FUNZIONE TOTIENT DI EULERO - TECHCODEVIEW.COM

La funzione Totiente di Eulero Φ(n) per un input n è il conteggio dei numeri in {1, 2, 3, …, n-1} che sono primi rispetto a n, cioè i numeri il cui MCD (massimo comun divisore) con n è 1.

Esempi:

Φ(1) = 1
mcd(1, 1) è 1

Φ(2) = 1
mcd(1, 2) è 1, ma mcd(2, 2) è 2.

Φ(3) = 2
mcd(1, 3) è 1 e mcd(2, 3) è 1

Φ(4) = 2
mcd(1, 4) è 1 e mcd(3, 4) è 1

Φ(5) = 4
mcd(1, 5) è 1, mcd(2, 5) è 1,
mcd(3, 5) è 1 e mcd(4, 5) è 1

Φ(6) = 2
mcd(1, 6) è 1 e mcd(5, 6) è 1,

Pratica consigliata Funzione Eulero Totient Provalo!

Come calcolare Φ(n) per un input n?
UN soluzione semplice consiste nell'iterare tutti i numeri da 1 a n-1 e contare i numeri con mcd con n come 1. Di seguito è riportata l'implementazione del metodo semplice per calcolare la funzione Totient di Eulero per un numero intero di input n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Giava

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

Javascript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Produzione

phi(1) = 1 phi(2) = 1 phi(3) = 2 phi(4) = 2 phi(5) = 4 phi(6) = 2 phi(7) = 6 phi(8) = 4 phi( 9) = 6 phi(10) = 4

per l'array di stringhe Java

Il codice precedente chiama la funzione gcd O(n) volte. La complessità temporale della funzione mcd è O(h) dove h è il numero di cifre in un numero più piccolo di due numeri dati. Pertanto, un limite superiore al complessità temporale della soluzione di cui sopra è O(N^2 log N) [Come Φ può esserci al massimo Log₁₀n cifre in tutti i numeri da 1 a n]

Spazio ausiliario: O(logN)

Di seguito è riportato un Soluzione migliore . L’idea si basa sulla formula del prodotto di Eulero che afferma che il valore delle funzioni totali è inferiore al prodotto dei fattori primi complessivi p di n.

La formula sostanzialmente dice che il valore di Φ(n) è uguale a n moltiplicato per il sottoprodotto di (1 – 1/p) per tutti i fattori primi p di n. Ad esempio il valore di Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
Possiamo trovare tutti i fattori primi utilizzando l'idea utilizzata in Questo inviare.

1) Inizializza: risultato = n
2) Esegui un ciclo da 'p' = 2 a sqrt(n), procedi per ogni 'p'.
a) Se p divide n, allora
Imposta: risultato = risultato * (1.0 - (1.0 / (float) p));
Dividi tutte le occorrenze di p in n.
3) Restituisci il risultato

Di seguito è riportata l’implementazione della formula del prodotto di Eulero.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  //Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n //se n è un numero primo return (int)result; } // Codice del driver int main() { int n;    per(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  //Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n //se n è un numero primo return (int)result; } // Programma driver per testare la funzione precedente int main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Giava

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  //Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n //se n è un numero primo return (int)result;  } // Programma driver per testare la funzione precedente public static void main(String args[]) { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : risultato -= risultato // n #Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n #se n è un numero primo return int(risultato) # Driver programma per testare la funzione precedente per n in range(1, 11) : print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Questo codice è fornito # da Nikita Tiwari.>

 // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  //Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n //se n è un numero primo return (int)result;  } // Codice driver public static void Main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  //Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n //se n è un numero primo return parseInt(risultato); } // Codice driver per (let n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $risultato -= $risultato / $n;  //Poiché nell'insieme {1,2,....,n-1}, tutti i numeri sono primi tra loro con n //se n è un numero primo return intval($risultato); } // Codice driver per ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>

Produzione

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Complessità temporale: O(Φ n log n)
Spazio ausiliario: O(1)

Possiamo evitare i calcoli in virgola mobile nel metodo sopra. L'idea è di contare tutti i fattori primi e i loro multipli e sottrarre questo conteggio da n per ottenere il valore della funzione totale (i fattori primi e i multipli di fattori primi non avranno mcd pari a 1)

1) Inizializza il risultato come n
2) Consideriamo ogni numero 'p' (dove 'p' varia da 2 a Φ(n)).
Se p divide n, allora fai quanto segue
a) Sottrarre tutti i multipli di p da 1 a n [tutti i multipli di p
avrà mcd più di 1 (almeno p) con n]
b) Aggiorna n dividendolo ripetutamente per p.
3) Se n ridotto è maggiore di 1, rimuovi tutti i multipli
di n dal risultato.

