UN Funzione in matematica c'è una relazione speciale tra l'insieme dei valori di input e l'insieme dei valori di output. In Funzione, ciascun valore di input fornisce un particolare valore di output. Rappresentiamo una funzione in matematica come, y = f(x) dove X è il valore di input e per ciascuno X otteniamo un valore di output come y.

In questo articolo impareremo a conoscere, funzioni in matematica, i loro vari tipi, esempi e altri in dettaglio.

Tabella dei contenuti

• Cos'è una funzione in matematica?
• Definizione di funzione in matematica
• Esempi di funzioni
• Condizione per una funzione
• Rappresentazione delle funzioni in matematica
• Identificazione della funzione
• Tipi di funzione
• Cos'è una funzione in algebra?
• Dominio e ambito di una funzione
• Composizione delle funzioni
• Algebra delle funzioni
• Cos'è una funzione su un grafico?
• Funzioni grafiche
• Funzioni comuni
• Applicazioni delle funzioni
• Esempi sulla funzione
• Problemi pratici su cos'è una funzione

Cos'è una funzione in matematica?

Una funzione in matematica è a relazione tra i valori di input (dominio) e i valori di output (intervallo) degli insiemi dati in modo tale che non ci siano due variabili degli insiemi di dominio collegate alla stessa variabile nell'insieme di intervalli. Un semplice esempio di funzione in matematica è f(x) = 2x, che è definita su R→R, qui qualsiasi variabile nel dominio è correlata a una sola variabile nell'intervallo.

Una funzione in matematica ha un dominio, un codominio e un intervallo. Il dominio è l'insieme di tutti i possibili valori di x e l'intervallo della funzione è l'insieme di tutti i valori di output di y. L'intervallo è il sottoinsieme del codominio di una funzione. Possiamo anche dire che una funzione in matematica è una relazione con un output unico e non esistono due valori di input che abbiano un output simile in una funzione, come nel caso della relazione.

Definizione di funzione in matematica

La funzione è una relazione o metodo speciale che collega ciascun membro dell'insieme A a un membro univoco dell'insieme B tramite una relazione definita. L’insieme A è detto dominio e l’insieme B è detto codominio della funzione. Una funzione in matematica dall'insieme A all'insieme B è definita come:

f = ∀ a ∈ A, b ∈ B

Ogni funzione è una relazione ma ogni relazione non è una funzione. I criteri affinché qualsiasi relazione sia considerata una funzione poiché in funzione ogni elemento dell'insieme A ha una sola immagine nell'insieme B mentre in relazione un elemento dell'insieme A può avere più di un'immagine nell'insieme B.

Definiamo una funzione in matematica dall'insieme non vuoto A all'insieme non vuoto B in modo tale che,

(a, b) ∈ f, allora f(a) = b

dove abbiamo chiamato B come l'immagine di UN definito nella relazione F .

Ogni elemento 'UN' del set A ha un'immagine unica ' B ‘ nell’insieme B allora è una funzione.

Esempi di funzioni

Una funzione in matematica f è definita come, y = f(x) dove X è il valore di input e per ciascun valore di input di x otteniamo un valore univoco di y. Vari esempi di funzioni matematiche definite su R→R sono,

• y = f(x) = 3x + 4
• y = f(x) = peccato x + 3
• y = f(x) = -3x²+3, ecc

Condizione per una funzione

Per due insiemi non vuoti A e B, una funzione f: A→B lo denota F è una funzione da A a B, dove UN è un dominio e B è un codominio.

Per ogni elemento, a ∈ A, esiste un unico elemento, b ∈ B tale che (a,b) ∈ f. L'unico elemento b correlato ad a è indicato con f(a) e viene letto come f di a. Questo si può capire meglio dall’immagine qui sotto:

Prova della linea verticale

Il test della linea verticale viene utilizzato per determinare se una curva è una funzione o meno. Se una curva taglia una linea verticale in più di un punto, allora la curva non è una funzione.

