2). Poi ci sono ³ P ₂ tali permutazioni, che è uguale a 6. Queste sei permutazioni sono AB, AC, BA, BC, CA e CB. Le sei permutazioni di A, B e C prese tre alla volta sono mostrate nell'immagine aggiunta di seguito:

Significato della permutazione

Formula di permutazione

Formula di permutazione viene utilizzato per trovare il numero di modi da scegliere R cose fuori N cose diverse in un ordine specifico e la sostituzione non è consentita ed è data come segue:

Formula di permutazione

Spiegazione della formula di permutazione

Come sappiamo, la permutazione è una disposizione di r cose su n dove l'ordine di disposizione è importante (AB e BA sono due permutazioni diverse). Se ci sono tre numeri diversi 1, 2 e 3 e se qualcuno è curioso di permutare i numeri prendendo 2 alla volta, appare (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3 ), (3, 1) e (3, 2). Cioè può essere realizzato in 6 metodi.

Qui, (1, 2) e (2, 1) sono distinti. Ancora una volta, se questi 3 numeri devono essere gestiti tutti alla volta, le interpretazioni saranno (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1 ), (3, 1, 2) e (3, 2, 1) cioè in 6 modi.

In generale, n cose distinte possono essere poste prendendo r (r^thcosa può essere una qualsiasi delle rimanenti n – (r – 1) cose.

Quindi, l’intero numero di permutazioni di n cose distinte che trasportano r alla volta è n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] che si scrive come^NP_R. O, in altre parole,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Significato della combinazione

Sono le sezioni distinte di un numero condiviso di componenti trasportati uno per uno, o alcuni, o tutti alla volta. Ad esempio, se ci sono due componenti A e B, allora c'è solo un modo per selezionare due cose: selezionarli entrambi.

Ad esempio, sia n = 3 (A, B e C) e r = 2 (tutte le combinazioni di dimensione 2). Poi ci sono ³ C ₂ tali combinazioni, che è uguale a 3. Queste tre combinazioni sono AB, AC e BC.

Ecco, il combinazione di due lettere qualsiasi delle tre lettere A, B e C mostrate di seguito, notiamo che nella combinazione l'ordine in cui A e B sono prese non è importante poiché AB e BA rappresentano la stessa combinazione.

Significato della combinazione

Nota: Nello stesso esempio, abbiamo punti distinti per permutazione e combinazione. Infatti, AB e BA sono due elementi distinti, cioè due permutazioni distinte, ma per la selezione, AB e BA sono la stessa cosa, cioè la stessa combinazione.

Formula di combinazione

La formula di combinazione viene utilizzata per scegliere i componenti 'r' da un numero totale di componenti 'n' ed è data da:

Formula di combinazione

Usando la formula sopra per r e (n-r), otteniamo lo stesso risultato. Così,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Spiegazione della formula di combinazione

La combinazione, d'altra parte, è un tipo di pacchetto. Ancora una volta, di questi tre numeri 1, 2 e 3 se gli insiemi vengono creati con due numeri, le combinazioni saranno (1, 2), (1, 3) e (2, 3).

Qui, (1, 2) e (2, 1) sono identici, a differenza delle permutazioni in cui sono distinti. Questo è scritto come³C₂. In generale, il numero di combinazioni di n cose distinte prese r alla volta è,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Derivazione di formule di permutazione e combinazione

Possiamo derivare queste formule di permutazione e combinazione utilizzando i metodi di conteggio di base poiché queste formule rappresentano la stessa cosa. La derivazione di queste formule è la seguente:

Formula di derivazione delle permutazioni

La permutazione consiste nel selezionare r oggetti distinti da n oggetti senza sostituzione e dove l'ordine di selezione è importante, mediante il teorema fondamentale del conteggio e la definizione di permutazione, otteniamo

P (n, r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Moltiplicando e dividendo sopra con (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, otteniamo

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n−r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Pertanto, viene derivata la formula per P (n, r).

Formula di derivazione delle combinazioni

La combinazione consiste nello scegliere r elementi tra n elementi quando l'ordine di selezione non ha importanza. La sua formula è calcolata come,

C(n, r) = Numero totale di permutazioni/Numero di modi per disporre r oggetti diversi.
[Poiché per il teorema fondamentale del conteggio, sappiamo che numero di modi per disporre r oggetti diversi in r modi = r!]

