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Determinante della matrice 4×4 | Esempi e come trovarli

Determinante della matrice 4×4: Il determinante di una matrice è un concetto fondamentale dell'algebra lineare, essenziale per derivare un singolo valore scalare dalla matrice. 4×4 è una matrice quadrata con 4 righe e 4 colonne il cui determinante può essere trovato con una formula di cui parleremo.

Questo articolo esplorerà la definizione di una matrice 4×4 e guida attraverso il processo passo passo per calcolare il determinante della matrice 4×4. Inoltre, esplora le applicazioni pratiche di questa operazione matematica.



Tabella dei contenuti

Qual è il determinante di una matrice?

IL determinante di una matrice è un valore scalare che può essere calcolato dagli elementi di a matrice quadrata . Fornisce informazioni importanti sulla matrice, ad esempio se è invertibile e il fattore di scala delle trasformazioni lineari rappresentate dalla matrice.

Vari metodi, come ad es cofattore l'espansione o la riduzione delle righe possono essere impiegate per trovare il determinante di una matrice, a seconda della dimensione e della struttura della matrice. Una volta calcolato, il determinante è indicato dal simbolo det o dalle barre verticali che racchiudono la matrice.

Determinante della matrice 4×4

Una matrice 4×4 è una matrice rettangolare di numeri disposti su quattro righe e quattro colonne. Ogni elemento nella matrice è identificato dalla posizione della riga e della colonna. La forma generale di una matrice 4×4 è simile alla seguente:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Dove unijrappresenta l'elemento situato nella ithriga e jthcolonna della matrice.

per il ciclo in c

Le matrici 4×4 si incontrano comunemente in vari campi come la computer grafica, la fisica, l'ingegneria e la matematica. Sono usati per rappresentare trasformazioni, risolvere sistemi di equazioni lineari ed eseguire operazioni di algebra lineare.

Proprietà della matrice 4×4

Ecco alcune proprietà di una matrice 4×4 spiegate in termini semplificati:

  • Matrice quadrata: Una matrice 4×4 ha un numero uguale di righe e colonne, rendendola una matrice quadrata.
  • Determinante: Il determinante di una matrice 4×4 può essere calcolato utilizzando metodi come l'espansione dei cofattori o la riduzione delle righe. Fornisce informazioni sull’invertibilità della matrice e sul fattore di scala per le trasformazioni lineari.
  • Inverso: Una matrice 4×4 lo è invertibile se il suo determinante è diverso da zero. L'inverso di una matrice 4×4 consente di risolvere sistemi di equazioni lineari e di annullare le trasformazioni rappresentate dalla matrice.
  • Trasporre: La trasposta di una matrice 4×4 si ottiene scambiando le sue righe e colonne. Può essere utile in alcuni calcoli e trasformazioni.
  • Autovalori e autovettori: Le matrici 4×4 possono essere analizzate per trovarle autovalori e autovettori , che rappresentano le proprietà della matrice sotto trasformazioni lineari.
  • Simmetria: A seconda della matrice specifica, può mostrare proprietà di simmetria come essere simmetrica, antisimmetrica o nessuna delle due.
  • Operazioni sulla matrice: Varie operazioni come addizione, sottrazione, moltiplicazione e moltiplicazione scalare possono essere eseguite su matrici 4×4 seguendo regole e proprietà specifiche.

Leggi in dettaglio: Proprietà dei determinanti

Determinante della formula della matrice 4 × 4

Determinante di qualsiasi matrice 4 × 4, ovveroegin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

esso(A) = a undici · esso (A undici ) - UN 12 · esso (A 12 ) + a 13 · esso (A 13 ) - UN 14 · esso (A 14 )

Dove unijdenota la sottomatrice eliminando ithriga e jthcolonna.

Come si trova il determinante di una matrice 4 × 4?

Per trovare il determinante di una matrice 4×4, è possibile utilizzare vari metodi come l'espansione per minori, la riduzione per righe o l'applicazione di proprietà specifiche.