Rappresentazione delle funzioni in matematica

Rappresentiamo una funzione in matematica come,

y = f(x) = x + 3

Qui, l'insieme dei valori di x è il dominio della funzione e l'insieme dei valori di output di y è il co-dominio della funzione. Qui, la funzione è definita per tutti i numeri reali poiché fornisce un valore univoco per ogni x ma non è sempre possibile ottenere l'output per ciascun valore di x in tal caso definiamo la funzione in due parti, questo può essere inteso come

• f(x) = 1/(x – 2), dove x ≠ 2
• f(x) = x²dove x ∈ {R}

Possiamo definire una funzione in matematica come una macchina che riceve un input e fornisce un output unico. La funzione f(x) = x²è definito di seguito come,

Possiamo rappresentare una funzione in matematica con il metodo tre come,

• Insieme di coppie ordinate
• Modulo tabella
• Forma grafica

Ad esempio, se rappresentiamo una funzione come, f(x) = x³

Un altro modo per rappresentare la stessa funzione è come insieme di coppie ordinate COME,

f = {(1,1), (2,8), (3,27)}

Nell'insieme sopra menzionato, il dominio della funzione è D = {1, 2, 3} e l'intervallo della funzione è R = {1, 8, 27}

Identificazione della funzione

La funzione è classificata come un tipo speciale di relazione in matematica. Esistono le seguenti regole che possono essere utilizzate per identificare una funzione:

• Una relazione in cui ogni input è mappato su un output univoco è una funzione. Questo ha chiamato la funzione uno a uno.
• Anche una relazione in cui due input (preimmagine) sono mappati su un singolo output è una funzione. Questa è una funzione molti a uno.
• Una relazione in cui un input è mappato su due output diversi non è una funzione.
• Una relazione in cui molti input sono mappati su molti output senza una regola specifica non è una funzione.

Tipi di funzione

Diverso Tipi di funzioni vengono utilizzati per risolvere vari tipi di problemi matematici legati soprattutto a curve ed equazioni. Esistono tre tipi principali di funzioni in matematica basate sulla mappatura degli elementi dall'insieme A all'insieme B.

Funzione iniettiva o Funzione One to One

La funzione in cui ciascun elemento del dominio ha un'immagine distinta nel codominio è chiamata the Iniettivo O Funzione uno a uno .

f: A → B si dice biunivoco o iniettivo se le immagini degli elementi distinti di A sotto f sono distinte, cioè

q3 mesi

fa ₁ ) = b ₁ , fa ₂ ) = b ₂

dove un₁, UN₂∈ A e b₁, B₂∈B

Funzioni suriettive o Su Funzione

La funzione suriettiva è la funzione in cui ogni elemento del codominio ha una pre-immagine nel dominio. È anche chiamato Sulla funzione il che significa che ogni elemento del codominio è associato a ciascun elemento del dominio. Nessun elemento del codominio dovrebbe avere una relazione vuota. Il numero di elementi del codominio e dell'intervallo è lo stesso.

f: A → B si dice che sia sopra, se ogni elemento di B è l'immagine di qualche elemento di A sotto f, cioè, per ogni b ϵ B, esiste un elemento 'a' in A tale che f(a) = b.

Funzione biiettiva

Se una funzione ha proprietà sia Iniettiva (Uno a Uno) che Suriettiva (Funzione Su), allora la funzione è chiamata a Funzione biiettiva . Nella funzione biiettiva, ogni elemento del dominio è correlato a ciascun elemento del codominio e esiste anche una relazione uno a uno. Ciò implica che il numero di elementi del codominio e dell'intervallo sono gli stessi e nessun elemento nel dominio o nel codominio ha una relazione vuota.

In base ai valori di output, le funzioni classificate come funzioni pari e dispari. Diamo un'occhiata a loro

Funzioni dispari

La funzione dispari è un tipo di funzione che presenta simmetria rispetto all'origine. Nello specifico, se f(x) è una funzione dispari, mostra che f(-x) = -f(x)

Funzione pari

La funzione pari è un tipo di funzione che presenta simmetria rispetto all'asse y. Nello specifico, se f(x) è una funzione pari, si dimostra che f(-x) = f(x)

Cos'è una funzione in algebra?

Una funzione dentro algebra è un'equazione per la quale qualsiasi x che può essere inserito nell'equazione produrrà esattamente un output come y fuori dall'equazione. È rappresentato come y = f(x), dove x è una variabile indipendente e y è una variabile dipendente.

