Quali sono i fattori di 45? 1, 3, 5, 9, 15 e 45.
Ti chiedi come ho ottenuto quei numeri? Factoring! Poiché fornisce una base matematica per sistemi più complicati, imparare a fattorizzare è fondamentale. Quindi, se stai studiando per un test di algebra, rispolverando il SAT o l'ACT, o semplicemente vuoi rinfrescarti e ricordare come fattorizzare i numeri per ordini matematici più alti, questa è la guida che fa per te.
Cos'è il factoring?
Il factoring è il processo di ricerca di ogni numero intero che può essere moltiplicato per un altro numero intero per ottenere un numero target . Entrambi i multipli saranno fattori del numero target.
La fattorizzazione dei numeri può sembrare un compito noioso o una memorizzazione meccanica senza obiettivo finale, ma la fattorizzazione è una tecnica che aiuta a costruire la spina dorsale di processi matematici molto più complessi.
Senza sapere come fattorizzare, sarebbe decisamente difficile (se non impossibile) dare un senso ai polinomi e al calcolo, e renderebbero anche compiti semplici come dividere un assegno molto più complicati da capire a mente.
Quali sono i fattori di 45? Fattorizzazione in azione
Questo concetto può essere difficile da visualizzare, quindi diamo un'occhiata a tutti i fattori di 45 per vedere questo processo in azione. I divisori di 45 sono le coppie di numeri che moltiplicati insieme equivalgono a 45 :
1 e 45 (perché 1 * 45 = 45)
3 e 15 (perché 3 * 15 = 45)
5 e 9 (perché 5 * 9 = 45)
Quindi, sotto forma di elenco, i 45 fattori sono 1, 3, 5, 9, 15 e 45 .
Fortunatamente per noi, il factoring richiede solo le prime due funzioni in questa immagine (evviva!)
Fattorizzazione prima e fattori primi di 45
Un numero primo è qualsiasi numero intero maggiore di 1 che può soltanto essere diviso (equamente) per 1 e se stesso. Un elenco dei numeri primi più piccoli è 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... e così via.
Primo fattorizzazione significa trovare i fattori dei numeri primi di un numero target che, moltiplicati insieme, equivalgono a quel numero target. Quindi, se utilizziamo 45 come numero target, vogliamo trovare solo i fattori primi di 45 che devono essere moltiplicati insieme per ottenere 45.
Sappiamo dai fattori della lista 45 sopra che solo alcuni di questi fattori (3 e 5) sono numeri primi. Ma sappiamo anche che 3 * 5 lo fa non uguale a 45. Quindi 3 * 5 è una scomposizione in fattori primi incompleta.
Il modo più semplice per trovare a completare la scomposizione in fattori primi di un dato numero target consiste nell'utilizzare quella che è essenzialmente una divisione 'capovolta' e dividere solo per il numero primo più piccolo che può rientrare in ciascun risultato.
Per esempio:
Dividere il numero target (45) per il numero primo più piccolo che può essere preso in considerazione. In questo caso sono 3.
Alla fine otteniamo 15. Ora dividiamo 15 per il più piccolo numero primo che può essere preso in considerazione. Anche in questo caso sono 3.
Il risultato è 5. Ora dividi 5 per il più piccolo numero primo che può essere preso in considerazione. In questo caso sono 5.
Questo ci lascia con 1, quindi abbiamo finito.
La scomposizione in fattori primi sarà costituita da tutti i numeri 'esterni' moltiplicati insieme. Se moltiplicati insieme, il risultato sarà 45. (Nota: non includiamo 1, perché 1 non è un numero primo.)
La nostra scomposizione in fattori primi finale di 45 è 3 * 3 * 5.
Un diverso tipo di Prime.
Capire i fattori di qualsiasi numero
Quando si individuano i fattori, il modo più veloce è trovare il fattore coppie come abbiamo fatto prima per tutti i fattori di 45. Trovando le coppie, dimezzi il tuo lavoro, poiché trovi contemporaneamente sia il fattore più piccolo che quello più grande.
