Incentro di un triangolo è il punto di intersezione delle tre bisettrici di un triangolo. L'incentro è un punto importante in un triangolo in cui le linee che tagliano gli angoli a metà si uniscono. Questo punto è anche il centro di un cerchio chiamato Incircle che si inserisce perfettamente all'interno del triangolo e tocca tutti e tre i lati allo stesso modo. Questo articolo tratta vari concetti sull'incentro del triangolo, ad esempio perché questo punto è importante, come trovarlo utilizzando un compasso o i numeri e le proprietà dell'incentro del cerchio.

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Tabella dei contenuti

• Cos'è l'incentro di un triangolo?
• Proprietà dell'incentro di un triangolo
• Formula dell'incentro di un triangolo
• Come trovare l'incentro di un triangolo
• Centroide, Circumcentro, Incentro, Ortocentro

Cos'è l'incentro di un triangolo?

L'incentro di un triangolo, come suggerisce il nome, è il punto centrale del triangolo. Questo punto che chiamiamo incentro si forma all'incrocio dove si incontrano tutte le linee che dividono in due gli angoli interni. La distanza del punto da tutti e tre i lati del triangolo è la stessa. Anche la circonferenza interna del triangolo corrisponde a un cerchio perfetto interno al triangolo e questo cerchio è chiamato circonferenza interna del triangolo.

Definizione di incentro

L'incentro di un triangolo è il punto all'interno del triangolo in cui si uniscono tutte e tre le linee che tagliano a metà i suoi angoli interni. Questo punto è alla stessa distanza dai tre lati del triangolo, rendendolo come il centro del triangolo. È anche il centro del cerchio più grande che può stare perfettamente all'interno del triangolo, che chiamiamo cerchio interno. Per simboleggiare l'incentro, di solito usiamo la lettera I,

Incentro di un triangolo

Proprietà dell'incentro di un triangolo

Di seguito sono riportate alcune proprietà importanti dell'incentro del triangolo:

Proprietà 1: Se IO è l'incentro di un triangolo ABC, allora tre coppie di segmenti hanno la stessa lunghezza: AE e AG, CG e CF, BF e BE. Ciò significa che AE = AG, CG = CF e BF = BE.

Proprietà 2: L'incentro IO ha anche un rapporto speciale con gli angoli del triangolo. Fa sì che gli angoli ∠BAI e ∠CAI siano uguali, ∠BCI e ∠ACI siano uguali e ∠ABI e ∠CBI siano uguali. Ciò segue il teorema della bisettrice dell'angolo.

Proprietà 3: L'incentro IO è il centro di una circonferenza che tocca tutti e tre i lati del triangolo e le distanze da IO ai lati del triangolo (EI, FI, GI) sono tutti uguali. Queste distanze sono chiamate inradii, o raggio della circonferenza.

Proprietà 4: Puoi calcolare l'area del triangolo utilizzando il semiperimetro (s) e il raggio interno (r). La formula è A = sr, dove A è l'area, s è il semiperimetro (s = (a + b + c)/2, dove a, b e c sono le lunghezze dei lati del triangolo) e r è la inraggio.

Proprietà 5: L'incentro di un triangolo rimane sempre all'interno del triangolo. A differenza dell'ortocentro, che in alcuni casi può trovarsi all'esterno del triangolo, l'incentro è sempre contenuto entro i confini del triangolo.

Formula dell'incentro di un triangolo

La formula per trovare l'incentro della formula con 3 coordinate (x₁, E₁), (X₂, E₂) e (x₃, E₃) È:

{(ascia ₁ +bx ₂ +cx ₃ )/(a + b + c), (is ₁ + di ₂ +c ₃ )/(a + b + c)}

In termini semplici, per ottenere l'incentro, tu:

• Moltiplica la coordinata x del punto A per la lunghezza del lato a, la coordinata x del punto B per la lunghezza del lato b e la coordinata x del punto C per la lunghezza del lato c. Quindi, aggiungili insieme.
• Dividi il risultato per la somma delle lunghezze dei lati a, b e c.
• Ripeti lo stesso processo per le coordinate y, ma utilizzando le lunghezze dei lati a, b e c.