Di seguito è riportata l'implementazione dell'algoritmo di cui sopra.

C++

 // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;    risultato restituito; } // Codice del driver int main() { int n;  per(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>

 // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  risultato restituito; } // Programma driver per testare la funzione precedente int main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Giava

 // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) risultato -= risultato / n;  risultato restituito; } // Codice driver public static void main (String[] args) { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>

Python3

 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): risultato -= int(risultato / n); risultato restituito; # Codice driver per n in range(1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Questo codice è stato contribuito # da mits>

 // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) risultato -= risultato / n; risultato restituito; } // Codice driver static public void Main () { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) risultato -= parseInt(risultato / n);  risultato restituito; } // Codice driver per (let n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $risultato -= (int)$risultato / $n;  restituire $risultato; } // Codice driver per ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>

Produzione

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Complessità temporale: O(Φ n log n)
Spazio ausiliario: O(1)

Facciamo un esempio per comprendere l'algoritmo di cui sopra.

dhanashree verma

n = 10.
Inizializza: risultato = 10

2 è un fattore primo, quindi n = n/i = 5, risultato = 5
3 non è un fattore primo.

Il ciclo for si ferma dopo 3 poiché 4*4 non è inferiore o uguale
a 10.

Dopo il ciclo for, risultato = 5, n = 5
Poiché n> 1, risultato = risultato - risultato/n = 4

Alcune proprietà interessanti della funzione toziente di Eulero

1) Per un numero primo pag ,phi(p) = p – 1

Prova :

phi(p) = p - 1, dove p è un numero primo qualsiasi. Lo sappiamogcd(p, k) = 1dove k è un numero casuale qualsiasi ek eq pNumero totale da 1 a p = p Numero per cuigcd(p, k) = 1È1, cioè il numero p stesso, quindi sottraendo 1 da pphi(p) = p - 1

Esempi:

phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28

2) Per due numeri primi a e b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , usato in Algoritmo RSA

Prova :

phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), dove a e b sono numeri primiphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Numero totale da 1 a ab = ab Multipli totali di a da 1 a ab =frac{a cdot b} {a}=bMultipli totali di b da 1 a ab =frac{a cdot b} {b}=a Esempio: a = 5, b = 7, ab = 35Multipli di a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}Multipli di b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35} Può esserci un doppio conteggio? (guarda attentamente l'esempio sopra, prova con altri numeri primi anche per una maggiore comprensione)Certo che abbiamo contatoab due volte in multipli di a e multipli di b quindi, Multipli totali = a + b - 1 (con cuigcd eq 1conab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), rimuovendo tutti i numeri congcd eq 1conab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)

Esempi:

phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12

3) Per un numero primo p ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}

Prova :

phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, dove p è un numero primoNumeri totali da 1 ap ^ k = p ^ kMultipli totali dip = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Rimuovendo questi multipli come con lorogcd eq 1 Esempio : p = 2, k = 5,p ^ k= 32Multipli di 2 (come con lorogcd eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}

Esempi:

phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162

4) Per due numeri a e b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}

Caso speciale: mcd(a, b) = 1

phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)

attore amrita rao

Esempi:

Caso speciale : gcd(a, b) = 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8 Caso normale: gcd(a, b) eq 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16

5) La somma dei valori delle funzioni totali di tutti i divisori di n è uguale a n.

gauss

Esempi:

n = 6
fattori = {1, 2, 3, 6}
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8fattori = {1, 2, 4, 8}n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10fattori = {1, 2, 5, 10}n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

6) La caratteristica più famosa e importante è espressa in Il teorema di Eulero :

Il teorema afferma che se n e a sono coprimi
(o relativamente primi) interi positivi, quindi

UN^Φ(n)Φ 1 (mod n)

IL Crittosistema RSA si basa su questo teorema:
Nel caso particolare in cui m è primo, ad esempio p, il teorema di Eulero diventa il cosiddetto Il piccolo teorema di Fermat :

UN^p-1Φ 1 (contro p)

7) Il numero di generatori di un gruppo ciclico finito con addizione modulo n è Φ(n) .

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Riferimenti:
http://e-maxx.ru/algo/euler_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html

http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/

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Funzione Toziente di Eulero

Alcune proprietà interessanti della funzione toziente di Eulero