Dominio e ambito di una funzione: Dominio e Intervallo sono i valori di input e output di una funzione. UN funzione è definito come la relazione tra un insieme di input e i relativi output, dove l'input può avere un solo output, ovvero un dominio può produrre un intervallo particolare. Rappresenta una relazione tra una variabile indipendente e una variabile dipendente.

Una funzione è solitamente indicata con y = f(x), dove x è l'input. Una funzione è una relazione f da un insieme X a un altro insieme Y, dove ogni elemento in X ha esattamente un output in Y, ed è rappresentato come f: X→Y. In questo caso l'insieme X è detto dominio di una funzione e l'insieme Y è detto codominio della funzione. Ogni funzione ha un dominio, un codominio e un intervallo che aiutano a definire la funzione.

In questo articolo impareremo a conoscere il dominio e l'intervallo di una funzione, come calcolare il dominio e l'intervallo di una funzione, il dominio e l'intervallo di un foglio di lavoro di una funzione, il dominio e l'intervallo di una funzione esempi, il dominio e l'intervallo di a grafico della funzione e altri in dettaglio.

Tabella dei contenuti

• Cos'è il dominio e l'intervallo?
• Notazione degli intervalli di dominio e intervallo
• Codominio e ambito
• Dominio di una funzione
• Come trovare il dominio di una funzione?
• Intervallo di una funzione
• Come trovare l'intervallo di una funzione?
• Come trovare dominio e intervallo
• Dominio e intervallo di una funzione Esempi
• Dominio quadratico e intervallo
• Dominio e ambito delle funzioni esponenziali
• Dominio e ambito delle funzioni trigonometriche
• Dominio e ambito delle funzioni trigonometriche inverse
• Dominio e intervallo di una funzione a valore assoluto
• Dominio e intervallo di una funzione radice quadrata
• Dominio e ambito di una funzione razionale
• Dominio e intervallo della funzione di registro
• Dominio e intervallo della massima funzione intera
• Dominio e intervallo di un grafico di funzione
• Dominio e intervallo di un foglio di lavoro di funzione
• Foglio di lavoro per dominio e intervallo PDF
• Problemi pratici su domini e intervalli
• Domande risolte su dominio e intervallo

Cos'è il dominio e l'intervallo?

Il dominio di a funzione è definito come l'insieme di tutti i possibili valori per i quali la funzione può essere definita. L'intervallo è l'output fornito da una funzione per un particolare dominio. Un co-dominio di una funzione è l'insieme dei possibili risultati, mentre un intervallo o immagine di una funzione è un sottoinsieme di un co-dominio ed è l'insieme delle immagini degli elementi nel dominio. Ad esempio, nella figura seguente, f(x) = x³è una funzione il cui dominio è l'insieme X e il suo codominio è l'insieme Y mentre il suo intervallo è {1, 8, 27, 64}.

Dominio di a Relazione possono essere trovati anche utilizzando gli stessi metodi. Una relazione è un tipo di funzione in cui un oggetto nella regione del dominio è mappato su più di un oggetto nella regione dell'intervallo.

Per la funzione data f(x) = x³

• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Dominio = {1, 2, 3, 4}
• Codominio = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• Intervallo = {1, 8, 27, 64}

Notazione degli intervalli di dominio e intervallo

Il dominio e l'intervallo di qualsiasi funzione possono essere facilmente scritti nella notazione degli intervalli. Supponiamo che ci venga data una funzione f(x) = sin x, quindi il suo dominio e il suo intervallo sono scritti come,

• Dominio di f(x) = (-∞, +∞)
• Intervallo di f(x) = [-1, 1]

Allo stesso modo utilizzando il notazione degli intervalli possiamo rappresentare il dominio e l'intervallo di qualsiasi funzione.

Come scrivere dominio e intervallo

Il dominio e l'intervallo di qualsiasi funzione possono essere facilmente rappresentati utilizzando la notazione degli intervalli come mostrato sopra. In questo modo usiamo parentesi per descrivere un insieme di numeri. Usiamo {}, [] e () per rappresentare il dominio e l'intervallo della funzione.