Formula dell'incentro di un triangolo

La formula per trovare l'incentro di un angolo di un triangolo è la seguente:

Siano, in un triangolo, D, F e G i punti in cui le bisettrici degli angoli A, B e C rispettivamente incontrano i lati BC, AC e AB.

L'angolo ∠AIB (dove I è l'incentro del triangolo) può essere calcolato utilizzando la formula:

∠AIB = 180° – (metà della somma degli angoli A e B)

O

∠AIB = 180° – (∠A + ∠B)/2

Come trovare l'incentro di un triangolo

Esistono due metodi per trovare l'incentro di un triangolo. Nella costruzione, localizziamo l'incentro disegnando le bisettrici degli angoli del triangolo. Nella geometria delle coordinate, utilizziamo una formula per determinare l'incentro.

Utilizzo della geometria delle coordinate : Trova l'incentro del triangolo con le coordinate date come: A(2, 2), B(6, 2) e C(4, 5)

Secondo le informazioni fornite

• (X₁, E₁) = (2, 2)
• (X₂, E₂) = (6, 2)
• (X₃, E₃) = (4, 5)

Sappiamo che l'incentro di un triangolo è:

I(x, y) = {(ascia ₁ +bx ₂ +cx ₃ )/(a + b + c), (è ₁ + di ₂ +c ₃ )/(a + b + c)}

Per il lato a: La distanza tra i punti B e C = √((6 – 4)²+ (2 – 5)²) = √8

Per il lato b: la distanza tra i punti A e C = √((2 – 4)²+ (2 – 5)²) = √13

Per il lato c: La distanza tra i punti A e B = √((6 – 2)²+ (2 – 2)²) = 4

Inserendo i valori di a, b, c nella formula dell'incentro, otteniamo:

I(x, y) = {(8×2 + 13×5 + 4×4)/(8 + 13 +4), (8×2 + 13×2 + 4×5)/(8 + 13 +4 )}

⇒ I(x, y) = (16 + 78 + 16)/(25), (16 + 26 + 20)/(25)

⇒ I(x, y) = (110/25, 62/25) = (22/5,62/25)

∴ L'incentro del triangolo ABC di coordinate è (22/5,62/25)

Come costruire l'incentro di un triangolo?

Per costruire l'incentro di un triangolo sarà necessario utilizzare un compasso. Utilizzando una bussola seguire i passaggi indicati di seguito:

Passo 1: Metti un'estremità del compasso su un vertice del triangolo e l'altra estremità tocca un lato.

Passo 2: Usa il compasso per disegnare due archi su due lati del triangolo.

Passaggio 3: Con la stessa distanza sul compasso, traccia due archi all'interno del triangolo. Questi archi dovrebbero incrociarsi tra loro dal punto in cui toccano i lati.

Passaggio 4: Disegna una linea dal vertice del triangolo al punto in cui si incrociano i due archi interni.

Passaggio 5: Ripeti gli stessi passaggi dall'altro vertice del triangolo.

Passaggio 6: Il punto in cui le due linee si incontrano o si incrociano è l'incentro del triangolo.

Incentro del triangolo rettangolo

L'incentro se a Triangolo rettangolo è il punto in cui si incontrano tutte le bisettrici di un triangolo rettangolo. Se i lati di un triangolo rettangolo misurano a, b e c, il raggio della circonferenza 'r' è dato come r = (ab)/(a + b + c). L'incentro del triangolo rettangolo è illustrato di seguito:

Incentro di un triangolo rettangolo

Centroide, Circumcentro, Incentro, Ortocentro

Centroide, Circumcentro, Incentro e Ortocentro sono i quattro punti importanti relativi a un triangolo. Di seguito è riportato un confronto tra Centroide, Circumcentro, Incentro e Ortocentro:

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Inoltre, controlla

• Area del triangolo
• Perimetro del triangolo
• Proprietà della somma degli angoli di un triangolo

Esempi di incentro di un triangolo

Esempio 1: Calcola l'incentro del triangolo ABC. AB= 8 cm, BC= 15 cm, CA= 17 cm.