Per esempio:

• y = 2x + 1
• y = 3x – 2
• y = 4y
• y = 5/x

Dominio e ambito di una funzione

Dominio e portata di una funzione sono rispettivamente il valore di input e di output di una funzione. Ad esempio, supponiamo di avere una funzione data come f(x) = x². Qui possiamo prendere tutti i numeri reali come valore di input di x e l'output sarà sempre un numero reale positivo. Quindi, il suo dominio è l'insieme di tutti i numeri reali rappresentati come R mentre il suo intervallo è l'insieme di numeri reali positivi rappresentati come R⁺

Composizione delle funzioni

Se f: A → B e g: B → C sono due funzioni. Quindi la composizione di f e g viene indicata come f(g) ed è definita come la funzione nebbia = f(g(x)) per x ∈ A.

Prendiamo due funzioni f(x) = x + 3 e g(x) = 2x²

nebbia = f(g(x))

⇒ nebbia = f(2x²)

⇒ dente = 2x²+3

Saperne di più, Composizione della funzione

Algebra delle funzioni

L'algebra delle funzioni coinvolge le operazioni algebriche eseguite tra due funzioni. Di seguito sono riportate le operazioni algebriche per due funzioni f(x) e g(x) definite sul valore reale di x:

• (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• (f – g) (x) = f(x) – g(x)
• (f.g) (x) = f(x).g(x)
• (k f(x)) = k (f(x)); {Perché k è un numero reale}
• (f/g)(x) = f(x) /g(x); {Per g(x) ≠ 0}

Cos'è una funzione su un grafico?

Una funzione può essere facilmente rappresentata su un grafico. Qualsiasi funzione sul grafico rappresenta una curva (inclusa la linea retta) nel piano xy mappato per i suoi valori di input e di output corrispondenti.

Per tracciare una funzione su una, prima trova alcuni punti che giacciono sulla funzione e poi unisci questi punti secondo il luogo della funzione. Ad esempio per rappresentare graficamente la funzione (retta) f(x) = y = 5x – 2 abbiamo bisogno di qualche punto sul grafico. Per trovare il punto sul grafico prendiamo prima i valori casuali di x e poi troviamo i loro valori corrispondenti di y, come,

f(x) = y = 5x- 2

se x = 0, y = 5(0) – 2 = -2 ⇒ (x, y) = (0, -2)

se x = 1, y = 5(1) – 2 = 3 ⇒ (x, y) = (1, 3)

se x = 2, y = 5(2) – 2 = 8 ⇒ (x, y) = (2, 8)

Unendo ora questi punti possiamo ottenere il grafico della funzione y = 5x – 2

Funzioni grafiche

Conoscere i valori di x consente di rappresentare graficamente una funzione f(x). Poiché y = f(x), possiamo trovare il valore associato a y iniziando con i valori di x. Di conseguenza, possiamo tracciare un grafico in un piano di coordinate utilizzando i valori x e y. Considera il seguente scenario:

Supponiamo che y = x + 3

Quando x = 0, y = 3

Allo stesso modo,

• x = -2, y = -2 + 3 = 1
• x = -1, y = -1 + 3 = 2
• x = 1, y = 1 + 3 = 4
• x = 2, y = 2 + 3 = 5
• x = 3, y = 3 + 3 = 6

Di conseguenza, possiamo tracciare il grafico della funzione x + 3 utilizzando questi valori.

Funzioni comuni

Alcune funzioni comuni comunemente utilizzate in matematica sono discusse di seguito:

Funzione reale

Funzione reale in matematica si riferisce a una funzione il cui dominio e intervallo sono sottoinsiemi dei numeri reali (indicati come ℝ). In termini più semplici, una funzione reale è una regola o relazione matematica che assegna un valore numerico reale a ciascun input di numero reale.

Funzioni reali

Funzione polinomiale

La funzione in cui gli esponenti delle variabili algebriche sono interi non negativi si chiama a Funzione polinomiale . Se la potenza della variabile è 1 si chiama funzione lineare, se la potenza è 2 si chiama funzione quadratica e se la potenza è 3 si chiama funzione cubica. Alcuni esempi di funzioni polinomiali sono menzionati di seguito:

• y = x²
• y = 2x + 3
• y = 3x³

La funzione polinomiale può essere ulteriormente classificata nei seguenti tipi:

Funzione lineare : Le funzioni lineari sono quelle in cui la potenza massima della variabile è 1. La forma generale di Funzione lineare È y = mx + c

Funzione quadratica : Le funzioni quadratiche sono quelle in cui la potenza massima della variabile è 2. Forma generale di funzione quadratica È, ascia ² + bx + c = 0