Codominio e ambito

Il codominio è l'insieme dei valori compreso l'intervallo della funzione e può avere alcuni valori aggiuntivi. L'intervallo è il sottoinsieme del codominio. Questo viene spiegato utilizzando l'esempio,

Data la funzione f(x) = cos x, tale che f:R→R, quindi

• Codominio di f(x) = R
• Intervallo di R = (-1, 1)

Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è definito come l'insieme di tutti i possibili valori per i quali la funzione può essere definita. Esaminiamo i domini delle diverse funzioni.

• Il dominio di qualsiasi funzione polinomiale come una funzione lineare, una funzione quadratica, una funzione cubica, ecc. è un insieme di tutti i numeri reali (R).
• Il dominio di una funzione logaritmica f(x) = log x è x> 0 o (0, ∞).
• Il dominio di una funzione radice quadrata f(x) = √x è l'insieme dei numeri reali non negativi rappresentato come [0, ∞).
• Il dominio di una funzione esponenziale è l'insieme di tutti i numeri reali (R).
• Una funzione razionale è definita solo per valori diversi da zero del suo denominatore. Quindi, per determinare il dominio di una funzione razionale y = f(x), poniamo il denominatore ≠ 0.

Regole per trovare il dominio di una funzione

Varie regole per trovare il dominio della funzione.

• Il dominio della funzione polinomiale (lineare, quadratica, cubica, ecc.) è R (tutti i numeri reali).
• Il dominio della funzione radice quadrata √x è x ≥ 0.
• Il dominio della funzione esponenziale è R.
• Il dominio della funzione logaritmica è x> 0.
• Sappiamo che il dominio di una funzione razionale y = f(x), denominatore ≠ 0.

Come trovare il dominio di una funzione?

Per trovare il dominio di una funzione, attenersi alla seguente procedura:

Passo 1: Innanzitutto, controlla se la funzione data può includere tutti i numeri reali.

Passo 2: Quindi controlla se la funzione data ha un valore diverso da zero al denominatore della frazione e un numero reale non negativo sotto il denominatore della frazione.

Passaggio 3: In alcuni casi, il dominio di una funzione è soggetto a determinate restrizioni, ovvero queste restrizioni sono i valori per i quali la funzione data non può essere definita. Per esempio , il dominio di una funzione f(x) = 2x + 1 è l'insieme di tutti i numeri reali (R), ma il dominio della funzione f(x) = 1/ (2x + 1) è l'insieme di tutti i numeri reali tranne -1/2.

Passaggio 4: A volte, insieme alla funzione viene menzionato l'intervallo in cui viene definita la funzione. Per esempio, f(x) = 2x²+3, -5

Dopo aver eseguito tutti i passaggi discussi sopra, l'insieme di numeri che ci restano è considerato il dominio di una funzione.

Esempio di dominio

Trova il dominio di f(x) = 1/(x ² - 1)

Soluzione:

Dato,

• f(x) = 1/(x²- 1)

Ora, ponendo x = -1,1 in f(x)

• f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
• f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞

Pertanto, su -1 e 1 la funzione è f(x) è indefinita e, a parte il fatto che in tutti i punti f(x) è definita. Pertanto, il dominio di f(x) è R – {-1, 1}

Intervallo di una funzione

Intervallo di una funzione è l'insieme di tutti gli output della funzione. Per qualsiasi funzione f: A→ B gli insiemi di valori nella B sono l'intervallo della funzione. se f: A→ B è una funzione tale che f(x) = x²e A è l'insieme di tutti i numeri interi, l'intervallo della funzione è l'insieme di Intervallo = {1, 4, 9, 16, ….}. Dobbiamo notare che l'intervallo della funzione è il sottoinsieme del co-dominio della funzione.

Regole per trovare l'intervallo di una funzione

Le regole per trovare l'intervallo di una funzione sono:

• Per la funzione lineare l'intervallo è R.
• Per la funzione quadratica y = a(x – h)²+ k l'intervallo è:
  • y ≥ k, se a> 0
  • y ≤ k, se a <0
• Per la funzione radice quadrata, l'intervallo è y ≥ 0.
• Per la funzione esponenziale, l'intervallo è y> 0.
• Per la funzione logaritmica, l'intervallo è R.