Un metodo comune consiste nell'utilizzare l'espansione per minori, in cui si espande lungo una riga o una colonna moltiplicando ciascun elemento per il suo cofattore e sommando i risultati. Questo processo continua ricorsivamente finché non si raggiunge una sottomatrice 2×2, per la quale è possibile calcolare direttamente il determinante. Per capire come trovare il determinante di una matrice 4×4 consideriamo un esempio.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Passaggio 1: espandere lungo la prima riga:

it(A) = 2 · it(A undici ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )

Dove unijdenota la sottomatrice ottenuta eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna.

Passo 2: Calcola il determinante di ciascuna sottomatrice 3×3.

Per unundici

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |Aundici| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |Aundici| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |Aundici| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |Aundici| = 10 + 26 + 4 = 40

Per un12

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10

Per un13

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A13| = 8+22= 30

Per un14

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A14| = 6 + 22 = 28

Passo 3: Sostituisci i determinanti delle sottomatrici 3×3 nella formula di espansione:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Passaggio 4: calcolare il determinante finale:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

esso(A) = 48

Quindi, il determinante della matrice 4×4 data è 48.

Inoltre, controlla

Determinante degli esempi di matrice 4×4

Esempio 1: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Soluzione:

Primo Espandi lungo la prima riga:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

tutorial di java

Ora calcola il determinante di ciascuna sottomatrice 3×3.

Per un undici ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Per un 12 ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

Per un 13 ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Per un 14 ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Ora sostituiamo i determinanti delle sottomatrici 3×3 nella formula di espansione:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Quindi, il determinante della matrice (A) è 24.

Esempio 2: Calcolare il determinante della matriceA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Soluzione:

Per trovare il determinante della matrice ( A ), utilizzeremo il metodo dello sviluppo per minori lungo la prima riga:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Ora calcoliamo i determinanti delle sottomatrici 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Ora sostituiamo questi determinanti nella formula di espansione:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Quindi, il determinante della matrice ( A ) è det(A) = -120.

Esempio 3: Trova il determinante della matrice B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Soluzione:

Per trovare il determinante della matrice ( B ), utilizzeremo il metodo dello sviluppo per minori lungo la prima riga:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Ora calcoliamo i determinanti delle sottomatrici 3×3:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

entità relazionale

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Ora sostituiamo questi determinanti nella formula di espansione:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ qualsiasi cosa

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Quindi, il determinante della matrice ( B ) è det(B) = -19

Determinante delle domande pratiche sulla matrice 4×4

Q1: Calcola il determinante della seguente matrice 4×4:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Q2: Trovare il determinante della matrice:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Q3: Calcola il determinante della seguente matrice 4×4:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Q4: Determinare il determinante della matrice:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

Q5: Trovare il determinante della matrice: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Domande frequenti sul determinante della matrice 4×4

Come si trova il determinante di una matrice 4×4?

Per trovare il determinante di una matrice 4×4, puoi utilizzare vari metodi come l'espansione dei cofattori o le tecniche di riduzione delle righe.

Qual è il determinante di una matrice identità 4×4?

Il determinante di una matrice identità 4×4 è 1, poiché è un caso speciale in cui tutti gli elementi diagonali sono 1 e il resto è 0.

Come trovare il determinante di una matrice 4×4 utilizzando l'espansione dei cofattori?

Determinare il determinante di una matrice 4×4 utilizzando l'espansione del cofattore implica scomporlo in matrici 3×3 più piccole, applicare la formula del cofattore e sommare i prodotti.

Qual è la formula del determinante?

La formula del determinante prevede la somma dei prodotti degli elementi e dei loro cofattori in ciascuna riga o colonna, considerando i loro segni.

Un determinante può essere negativo?

Sì, i determinanti possono essere negativi, positivi o zero, a seconda della matrice specifica e delle sue proprietà.

Una matrice 4×4 può avere un inverso?

Una matrice 4×4 può avere un'inversa se il suo determinante è diverso da zero; altrimenti è singolare e manca di inverso.

Come si dimostra che una matrice 4×4 è invertibile?

Per dimostrare che una matrice 4×4 è invertibile, confermare che il suo determinante è diverso da zero, indicando l'esistenza di un inverso, e utilizzare criteri aggiuntivi come la riduzione delle righe per verificare l'invertibilità.