Funzione cubica : Funzione cubica è quello in cui la potenza massima della variabile è 3. La forma generale della funzione cubica è data come ascia ³ +bx ² + cx + d = 0

Funzione inversa

Funzione inversa è la funzione che contiene l'inverso di un'altra funzione. Diciamo di avere una funzione y = f(x), quindi la sua funzione inversa sarà x = f^-1(y). In y = f(x), il dominio è x e l'intervallo è y mentre nel caso di x = f^-1(y), il dominio è y e l'intervallo è x. Quindi possiamo dire che il dominio della funzione originale è l'intervallo della sua funzione inversa e l'intervallo della funzione originale è il dominio della funzione originale. Alcuni esempi di funzioni inverse sono,

• y = così^-1(X)
• y = x^-1

Funzione di zona

La funzione area si riferisce in genere a una funzione matematica che calcola l'area di una forma o regione geometrica. La funzione area accetta uno o più parametri come input e restituisce l'area della forma corrispondente. Alcune delle funzioni dell'area sono discusse di seguito:

Area della funzione circolare : Area del cerchio (A) è una funzione del suo raggio(r) tale che,

A = πr ²

Area della funzione triangolare : Area del triangolo (A) è una funzione della sua base(b) e della sua altezza(h) tale che,

A = (bh)/2

Funzione esponenziale

Funzione esponenziale è quello che viene rappresentato come f(x) = e^X. Viene spesso utilizzato per mostrare una rapida crescita o decadimento.

Funzione logaritmica

Funzione logaritmica è una funzione matematica che rappresenta l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. È rappresentato come f(x) = log x.

Funzione soffitto

Funzione soffitto , indicato come ⌈x⌉, arrotonda un numero reale x per eccesso all'intero più vicino che è maggiore o uguale a x. In altre parole, trova il valore intero più piccolo maggiore o uguale a x.

Funzione piano

La funzione floor, indicata come ⌊x⌋, arrotonda un numero reale x per difetto all'intero più vicino che è inferiore o uguale a x. In altre parole, trova il valore intero più grande minore o uguale a x.

Funzione modulo

Funzione modulo , nota anche come funzione valore assoluto, restituisce la grandezza o dimensione di un numero reale indipendentemente dal suo segno. La funzione modulo è indicata come ∣x∣, dove x è il valore di input.

Funzione del segno

Funzione del segno , nota anche come funzione segno o funzione segno, è una funzione matematica che restituisce il segno di un numero reale. Indica se il numero è positivo, negativo o zero.

Funzioni trigonometriche

Funzioni trigonometriche sono funzioni matematiche che mettono in relazione gli angoli di un triangolo rettangolo con le lunghezze dei suoi lati. Le sei funzioni trigonometriche primarie sono seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (cosec), secante (sec) e cotangente (cot).

Funzioni complesse

Qualsiasi funzione in cui la variabile di input è una funzione complessa è chiamata funzione complessa. Un numero complesso è un numero che può essere tracciato sul piano complesso. In un numero complesso abbiamo numero reale e numero immaginario. Un numero complesso(z) è rappresentato come, z= x + iy e una funzione complessa è rappresentata come, f(z) = P(x, y) + iQ(x, y)

Applicazioni delle funzioni

Quando diciamo che una quantità variabile y è una funzione di una quantità variabile x, indichiamo che y dipende da x e che il valore di y è determinato dal valore di x. Questa dipendenza può essere espressa come segue: f = y (x).

• Il raggio di un cerchio può essere utilizzato per calcolare l'area di un cerchio. Il raggio r interessa l'area A. Dichiariamo che A è una funzione di r nel linguaggio matematico delle funzioni. Possiamo scrivere A = f(r) =π×r²
• Il volume V di una sfera è una funzione del suo raggio. V = f(r) = 4/3×r³denota la dipendenza di V da r.
• La forza è una funzione dell'accelerazione di un corpo di massa fissa m. F = g(a) = m×a.

