Funzione uno a uno o La funzione One-One è una delle tipi di funzioni definito su dominio e codominio e descrive il tipo specifico di relazione tra dominio e codominio. La funzione uno a uno è anche chiamata funzione iniettiva. La funzione One to One è una funzione matematica in cui ogni elemento nel dominio mappa su un elemento univoco nel codominio .

Questo articolo esplora in dettaglio il concetto di Funzione One to One o Funzione One-One, compresa la sua definizione ed esempi che ti aiutano a comprendere facilmente il concetto. Discuteremo anche alcuni problemi di esempio e forniremo alcuni problemi pratici da risolvere. Quindi, impariamo a conoscere questo importante concetto matematico noto come funzione One to One.

Tabella dei contenuti

• Cos'è la funzione uno a uno?
• Esempi di funzioni uno-a-uno
• Proprietà delle funzioni uno-a-uno
• Funzione One to One e Onto Function
• Esempi risolti sulla funzione One to One

Cos'è la funzione uno a uno?

Una funzione biunivoca, nota anche come funzione iniettiva, è quella in cui diversi elementi di A hanno diversi elementi correlati a B o diversi elementi di A hanno immagini diverse in B.

Se ci sono immagini diverse per una funzione significa che è possibile solo per uno a uno se le pre-immagini erano diverse se l'insieme B ha elementi diversi significa che è possibile solo quando l'insieme A aveva elementi diversi per i quali questi erano i pre-immagini.

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Definizione della funzione uno a uno

Una funzione 'f' da un insieme 'A' a un insieme 'B' è uno a uno se non ci sono due elementi in 'A' mappati sullo stesso elemento in 'B'.

Consideriamo questi due diagrammi. Per il diagramma A ci rendiamo conto che 10 mappe in 1, 20 mappe in 2 e 30 mappe in 3.

Tuttavia per il diagramma B è chiaro che 10 e 30 corrispondono a 3 e poi 20 corrispondono a 1.

Poiché abbiamo elementi nel dominio corrispondenti a valori distinti in ciascun dominio per il diagramma A, la funzione è uno a uno, quindi il nostro diagramma B non è uno a uno.

Questo può essere espresso matematicamente come

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Esempio di funzioni uno-a-uno

• Funzione di identità: La funzione identità è un semplice esempio di funzione uno-a-uno. Prende un input e restituisce lo stesso valore dell'output. Per ogni numero reale x, la funzione identità è definita come:

f(x) = x

Ogni input distinto x corrisponde a un output distinto f(x), rendendolo una funzione biunivoca.

• Funzione lineare: Una funzione lineare è quella in cui la potenza massima della variabile è 1. Ad esempio:

f(x) = 2x + 3

Questa è una funzione uno a uno perché indipendentemente dal valore di x scelto, otterrai un valore univoco per f(x).

• Funzione valore assoluto: Anche la funzione di valore assoluto f(x)=∣x∣ è una funzione biunivoca. Per qualsiasi numero reale x, la funzione valore assoluto restituisce un valore non negativo e valori diversi di x daranno come risultato valori assoluti diversi.

Dimostriamo uno di questi esempi per la funzione uno-a-uno.

Esempio: Dimostrare che la funzione f(x) = 1/(x+2), x≠2 è biunivoca.

Soluzione:

Secondo la funzione uno a uno, lo sappiamo

f(a) = f(b)

sostituire a con x e x con b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

incrociare moltiplicare l'equazione di cui sopra

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Ora, poiché a = b la funzione si dice biunivoca.

Proprietà Funzioni individuali

Consideriamo f e g due funzioni biunivoche, le proprietà sono le seguenti:

• Se f e g sono entrambi uno a uno, allora f ∘ g segue l'iniettività.
• Se g ∘ f è uno a uno, allora la funzione f è uno a uno, ma la funzione g potrebbe non esserlo.
• f: X → Y è uno-uno, se e solo se, date delle funzioni g, h : P → X ogni volta che f ∘ g = f ∘ h, allora g = h. In altre parole, le funzioni biunivoche sono esattamente i monomorfismi nell'insieme di categorie degli insiemi.
• Se f: X → Y è uno-uno e P è un sottoinsieme di X, allora f^-1(f(A)) = P. Pertanto, P può essere recuperato dalla sua immagine f(P).
• Se f: X → Y è uno-uno e P e Q sono entrambi sottoinsiemi di X, allora f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Se sia X che Y sono limitati allo stesso numero di elementi, allora f: X → Y è uno-uno, se e solo se f è suriettiva o su funzione.

Grafico della funzione biunivoca

Vediamo una delle rappresentazioni grafiche della funzione biunivoca

Il grafico sopra della funzione f(x)= √x mostra la rappresentazione grafica della funzione uno a uno.

Prova della linea orizzontale

Una funzione è biunivoca se ciascuna linea orizzontale non interseca il grafico in più di un punto.

