L'equazione di una linea su un piano è dato come y = mx + C dove xey sono le coordinate del piano, m è la pendenza della retta e C è l'intercetta. Tuttavia la costruzione di una linea non si limita al solo piano.

Sappiamo che una linea è un percorso tra due punti. Questi due punti possono essere posizionati ovunque, sia che si trovino su un unico piano o nello spazio. Nel caso del piano, la posizione della linea è caratterizzata da due coordinate disposte in una coppia ordinata date come (x, y) mentre nel caso dello spazio, la posizione del punto è caratterizzata da tre coordinate espresse come (x , y, z).

In questo articolo impareremo le diverse forme di equazioni delle linee nello spazio 3D.

Tabella dei contenuti

• Cos'è l'equazione di una linea?
• Equazione della linea in 3D
• Forma cartesiana dell'equazione della retta in 3D
• Forma vettoriale dell'equazione della linea in 3D
• Formule di linee 3D
• Esempi risolti sull'equazione di una linea in 3D

Cos'è l'equazione di una linea?

L'equazione di una linea è un modo algebrico per esprimere una linea in termini di coordinate dei punti che unisce. L'equazione di una retta sarà sempre a equazione lineare .

Se proviamo a tracciare i punti ottenuti da un'equazione lineare sarà a retta . L'equazione standard di una linea è data come:

ax + by + c = 0

Dove,

• a e b sono coefficienti di x e y
• c è a termine costante

Altre forme dell'equazione della retta sono menzionate di seguito:

Ora impareremo l'equazione della retta in 3D.

Equazione della linea in 3D

L'equazione della linea retta in 3D richiede due punti che si trovano nello spazio. La posizione di ciascun punto viene fornita utilizzando tre coordinate espresse come (x, y, z).

L'equazione 3D di una linea è data in due formati, forma cartesiana E forma vettoriale . In questo articolo impareremo l'equazione di una linea in 3D sia in forma cartesiana che vettoriale e impareremo anche a derivare l'equazione. I diversi casi di equazione della retta sono elencati di seguito:

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• Forma cartesiana della retta
  • Retta passante per due punti
  • Retta passante per un dato punto e parallela ad un dato vettore
• Forma vettoriale della linea
  • Retta passante per due punti
  • Retta passante per un dato punto e parallela ad un dato vettore

Forma cartesiana dell'equazione della retta in 3D

La forma cartesiana della retta è data utilizzando le coordinate di due punti situati nello spazio da cui passa la retta. In questo discuteremo due casi, quando la linea passa per due punti e quando la linea passa per punti ed è parallela a un vettore.

Caso 1: Equazione 3D della retta in forma cartesiana passante per due punti

Supponiamo di avere due punti A e B le cui coordinate sono date come A(x₁, E₁, Con₁) e B(x₂, E₂, Con₂).

Quindi viene data l'equazione 3D della retta in forma cartesiana come

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

dove x, yez sono coordinate rettangolari.

Derivazione dell'equazione della retta passante per due punti

Possiamo derivare la forma cartesiana dell'equazione 3D della linea retta utilizzando i seguenti passaggi menzionati:

• Passo 1: Trova i DR (rapporti di direzione) prendendo la differenza delle coordinate di posizione corrispondenti dei due punti dati. l = (x₂- X₁), M = (e₂- E₁), N = (z₂- Con₁); Qui l, m, n sono i DR.
• Passo 2: Scegli uno dei due punti indicati, diciamo: scegliamo (X₁, E₁, Con₁).
• Passaggio 3: Scrivi l'equazione richiesta della retta passante per i punti (X₁, E₁, Con₁) e (x₂, E₂, Con₂).
• Passaggio 4: L'equazione 3D della retta in forma cartesiana è data come L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(E₂- E₁) = (z – z₁)/(Con₂- Con₁)

Dove (X e Z) sono le coordinate di posizione di qualsiasi punto variabile giacente sulla retta.

Esempio: Se una linea retta passa per due punti fissi nella tridimensionale le cui coordinate di posizione sono P (2, 3, 5) e Q (4, 6, 12), allora la sua equazione cartesiana che utilizza la forma a due punti è data da

Soluzione:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Scelta del punto P (2, 3, 5)

L'equazione richiesta della retta

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Caso 2: Equazione 3D della retta cartesiana passante per un punto e parallela a un dato vettore

Supponiamo che la retta passi per un punto P(x₁, E₁, Con₁) ed è parallelo a un vettore dato comevec n = ahat i + bhat j + chat k .