Come trovare l'intervallo di una funzione?

L'intervallo o immagine di una funzione è un sottoinsieme di un codominio ed è l'insieme delle immagini degli elementi del dominio.

sostituire un colore in gimp

Per trovare l'intervallo di una funzione utilizzare i seguenti passaggi

Consideriamo una funzione y = f(x).

Passo 1: Scrivi la funzione data nella sua forma di rappresentazione generale, cioè y = f(x).

Passo 2: Risolvilo per x e scrivi la funzione ottenuta nella forma x = g(y).

Passaggio 3: Ora, il dominio della funzione x = g(y) sarà l'intervallo della funzione y = f(x).

Pertanto, viene calcolato l'intervallo di una funzione.

Esempio di portata

Trova l'intervallo della funzione f(x) = 1/ (4x − 3).

Soluzione:

Dato,

• f(x) = 1/ (4x − 3)

Sia la funzione f(x) = y = 1/ (4x − 3)

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4a / (1 + 3a)

Qui, osserviamo che x è definito per tutti i valori tranne y per y = −1/3 poiché su y = -1/3, otteniamo un valore indefinito di x.

Quindi, l'intervallo di f(x) = 1/ (4x − 3) è (−∞, −1/3) IN (1/3, ∞)

Come trovare dominio e intervallo

Ora, per calcolare il dominio e l'intervallo di una determinata funzione, studia attentamente il seguente esempio:

Per X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} e la funzione definita come f: X → Y , f(x) = x²trovare il dominio e l'intervallo della seguente funzione f(x)

Dominio = Tutti i valori di input = X

Intervallo = {1, 4, 9, 16, 25} = Un sottoinsieme di Y

Il dominio di una funzione è il valore di input che possiamo assumere per una funzione e l'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori di output che la funzione raggiunge. Ora il dominio e l'intervallo della funzione vengono trovati utilizzando l'esempio aggiunto di seguito,

Ad esempio, se ci viene data una funzione F: X → Y, tale che F(x) = y + 1 e X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qui,

• Dominio di F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Intervallo di F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y è il codominio di F(x) ma non l'intervallo.

Dominio e gamma di vari tipi di funzioni sono discussi nelle sezioni successive.

Dominio e intervallo di una funzione Esempi

• Funzioni lineari : Perf(x)=2x+3, il dominio e l'intervallo sono tutti numeri reali, poiché non ci sono restrizioni su x e f(x).
• Funzioni quadratiche : Per g(x)=x^2−4, il dominio è composto da tutti numeri reali, ma l'intervallo lo èy≥−4perché l'output non può essere inferiore a -4.
• Funzioni razionali : Per ℎ(x)=1/x-2​, il dominio è x≠2 (tutti i numeri reali tranne 2), e anche l'intervallo è composto da tutti i numeri reali tranne dove ℎ(x)=0.

Dominio quadratico e intervallo

Una funzione quadratica è una funzione polinomiale di grado 2, cioè f(x): ax²+ bx = c = 0 è una funzione quadratica. E il dominio e l'intervallo di una funzione quadratica sono:

Dominio di f(x): Insieme dei Numeri Reali = R

Intervallo di f(x):

• y ≥ k, se a> 0, dove k è una costante qualsiasi
• y ≤ k, se a <0, dove k è una costante qualsiasi

Dominio e ambito delle funzioni esponenziali

IL funzione esponenziale è definito come:

f: R → R, f(x) = a ^X

Il dominio della funzione esponenziale è costituito da tutti i numeri reali e poiché la funzione esponenziale fornisce sempre l'output positivo, l'intervallo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi.

elenco ordinato per Java

• Dominio =R
• Allineare =R⁺

Dominio e ambito delle funzioni trigonometriche

Per funzioni trigonometriche , il dominio è un insieme di tutti i numeri reali (eccetto alcuni valori in alcune funzioni) e l'intervallo delle funzioni trigonometriche varia con diverse funzioni trigonometriche, in modo tale che

• Gamma della funzione seno = [-1, 1]
• Intervallo della funzione coseno = [-1, 1]
• Gamma della funzione cosecante = (−∞,−1]∪[1,+∞)
• Gamma della funzione secante = (−∞,−1]∪[1,+∞)