Ora, il modo più veloce per calcolare tutte le coppie di fattori necessarie per fattorizzare il numero target è trovare la radice libera del numero target (o radice quadrata e arrotondare per difetto al numero intero più vicino) e utilizzare quel numero come numero fermandosi punto per trovare piccoli fattori.
Perché? Perché avrai già trovato tutti i fattori più grandi del quadrato trovando le coppie di fattori più piccoli. E ripeterai quei fattori solo se continui a cercare di trovare fattori più grandi della radice quadrata.
Non preoccuparti se questo sembra confuso in questo momento! Lavoreremo con un esempio per mostrarti come evitare di perdere tempo ritrovando gli stessi fattori.
Vediamo quindi il metodo in azione per trovare tutti i fattori di 64:
Per prima cosa, prendiamo la radice quadrata di 64.
√64 = 8
Ora lo sappiamo soltanto concentrarci sui numeri interi da 1 a 8 per trovare la prima metà di tutte le nostre coppie di fattori.
#1: La nostra prima coppia di fattori sarà 1 e 64
#2: 64 è un numero pari, quindi la nostra prossima coppia di fattori sarà 2 e 32.
#3: 64 non può essere diviso equamente per 3, quindi 3 NON è un fattore.
#4: 64/4 = 16, quindi la nostra prossima coppia di fattori sarà 4 e 16.
#5: 64 non è equamente divisibile per 5, quindi 5 NON è un fattore di 64.
#6: 6 non sta in parti uguali in 64, quindi 6 NON è un fattore di 64.
#7: 7 non sta alla pari in 64, quindi 7 NON è un fattore di 64.
#8: 8 * 8 (8 al quadrato) è uguale a 64, quindi 8 è un fattore di 64.
E possiamo fermarci qui, perché 8 è la radice quadrata di 64. Se continuassimo a cercare i fattori, ripeteremmo solo i numeri più grandi delle nostre coppie di fattori precedenti (16, 32, 64).
Il nostro elenco finale di fattori di 64 è 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
I fattori (come gli anatroccoli) sono sempre migliori in coppia.
Scorciatoie per l'individuazione dei fattori
Ora vediamo come possiamo velocemente trovare i fattori più piccoli (e quindi le coppie di fattori) di un numero target. Di seguito ho delineato alcuni trucchi utili per capire se i numeri da 1 a 11 sono fattori di un determinato numero.
1) Ogni volta che vuoi fattorizzare un numero, puoi sempre iniziare immediatamente con due fattori: 1 e il numero target (ad esempio, 1 e 45, se stai fattorizzando 45). Qualsiasi numero (diverso da 0) può sempre essere moltiplicato per 1 per essere uguale a se stesso, quindi 1 volontà Sempre essere un fattore.
2) Se il numero target è pari, i fattori successivi saranno 2 e metà del numero target. Se il numero è dispari, sai automaticamente che non può essere diviso equamente per 2, quindi 2 NON sarà un fattore. (In effetti, se il numero target è dispari, non avrà fattori di NESSUN numero pari.)
3) Un modo rapido per capire se un numero è divisibile per 3 è sommare le cifre del numero target. Se 3 è un fattore della somma delle cifre, allora 3 è anche un fattore del numero target.
Ad esempio, supponiamo che il nostro numero target sia 117 e dobbiamo fattorizzarlo. Possiamo capire se 3 è un fattore sommando insieme le cifre del numero target (117):
1 + 1 + 7 = 9
Shreya Ghoshal
3 può essere moltiplicato per 3 per ottenere 9, quindi 3 potrà stare in parti uguali in 117.
117/3 = 39
3 e 39 sono fattori di 117.
4) Un numero da raggiungere avrà un fattore pari a 4 solo se il numero target è pari . Se lo è, puoi capire se 4 è un fattore osservando il risultato di una coppia di fattori precedente. Se, dividendo un numero target per 2, il risultato è ancora pari, anche il numero target sarà divisibile per 4. In caso contrario, il numero target NON avrà un fattore 4.