Usiamo una funzione lineare come esempio. Chiamiamolo f(x), quindi f(x) ha una funzione inversa. Per determinare se f(x) ha una funzione inversa devi dimostrare che è una funzione biunivoca, devi dimostrare che supera il test della linea orizzontale. Quindi se tracciamo una linea orizzontale e se f(x) tocca la linea orizzontale più di una volta significa che f(x) non è una funzione biunivoca e non ha una funzione inversa.

Nell'esempio sopra interseca la linea orizzontale solo in un punto. Quindi f(x) è una funzione biunivoca, il che significa che ha una funzione inversa.

Inverso della funzione uno-a-uno

Sia f una funzione biunivoca con dominio A e intervallo B. Allora l'inverso di f è una funzione con dominio B e intervallo A definito da f^-1(y) =x se e solo se f(x)=y per qualsiasi y in B. Ricorda sempre che una funzione è inversa se e solo se è biunivoca. Una funzione è biunivoca se l'esponente più alto è un numero dispari. Ma se il numero più alto è un numero pari o un valore assoluto, questa non è una funzione uno a uno.

Esempio: f(x)=3x+2 trova l'inverso della funzione

Soluzione:

scrivere la funzione nella forma y=f(x).

⇒ y=3x+2

consente di scambiare le variabili y e x

⇒x=3y+2

risolvere y in termini di x

⇒x-2=3y

dividi l'equazione per 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Funzione One to One e Onto Function

Le differenze principali tra le funzioni One to One e Onto sono elencate nella tabella seguente:

La seguente illustrazione fornisce la chiara differenza tra una e la funzione:

Per saperne di più,

• Funzioni
• Tipi di funzioni
• Relazione e funzione

Problemi risolti sulla funzione One to One

Risolviamo alcuni problemi per illustrare le funzioni uno-a-uno:

Problema 1: determina se la seguente funzione è biunivoca: f(x) = 3x – 1

Soluzione:

Soluzione 1: per verificare se è uno a uno, dobbiamo dimostrare che non esistono due valori x distinti associati allo stesso valore y.

Supponiamo f(a) = f(b), dove a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

un = b

Poiché l'unico modo per f(a) = f(b) è quando a = b, questa funzione è effettivamente biunivoca.

Problema 2: Determina se la seguente funzione è biunivoca: g(x) = x ²

Soluzione:

Soluzione 2: utilizzeremo il test della linea orizzontale rappresentando graficamente la funzione. Se una linea orizzontale interseca il grafico più di una volta, non è uno a uno.

Il grafico di g(x) = x^2 è una parabola che si apre verso l'alto. Qualsiasi linea orizzontale interseca il grafico solo una volta, quindi questa funzione non è biunivoca.

Esercitazioni su problemi sulle funzioni uno a uno

Problema 1: Determina se la seguente funzione è biunivoca:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²-1
• h(x) =³√x

Problema 2: Trova una funzione biunivoca dall'insieme dei numeri reali all'insieme dei numeri reali.

Problema 3: Data la funzione g(x) = x²+ 1, determina se è uno a uno sull'intero dominio.

Problema 4: Consideriamo la funzione h(x) = e^X. È una funzione uno a uno?

Problema 5: Trova la funzione inversa di f(x) = 4x – 7 e determinane il dominio.

Problema 6: Determina se la funzione p(x) = √x è biunivoca.

Problema 7: Dato q(x) = x/2, trova il dominio e l'intervallo della funzione.

Problema 8: Controlla se la funzione r(x) = sin (x) è biunivoca nell'intervallo [0, π].

Problema 9: Consideriamo la funzione s(x) = |x|. È una funzione uno a uno?

Problema 10: Determina se la funzione t(x) = 1/x è biunivoca e trova il suo dominio.

Funzioni One to One – Domande frequenti

1. Cos'è una funzione uno a uno?

Una funzione uno-a-uno è una funzione matematica che associa ogni elemento nel suo dominio a un elemento univoco nel suo codominio. In altre parole, non associa due elementi diversi nel dominio allo stesso elemento nel codominio.

2. Come posso determinare se una funzione è uno a uno?

Puoi utilizzare il test della linea orizzontale. Se nessuna linea orizzontale interseca il grafico della funzione più di una volta, si tratta di una funzione biunivoca.

3. Qual è la differenza tra una funzione uno-a-uno e una funzione onto?

Una funzione uno a uno garantisce che due elementi distinti nel dominio non siano mappati allo stesso elemento nel codominio, mentre una funzione onto, nota anche come funzione suriettiva, garantisce che ogni elemento nel codominio sia mappato da almeno un elemento nel dominio.

4. Tutte le funzioni lineari sono uno a uno?

No, non tutte le funzioni lineari sono biunivoche. Ad esempio, f(x) = 2x è uno a uno, ma g(x) = 2x + 1 non lo è perché associa due diversi valori x allo stesso valore y (ad esempio, g(1) = 3 e g(2) = 5).