Soluzione:

Utilizzando la formula Incentro del triangolo = (aA + bB + cC)/(a + b + c)

Dove,

• a = 8
• b = 15
• c = 17

E gli angoli sono,

• A = 30°
• B = 60°
• C = 90°

Inserendo questi valori nella formula per ottenere,

⇒ {(8)(30) + (15)(60) + (17)(90)}/{8 + 15 + 17}

⇒ (240 + 900 + 1530)/40

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⇒ 2670/40

⇒ 66,75

Esempio 2: Jane ha calcolato che l'area di un campo triangolare è di 120 metri quadrati. Il perimetro del campo è di 36 metri. Se viene disegnato un cerchio all'interno del triangolo in modo che tocchi ogni lato del triangolo, aiuta Jane a calcolare il raggio interno del triangolo.

Soluzione:

Secondo le informazioni fornite,

Area del triangolo = 120 metri quadrati

Perimetro del triangolo = 36 metri

Sappiamo che l'area di un triangolo = r × s

s = semiperimetro

s = p/2 = 36/2 = 18

A = r×s

r = A/s

r = 120/18

r = 6,67 metri

Esercizi pratici sull'incentro di un triangolo

Problema 1: Dato il triangolo PQR con vertici P(1, 2), Q(4, 6) e R(7, 2), trova le coordinate dell'incentro.

Problema 2: Costruisci un triangolo ABC con ∠A = 45°, ∠B = 60° e ∠C = 75°. Utilizza il metodo di costruzione per trovare l'incentro.

Problema 3: Nel triangolo LMN, se ∠L = 75°, ∠M = 60° e ∠N = 45°, trova le coordinate dell'incentro.

Problema 4: Costruisci un triangolo XYZ con ∠X = 80°, ∠Y = 50° e ∠Z = 50°. Utilizza il metodo di costruzione per trovare l'incentro.

Incentro di un triangolo: domande frequenti

Cos'è l'incentro di un triangolo?

L'incentro di un triangolo è il punto in cui si intersecano le bisettrici degli angoli interni. È equidistante da tutti e tre i lati del triangolo.

Qual è il significato dell'incentro in un triangolo?

L’incentro è significativo in quanto è il centro della circonferenza del triangolo, il cerchio più grande che si inserisce all’interno del triangolo. Ha la proprietà di essere equidistante da tutti i lati.

Incenter può essere fuori dal triangolo?

No, l'incentro è sempre interno al triangolo. È il punto di convergenza delle bisettrici degli angoli e, per definizione, deve trovarsi entro i confini del triangolo.

Come viene costruito Incenter utilizzando una bussola e un bordo dritto?

Per costruire l'incentro, usa un compasso per disegnare le bisettrici dell'angolo da ciascun vertice al lato opposto. L'incentro è il punto in cui queste bisettrici si intersecano.

Cos'è la formula Incenter?

La formula per l'incentro di un triangolo può essere scritta come:

frac{(aA+bB+cC)}{a+b+c}

Quali sono le proprietà dell'incentro di un triangolo?

L'incentro ha alcune proprietà chiave. È equidistante dai lati del triangolo, il che significa che le distanze dai lati sono uguali. Inoltre, è il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli, che dividono gli angoli in due parti uguali.

Come viene determinato l'incentro?

Per determinare l'incentro, è necessario trovare il punto in cui si intersecano le bisettrici dell'angolo. Questo può essere fatto utilizzando la formula dell'incentro o disegnando le bisettrici degli angoli e trovando il loro punto di intersezione.

Qual è la differenza tra Incentro e Circumcentro?

La differenza principale tra incentro e circocentro è il loro fuoco. L'incentro ha a che fare con le bisettrici degli angoli ed è il centro del cerchio inscritto, mentre il circocentro ha a che fare con le bisettrici perpendicolari ed è il centro del cerchio circoscritto.

Incentro e centroide sono uguali?

No, l'incentro e il baricentro sono diversi. L'incentro è il punto in cui si incontrano le bisettrici degli angoli, mentre il baricentro è il punto in cui si intersecano le mediane. Le mediane collegano i vertici al punto medio del lato opposto.

Incenter e Orthocenter sono la stessa cosa?

No, l'incentro e l'ortocentro non sono la stessa cosa. L'incentro è il punto in cui gli angoli si bisecano tra loro, mentre l'ortocentro coinvolge le altezze – linee da ciascun vertice perpendicolari al lato opposto. Sono punti diversi in un triangolo.