Le persone leggono anche:

• Relazione e funzione
  
• Dominio e ambito delle funzioni trigonometriche
• Intervallo di una funzione
• Funzione iperbolica

Esempi sulla funzione

Esempio 1: Per due funzioni f e g sono definiti come f(x) = x ² e g(x) = ln(2x). Trova la funzione composta (gof )( x )

Soluzione:

Dato:

• f(x) = x²
• g(x) = ln(2x)

(gof)( x ) = g (f (x))

[g(f(x)] = ln(2f(x))

= ln(2x²)

= 2ln(√2x)

Quindi, (gof)(x) = 2 ln(√2x)

Esempio 2: Trova l'output della funzione g(t)= 6t ² + 5 a

• (i) t = 0
• (ii) t = 2

Soluzione:

Data la funzione,

g(t)= 6t²+ 5 t

• (i) t = 0

g(0) = 6(0)²+5(0) = 0 + 0

g(0) = 0

• (ii) t = 2

g(2) = 6(2)²+5(2)

g(2) = 24 + 10

g(2) = 34

Esempio 3: La lunghezza di un rettangolo è cinque volte la sua larghezza, esprime l'area del rettangolo in funzione della sua lunghezza.

Soluzione:

Sia l la lunghezza del rettangolo e b la larghezza del rettangolo

Ora,

• b = l/5

Area del rettangolo(A) = l × l/5 = l²/5

Pertanto, l'area del rettangolo in funzione della sua lunghezza è,

A(l) = l ² /5

Problemi pratici su cos'è una funzione

1. Data la funzione f(x)=3x+5

• Trova f(2)
• Trova f(−1)
• Determinare il dominio e l'intervallo della funzione.

2. Data la funzione g(x)=x ² – 4x + 3

quanto fa 25 su 100?

• Trova le radici della funzione.
• Trova g(3) e g(0).
• Determinare il vertice della funzione.

3. Date due funzioni f(x)=x + 2 e h(x)=2x – 3

• Trova la funzione composta (f ∘ h) (x)
• Valutare (f ∘ h)(2)

Riepilogo: cos'è una funzione

Una funzione in matematica è una relazione speciale tra valori di input (dominio) e valori di output (intervallo) in cui ciascun input è associato a un output unico. Rappresentate come y = f(x), le funzioni hanno caratteristiche specifiche e possono essere visualizzate utilizzando coppie ordinate, tabelle o grafici. Sono essenziali in vari problemi matematici e sono disponibili in diversi tipi, inclusi iniettivi (uno a uno), suriettivi (su) e biettivi (entrambi). Le funzioni possono essere testate utilizzando il test della linea verticale e sono ulteriormente classificate in funzioni polinomiali, inverse, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Comprendere le funzioni implica riconoscerne il dominio, la portata e le regole che le definiscono. Gli esempi includono semplici funzioni lineari come y = 2x + 1 e composizioni complesse di funzioni. Le funzioni svolgono un ruolo cruciale nell'algebra, nella geometria e nel calcolo, aiutando nella rappresentazione e nell'analisi delle relazioni matematiche e dei fenomeni del mondo reale.

Domande frequenti su cos'è una funzione

Qual è la definizione di funzione?

Una relazione f definita su un insieme A con un altro insieme B è chiamata funzione in matematica se ciascun valore di A ha un valore univoco nell'insieme B.

Come scrivere una funzione in matematica?

La funzione f in matematica è rappresentata come f: A → B ed è definita come, f(x) = x + 2. Qui, per ogni valore univoco di x, abbiamo un valore univoco di y.

Come trasformare una funzione?

Possiamo facilmente trasformare una funzione in altre funzioni semplicemente eseguendo operazioni algebriche di base sulla funzione. Le diverse trasformazioni della funzione sono, riflessione, traslazione, rotazione, ecc.

Cos'è una funzione razionale?

Una funzione frazionaria in cui il numeratore e il denominatore sono funzioni polinomiali è chiamata funzione razionale. Alcuni esempi di funzione razionale sono:

• f(x) = x ² /(2x + 3)
• g(x) = (6x + 3)/(x – 1), eccetera.

Cos'è una funzione lineare?

Una funzione algebrica in cui ciascun termine della funzione è costante o ha potenza pari a uno è detta funzione lineare. Alcuni esempi della funzione lineare sono,

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = x – 5, ecc.

Cosa sono dominio e codominio di una funzione?

Se definiamo la funzione come, y = f(x). Quindi il dominio di x è costituito da tutti i valori di x per i quali y risulta in un valore univoco. E il codominio di y è l'insieme di tutti i valori di y per ciascun valore di x.

Come si identifica una funzione in matematica?

Se qualsiasi valore di input (x) del dominio in una relazione ha più di un'immagine (y), allora questa relazione non potrà mai essere una funzione. Quindi se il valore di x si ripete nella coppia ordinata allora non è mai una funzione.