Quindi l'equazione della retta è data come

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

dove x, y, z sono coordinate rettangolari e a, b, c sono coseni direzionali.

Derivazione dell'equazione 3D della retta cartesiana passante per un punto e parallela a un dato vettore

Supponiamo di avere un punto P il cui vettore posizione è dato comevec pdall'origine. Sia la retta che passa per P parallela ad un altro vettorevec n. Prendiamo un punto R sulla retta che passa per P, quindi il vettore posizione di R è dato comevec r .

Poiché PR è parallelo avec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Ora se ci muoviamo sulla linea PR allora la coordinata di qualsiasi punto che si trova sulla linea avrà la coordinata sotto forma di (x₁+ λa), (e₁+λb), (z₁+ λc), dove λ è un parametro il cui valore varia da -∞ a +∞ a seconda della direzione da P in cui ci muoviamo.

Quindi, le coordinate del nuovo punto saranno

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/UN

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/B

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/C

Confrontando le tre equazioni precedenti abbiamo l'equazione della retta as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Esempio: Trova l'equazione di una retta passante per un punto (2, 1, 3) e parallela a un vettore 3i – 2j + k

Soluzione:

L'equazione della retta passante per un punto e parallela a un vettore è data come

(x-x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/C

Dalla domanda che abbiamo, x₁= 2 e₁= 1,z₁= 3 e a = 3, b = -2 e c = k. Quindi, l'equazione richiesta della retta sarà

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Forma vettoriale dell'equazione della linea in 3D

La forma vettoriale dell'equazione della linea in 3D viene data utilizzando un'equazione vettoriale che coinvolge il vettore di posizione dei punti. In questo paragrafo otterremo l'equazione 3D della linea in forma vettoriale per due casi.

Caso 1: equazione 3D della retta passante per due punti in forma vettoriale

Supponiamo di avere due punti A e B il cui vettore posizione è dato comevec aEvec b.

Quindi l'equazione vettoriale della linea L è data come

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Dove(vec b – vec a)è la distanza tra due punti e λ è il parametro che giace sulla linea.

Derivazione dell'equazione 3D della retta passante per due punti in forma vettoriale

Supponiamo di avere due punti A e B il cui vettore posizione è dato comevec aEvec b. Ora sappiamo che una linea è la distanza tra due punti qualsiasi. Quindi, dobbiamo sottrarre i due vettori posizione per ottenere la distanza.

⇒vec d = vec b – vec a

Ora sappiamo che qualsiasi punto su questa linea sarà dato come somma del vettore posizionevec a space or space vec b con il prodotto del parametro λ e il vettore posizione della distanza tra due punti cioèvec d

Quindi, l'equazione della linea nella forma vettoriale saràvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)Ovec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Esempio: trovare l'equazione vettoriale di una linea in 3D che passa per due punti i cui vettori di posizione sono dati come 2i + j – k e 3i + 4j + k

Soluzione:

Dato che i due vettori posizione sono dati come 2i + j – k e 3i + 4j + k

Distanza d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Sappiamo che l'equazione della retta è data comevec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Quindi, l'equazione della retta saràvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Caso 2: forma vettoriale dell'equazione 3D della linea passante per un punto e parallela a un vettore

Diciamo di avere un punto P il cui vettore posizione è dato comevec p. Lascia che questa linea sia parallela ad un'altra linea il cui vettore posizione è dato comevec d .

Quindi l'equazione vettoriale della linea 'l' è data come

vec l = vec p + lambda vec d

dove λ è il parametro che giace sulla retta.

Derivazione della forma vettoriale dell'equazione 3D della retta passante per un punto e parallela a un vettore

Consideriamo un punto P il cui vettore posizione è dato comevec p. Supponiamo ora che questa retta sia parallela a un vettorevec dquindi, l'equazione della retta saràvec l = lambda vec d. Ora, poiché la linea passa anche per il punto P, quando ci allontaniamo dal punto P in entrambe le direzioni sulla linea, il vettore posizione del punto sarà sotto forma divec p + lambda vec d . Quindi, l'equazione della retta saràvec l = vec p + lambda vec ddove λ è il parametro che giace sulla retta.