Per esempio:
18/2 = 9. 18 NON è divisibile per 4 perché 9 è un numero dispari.
56/2 = 28. 56 È divisibile per 4 perché 28 è un numero pari.
5) 5 sarà a fattore di tutti i numeri che terminano con le cifre 5 o 0 . Se il target termina con qualsiasi altro numero, non avrà un fattore 5.
6) 6 sarà sempre un fattore di un numero target se il numero target ha fattori SIA 2 che 3 . In caso contrario, 6 non sarà un fattore.
7) Purtroppo, non ci sono scorciatoie da trovare se 7 è un fattore di un numero diverso dal ricordare i multipli di 7.
8) Se l'obiettivo numero NON ha fattori 2 e 4, non avrà nemmeno un fattore 8 . Se ha fattori 2 e 4, esso Potrebbe hanno un fattore pari a 8, ma dovrai dividere per vedere (sfortunatamente, non esiste un trucco preciso oltre a questo e ricordare i multipli di 8).
9) Puoi capire se 9 è un fattore in base a sommando insieme le cifre del numero di destinazione . Se la somma è un multiplo di 9, il numero target ha 9 come fattore.
Per esempio:
42 → 4 + 2 = 6. 6 NON è divisibile per 9, quindi 9 NON è un fattore di 42.
72→ 7 + 2 = 9. 9 È divisibile per 9 (ovviamente!), quindi 9 è un fattore di 72.
10) Se un bersaglio il numero termina con 0 , allora avrà sempre un fattore pari a 10. In caso contrario, 10 non sarà un fattore.
undici) Se un numero target è a numero di due cifre con entrambe le cifre ripetute (22, 33, 66, 77…), allora avrà 11 come fattore. Se è un numero di tre cifre o superiore, dovrai semplicemente verificare tu stesso se è divisibile per 11.
12+) A questo punto, probabilmente hai già trovato i numeri più grandi come 12, 13 e 14 trovando i fattori più piccoli e creando coppie di fattori. In caso contrario, dovrai testarli manualmente dividendoli nel numero di destinazione.
Imparare le tue tecniche di factoring rapido consentirà a tutti quei fastidiosi pezzi di andare al loro posto.
Suggerimenti per ricordare 45 fattori
Se il tuo obiettivo è ricordare tutti i fattori di 45, puoi sempre utilizzare le tecniche sopra descritte per trovare le coppie di fattori.
La radice quadrata di 45 è compresa tra 6 e 7 (6^2 = 36 e 7^2 = 49). Arrotonda per difetto a 6, che sarà il numero più piccolo da testare.
Sai che la prima coppia sarà automaticamente 1 e 45. Sai anche che 2, 4 e 6 non saranno fattori, perché 45 è un numero dispari.
4 + 5 = 9, quindi 3 sarà un fattore (come 15, perché 45/3 = 15).
E infine, 45 termina con 5, quindi 5 sarà un fattore (come lo sarà 9, perché 45/5 = 9).
Questo lo dimostra Puoi sempre raffigurare i fattori di 45 in modo estremamente rapido, anche se non hai memorizzato i numeri esatti nell'elenco.
Oppure, se preferisci memorizzare tutti i 45 fattori in modo specifico, potresti ricordare che, per fattorizzare 45, tutto ciò che serve sono i tre numeri dispari più piccoli (1, 3, 5) . Ora basta accoppiarli con i multipli corrispondenti per ottenere 45 (45, 15, 9).
Conclusione: perché il factoring è importante
La fattorizzazione fornisce le basi di forme più elevate di pensiero matematico, quindi imparare a fattorizzare ti sarà utile sia nei tuoi sforzi matematici attuali che in quelli futuri.
Sia che tu stia imparando per la prima volta o semplicemente prendendoti il tempo per rinfrescare la tua conoscenza dei fattori, intraprendere i passaggi per comprendere questi processi (e conoscere i trucchi su come ottenere i tuoi fattori nel modo più efficiente!) ti aiuterà ad arrivare dove vuoi essere nella tua vita matematica.
Buon factoring!