C(n,r) = P(n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Pertanto, viene derivata la formula per la Combinazione, ovvero C(n, r).

Differenza tra permutazione e combinazione

Differenze tra permutazione e combinazione può essere compreso dalla seguente tabella:

Controlla anche,

• Teorema binomiale
• Espansione binomiale
• Variabili casuali binomiali
• Teorema fondamentale del conteggio

Esempi risolti su permutazioni e combinazioni

Esempio 1: Trova il numero di permutazioni e combinazioni di n = 9 e r = 3 .

Soluzione:

Dato, n = 9, r = 3

Utilizzando la formula sopra riportata:

Per Permutazione:

^NP_R= (n!) / (n – r)!

⇒^NP_R= (9!) / (9 – 3)!

⇒^NP_R= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ^N P _R = 504

Per la combinazione:

^NC_R= n!/r!(n − r)!

⇒^NC_R= 9!/3!(9 − 3)!

⇒^NC_R= 9!/3!(6)!

⇒^NC_R= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^N C _R = 84

Esempio 2: In quanti modi un comitato composto da 4 uomini e 2 donne, può essere scelto tra 6 uomini e 5 donne?

Soluzione:

Scegli 4 uomini su 6 uomini =⁶C₄modi = 15 modi

Scegli 2 donne su 5 donne =⁵C₂modi = 10 modi

Il comitato può essere eletto⁶C₄×⁵C₂= 150 modi.

Esempio 3: In quanti modi si possono disporre 5 libri diversi su uno scaffale?

Soluzione:

Questo è un problema di permutazione perché l'ordine dei libri è importante.

Usando la formula di permutazione, otteniamo:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! /0! = 5x4x3x2x1 = 120

Esistono quindi 120 modi per disporre 5 libri diversi su uno scaffale.

Esempio 4: Quante parole di 3 lettere si possono formare utilizzando le lettere della parola FABLE?

Soluzione:

Questo è un problema di permutazione perché l'ordine delle lettere è importante.

Usando la formula di permutazione, otteniamo:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! /2! = 5 x 4 x 3 = 60

Pertanto, ci sono 60 parole di 3 lettere che possono essere formate utilizzando le lettere della parola FABLE.

Esempio 5: Da un gruppo di 10 persone si deve formare un comitato di 5 membri. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione:

Questo è un problema di combinazione perché l’ordine dei membri non ha importanza.

Usando la formula di combinazione, otteniamo:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Pertanto, ci sono 252 modi per formare un comitato di 5 membri da un gruppo di 10 persone.

Esempio 6: Un ristorante pizzeria offre 4 diversi condimenti per le sue pizze. Se un cliente vuole ordinare una pizza con esattamente 2 condimenti, in quanti modi è possibile farlo?

Soluzione:

Questo è un problema di combinazione perché l’ordine dei condimenti non ha importanza.

Usando la formula di combinazione, otteniamo:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Esistono quindi 6 modi per ordinare una pizza con esattamente 2 condimenti tra 4 condimenti diversi.

Esempio 7: quante parole si possono creare utilizzando 2 lettere del termine AMORE?

Soluzione:

Il termine AMORE ha 4 lettere distinte.

Pertanto, il numero richiesto di parole =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Numero di parole richiesto = 4! /2! = 24/2

⇒ Numero di parole richiesto = 12

Esempio 8: Da 5 consonanti e 3 vocali, quante parole si possono formare di 3 consonanti e 2 vocali?

Soluzione:

Numero di modi per scegliere 3 consonanti da 5 =⁵C₃

Numero di modi per scegliere 2 vocali da 3 =³C₂

Numero di modi per scegliere 3 consonanti da 2 e 2 vocali da 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Numero richiesto = 10 × 3

= 30

Ciò significa che possiamo avere 30 gruppi in cui ciascun gruppo contiene un totale di 5 lettere (3 consonanti e 2 vocali).