Esempio: Trova la forma vettoriale dell'equazione della linea passante per il punto (-1, 3, 2) e parallela al vettore 5i + 7j – 3k.

Soluzione:

Sappiamo che la forma vettoriale dell'equazione di una retta passante per un punto e parallela a un vettore è data comevec l = vec p + lambda vec d

Dato che il punto è (-1, 3, 2), quindi il vettore posizione del punto sarà -i + 3j + 2k e il vettore dato è 5i + 7j – 3k.

Pertanto, l'equazione richiesta della linea saràvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formule di linee 3D

Letture simili

• Equazione di una retta
• Tangente e normale
• Pendenza della linea

Esempi risolti sull'equazione di una linea in 3D

Esercitati con le equazioni di retta in 3D con queste domande pratiche risolte.

Esempio 1: Se una linea retta passa attraverso due punti fissi nella dimensione tridimensionale i cui vettori di posizione sono (2 i + 3 j + 5 k) e (4 i + 6 j + 12 k), allora la sua equazione vettoriale utilizzando i due punti la forma è data da

Soluzione:

{vec {p}}= (4 io +6 J +12 K ) - (2 io +3 J +5 K )

{vec {p}}= (2 io +3 J +7 K ) ; Qui{vec {p}}è un vettore parallelo alla retta

Scegliendo il vettore posizione (2 io +3 J +5 K )

L'equazione richiesta della retta

L:{vec {r}}= (2 io +3 J +5 K ) + T . (2 io +3 J +7 K )

Esempio 2: Se una linea retta passa attraverso i due punti fissi nello spazio tridimensionale le cui coordinate di posizione sono (3, 4, -7) e (1, -1, 6), allora la sua equazione vettoriale utilizzando i due punti la forma è data da

Soluzione:

I vettori di posizione dei punti dati saranno (3 i + 4 j – 7 k) e (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ; Qui{vec {p}}è un vettore parallelo alla retta

Scelta del vettore posizione (i – j + 6 k)

L'equazione richiesta della retta

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + T . (2 i + 5 j – 13 k)

Esempio 3: Se una linea retta passa attraverso due punti fissi nella dimensione tridimensionale i cui vettori di posizione sono (5 i + 3 j + 7 k) e (2 i + j – 3 k), allora la sua equazione vettoriale utilizzando la forma a due punti è dato da

Soluzione:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 io + 2 j + 10 k) ; Qui{vec {p}}è un vettore parallelo alla retta

Scelta del vettore posizione (2 i + j – 3 k)

L'equazione richiesta della retta

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + T . (3 i + 2 j + 10k)

Esempio 4: Se una linea retta passa attraverso due punti fissi nella dimensione tridimensionale le cui coordinate di posizione sono A (2, -1, 3) e B (4, 2, 1), allora la sua equazione cartesiana utilizza i due punti la forma è data da

Soluzione:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Scelta del punto A (2, -1, 3)

L'equazione richiesta della retta

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 o

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Esempio 5: Se una linea retta passa per due punti fissi nella tridimensionale le cui coordinate di posizione sono X (2, 3, 4) e Y (5, 3, 10), allora la sua equazione cartesiana che utilizza la forma a due punti è data da

Soluzione:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Scelta del punto X (2, 3, 4)

L'equazione richiesta della retta

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 o

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Equazione di una linea in 3D – Domande frequenti

Cos'è l'equazione di una linea in 3D?

L'equazione di una linea in 3D è data come (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(E₂- E₁) = (z – z₁)/(Con₂- Con₁)

Cos'è la forma cartesiana dell'equazione di una linea in 3D?

La forma cartesiana dell'equazione della retta in 3D è fornita per due casi

Caso 1: Quando la retta passa per due punti:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

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Caso 2: Quando una linea passa per un punto ed è parallela a un vettore:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Qual è la forma vettoriale dell'equazione di una linea in 3D?

La forma vettoriale dell'equazione di una linea in 3D è data per due casi:

Caso 1: Linea passante per due punti:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Caso 2: linea passante per un punto e parallela a un vettore:vec l = vec p + lambda vec d

Cos'è l'equazione del punto inclinato di una linea?

Punto di pendenza L'equazione di una linea è data come y = mx + C dove m è la pendenza

Qual è l'equazione standard di una linea?

L'equazione standard di una linea è ax + by + c = 0