L'intervallo per le funzioni Tangente e Cotangente è diverso,

• Gamma della funzione tangente = [-∞, ∞]
• Gamma di funzioni cotangenti = [-∞, ∞]

Ciò può essere riassunto nella tabella seguente:

Dominio e ambito delle funzioni trigonometriche inverse

Funzione seno inverso

Dominio: [-1, 1] e intervallo: [- Pi /2, Pi /2]

Funzione coseno inversa

Dominio: [-1, 1] e intervallo: [0, Pi ]

Funzione tangente inversa

Dominio: (-infty, infty) & Intervallo: (-π/2 ,π/2)

Funzione cotangente inversa

Dominio: (-infty, infty) & Intervallo: (0 , Pi )

Dominio e intervallo di una funzione a valore assoluto

Le funzioni assolute chiamate anche funzioni modulo sono le funzioni definite per tutti i numeri reali ma il loro output è solo numeri reali positivi, una funzione assoluta fornisce solo un output positivo.

Una funzione assoluta è definita come:

f: R → R, f(x) = |ax + b|

Pertanto, la funzione Dominio e intervallo di valore assoluto è:

• Dominio =R
• Allineare =R⁺

Dominio e intervallo di una funzione radice quadrata

Per una funzione radice quadrata, il dominio e l'intervallo vengono calcolati come:

come creare un array in Java

Supponiamo che la funzione radice quadrata sia f(x) = √(ax + b)

Sappiamo che la radice quadrata di un numero negativo non è definita, quindi il dominio della funzione radice quadrata è

• Dominio = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Ora, per quanto riguarda l'intervallo della funzione radice quadrata, sappiamo che una radice quadrata assoluta fornisce solo valori positivi, quindi l'intervallo è composto da tutti numeri reali positivi.

• Allineare =R⁺

Dominio e ambito di una funzione razionale

UN funzione razionale è una funzione rappresentata come P(x)/Q(x) dove P(x) e Q(x) sono funzioni polinomiali e Q(x) non è mai zero. il dominio di una funzione razionale sono i valori di x per i quali Q(x) non è mai zero. E l'intervallo della funzione razionale sono i valori di y che si trovano utilizzando vari valori di x, in y = P(x)/Q(x).

Dominio e intervallo della funzione di registro

Funzione di registro o Funzione logaritmica sono la funzione nella forma y = ln x e il dominio nd range della funzione log è:

• Dominio della funzione Log: (0, ∞)
• Intervallo della funzione Log: (-∞, +∞)

Dominio e intervallo della massima funzione intera

La funzione del massimo intero è anche chiamata funzione passo ed è la funzione che fornisce l'output come intero più vicino inferiore o uguale al numero specificato.

• Dominio della funzione massima intera: R
• Gamma della funzione intera massima: Z

Dominio e intervallo di un grafico di funzione

Se viene fornito il grafico di una funzione, trovare il dominio e l'intervallo è un compito molto semplice. Supponiamo che ci venga data una curva qualsiasi, quindi scoprire se la curva è una funzione o meno è la nostra prima priorità e questo si trova usando il prova della linea verticale . Quindi se la curva è data nella forma y = f(x), allora la proiezione sul grafico sull'asse x fornisce il dominio della funzione e la proiezione del grafico sull'asse y fornisce l'intervallo della funzione .

Dominio e intervallo di un foglio di lavoro di funzione

1. Considera la funzione F ( X )=√( X −2​). Determinare il dominio e l'intervallo di questa funzione.
2. Data la funzione G ( X )=1/( X +3), trovarne il dominio e l'intervallo.
3. Per la funzione H ( X )=( X ²−4​)/ X −2, determinare il dominio e l'intervallo.
4. Esplora la funzione K ( X )=senza( X ). Quali sono il dominio e l'ambito di questa funzione trigonometrica?
5. Indagare sulla funzione M ( X )= È ^X . Identificarne il dominio e l'areale.

Foglio di lavoro per dominio e intervallo PDF

Scaricamento

Articoli relativi al dominio e all'ambito di una funzione

Grafico della funzione trigonometrica

Relazione e funzione

Gamma di funzioni