Numero di modi per disporre 5 lettere tra loro

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Quindi il numero di vie richiesto = 30 × 120

⇒ Numero di vie richieste = 3600

Esempio 9: Quante combinazioni diverse ottieni se hai 5 articoli e ne scegli 4?

Soluzione:

Inserisci i numeri indicati nell'equazione delle combinazioni e risolvi. n è il numero di elementi presenti nell'insieme (5 in questo esempio); r è il numero di elementi che stai scegliendo (4 in questo esempio):

C(n, r) = n! / R! (n-r)!

⇒^NC_R= 5! /4! (5-4)!

⇒^NC_R= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^NC_R= 120/24

⇒^NC_R= 5

La soluzione è 5.

Esempio 10: Su 6 consonanti e 3 vocali, quante espressioni si possono creare 2 consonanti e 1 vocale?

Soluzione:

Numero di modi per selezionare 2 consonanti da 6 =⁶C₂

Numero di modi per selezionare 1 vocale da 3 =³C₁

Numero di modi per selezionare 3 consonanti da 7 e 2 vocali da 4.

⇒ Percorsi richiesti =⁶C₂׳C₁

formattare la data in una stringa

⇒ Percorsi richiesti = 15 × 3

⇒ Vie richieste= 45

Ciò significa che possiamo avere 45 gruppi in cui ciascun gruppo contiene un totale di 3 lettere (2 consonanti e 1 vocale).

Numero di modi in cui disporre 3 lettere tra loro = 3! = 3×2×1

⇒ Modi richiesti per disporre tre lettere = 6

Quindi, il numero di vie richiesto = 45 × 6

⇒ Vie richieste = 270

Esempio 11: In quante forme distinte è possibile organizzare le lettere del termine 'TELEFONO' in modo che le vocali siano coerenti venire insieme?

Soluzione:

La parola 'TELEFONO' ha 5 lettere. Contiene le vocali 'O', 'E' e queste due vocali dovrebbero sempre venire insieme. Pertanto queste due vocali possono essere raggruppate e viste come un'unica lettera. Cioè PHN(OE).

Pertanto possiamo prendere lettere totali come 4 e tutte queste lettere sono distinte.

Numero di metodi per organizzare queste lettere = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Modi richiesti per disporre le lettere = 24

Tutte le 2 vocali (OE) sono distinte.

Numero di modi per disporre queste vocali tra loro = 2! = 2×1

⇒ Modi richiesti per disporre le vocali = 2

Quindi, il numero di vie richiesto = 24 × 2

⇒ Vie richieste = 48.

Domande frequenti su permutazioni e combinazioni

Qual è la formula fattoriale?

La formula fattoriale viene utilizzata per il calcolo di permutazioni e combinazioni. La formula fattoriale per n! è dato come

N! = n × (n-1) × . . . ×4×3×2×1

Ad esempio, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 e 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Cosa fa ^N C _R rappresentare?

^NC_Rrappresenta il numero di combinazioni che possono essere fatte N presa di oggetti R Al tempo.

Cosa intendi per permutazioni e combinazioni?

Una permutazione è un atto di disporre le cose in un ordine specifico. Le combinazioni sono i modi di selezione R oggetti da un gruppo di N oggetti, dove l'ordine dell'oggetto scelto non influisce sulla combinazione totale.

Scrivi esempi di permutazioni e combinazioni.

Numero di parole di 3 lettere che possono essere formate utilizzando le lettere della parola dice CIAO;⁵P₃= 5!/(5-3)! questo è un esempio di permutazione.
Numero di combinazioni in cui possiamo scrivere le parole utilizzando le vocali della parola CIAO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], questo è un esempio di combinazione.

Scrivi la formula per trovare permutazioni e combinazioni.

• Formula per il calcolo delle permutazioni: ^N Pr = n!/(n-r)!
• Formula per calcolare le combinazioni: ^N Cr = n!/[r! (n-r)!]

Scrivi alcuni esempi reali di permutazioni e combinazioni.

L'ordinamento di persone, numeri, lettere e colori sono alcuni esempi di permutazioni.
La selezione del menù, degli abiti e dei soggetti, sono esempi di combinazioni.

Qual è il valore di 0!?

Il valore di 0! = 1, è molto utile per risolvere i problemi di permutazione e combinazione.