Integrale del peccato x è -cos(x) più una costante (C). Rappresenta l'area sotto la curva sinusoidale. La funzione si ripete ogni 2π radianti a causa della sua natura periodica. Questo articolo spiega l'integrale della funzione seno, mostrandone la formula, la dimostrazione e l'applicazione per trovare integrali definiti specifici. Inoltre, menziona i problemi risolti e le domande frequenti.
Tabella dei contenuti
- Cos'è l'integrale del peccato x?
- Integrale di Sin x Formula
- Significato grafico dell'integrale del peccato x
- Integrale del peccato x Dimostrazione mediante il metodo di sostituzione
- Integrale definito di peccato x
- Integrale di Sin x Da 0 a π
- Integrale di Sin x Da 0 a π/2
Cos'è l'integrale del peccato x?
L'integrale di sin(x) relativo a x è -cos(x) più una costante (C). Ciò significa che quando si differenzia -cos(x) rispetto a x, si ottiene sin(x). La costante di integrazione (C) rappresenta qualsiasi valore costante aggiuntivo che può essere presente nella funzione originale.
L'integrale di sin x indica fisicamente l'area coperta sotto la curva sinusoidale.
Imparare,
- Calcolo in matematica
- Integrazione in matematica
Integrale di Sin x Formula
L'integrale della funzione seno, ∫ sin(x) dx, è uguale a -cos(x) + C, dove C è la costante di integrazione.
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Qui, cos(x) è la funzione coseno e C rappresenta la costante che viene aggiunta all'antiderivativa, poiché la derivata di una costante è zero.
Significato grafico dell'integrale del peccato x
L'integrale di sin(x) da (a) a (b) ha significato grafico in termini di calcolo dell'area sotto la curva all'interno di questo intervallo. Esploriamo il significato grafico utilizzando sia il metodo degli integrali definiti che il metodo geometrico.
Metodo integrale definito
L'integrale di sin(x) da (a) a (b) è dato da:
Questo rappresenta l'area con segno tra la curva sin(x) e l'asse x da ( a ) a ( b ).
Metodo geometrico
Considera il grafico di sin(x) da ( a ) a ( b ). L’area sotto la curva può essere divisa in due regioni:
- Area positiva: Regioni in cui sin(x) è positivo (sopra l'asse x). Ciò contribuisce all’area positiva sotto la curva.
- Area negativa: Regioni in cui sin(x) è negativo (sotto l'asse x). Ciò contribuisce all’area negativa sotto la curva.
L'area totale è la somma algebrica di queste aree positive e negative.
Esempio:
Trovare l'area sotto la curva di sin(x) da ( a = 0 ) a ( b = π/2 ).
Utilizzando il metodo degli integrali definiti:
∫0p/2peccato x = [-cos x]0p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1
Questa è l'area segnata sotto la curva.
Utilizzando il metodo geometrico:
Il grafico di sin(x) da 0 a (π/2) è un quarto di cerchio e l'area è effettivamente 1.
Integrazione di Sin x Dimostrazione mediante il metodo di sostituzione
Per trovare l'integrale di sin(x) utilizzando il metodo di sostituzione, consideriamo l'integrale:
Una sostituzione comune per gli integrali trigonometrici implica lasciare che u sia uguale all'espressione all'interno della funzione trigonometrica. In questo caso, sia u = cos(x). Quindi, calcola du in termini di dx:
du/dx = -peccato(x)
Ora, risolvi per dx:
dx = -1/sen(x) du
Ora sostituiamo u e dx in termini di u nell'integrale originale:
Integrale di sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)
Semplifica l'espressione:
Integrale di sin(x) dx = -∫ du
Ora integriamo rispetto a u:
Integrale di sin(x) dx = -u + C
Ora sostituiamo u, che è stato definito come cos(x):
Integrale di sin(x) dx = -cos(x) + C
Quindi, utilizzando il metodo di sostituzione, siamo arrivati allo stesso risultato della dimostrazione per derivate. L'integrale di sin(x) è -cos(x) + C, dove C è la costante di integrazione.
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Integrale definito di peccato x
L'integrale definito di sin(x) da a a b, indicato come
∫ B UN sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]
Calcola l'area netta sotto la curva sinusoidale tra x = a e x = b, considerando la direzione dell'area sopra e sotto l'asse x.
Imparare, Integrale definito
Integrale di Sin x Da 0 a Pi
Per trovare l'integrale di sin(x) da 0 a π, possiamo usare l'antiderivativa. L'antiderivativa di sin(x) è -cos(x). Valutando questa primitiva da 0 a π, otteniamo:
∫0Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]
∫0Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]
Poiché cos(π) è -1 e cos(0) è 1, l'espressione si semplifica in:
∫0Pisin(x)dx = 1 + 1 = 2
Quindi, l'integrale di sin(x) da 0 a π è uguale a 2. Questo rappresenta l'area con segno tra la curva sin(x) e l'asse x da x = 0 a x = π.
Integrale di Sin x Da 0 a Pi /2
L'integrale definito rappresenta l'area con segno tra la curva e l'asse x nell'intervallo dato.
L'integrale è dato come:
∫0p/2peccato(x)dx
Utilizzando l'antiderivativo -cos(x) per valutare l'integrale:
cos(x) |[da 0 a π/2]
Ora sostituiamo π/2 in -cos(x):
cos(π/2) – (-cos(0))
Ricorda che cos(π/2) = 0 e cos(0) = 1. Sostituisci questi valori:
-(0) – (-1)
Semplificare:
0 + 1 = 1
L'integrale definito di sin(x) da 0 a π/2 è uguale a 1. Ciò significa che l'area con segno tra la curva sinusoidale e l'asse x da x = 0 a x = π/2 è 1.
Inoltre, controlla
- Integrazione di Cos x
- Integrazione di Tan x
- Formule di integrazione
Integrale del peccato x – Esempi risolti
Esempio 1: Trova l'integrale di sin2(x)
Soluzione:
Per senza2(x), puoi utilizzare la formula che coinvolge cos(2x).
∫peccato2(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx
Dividilo in due parti:
= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx
L'integrale di dx è solo x. L'integrale di cos(2x) implica l'utilizzo della formula sin(2x). Sembra questo:
= (1/2)x – (1/4)peccato(2x) + C
Combina i due risultati e aggiungi una costante C per tenere conto di qualsiasi potenziale costante nell'integrale originale.
(1/2)x – (1/4)peccato(2x) + C
Esempio 2: Trova l'integrale del seno 3 X.
Soluzione:
L'integrale del seno al cubo rispetto a x può essere scritto come:
∫peccato3x dx
Utilizzare un'identità trigonometrica per semplificare:
senza3x = [1 – cos2(x)] peccato(x)
∫[1 – cos2(x)] sin(x) dx
Distribuisci e separa i termini:
∫[peccato x – peccato x. cos2(x)]dx
Integra ogni termine separatamente:
-cos(x) + 1/3 cos3x+C
Qui, ( C ) rappresenta la costante di integrazione.
Esempio 3: Trova l'integrale del peccato x -1
Soluzione:
L'integrale di peccato(x)-1può essere espresso utilizzando la funzione arcoseno. L'integrale è dato da:
∫1/sen x = -ln|cosec x + lettino x| +C
Qui, (C) è la costante di integrazione.
Esempio 4: Trova l'integrale del peccato x 2
Soluzione:
L'integrale di sin²(x) rispetto a x può essere risolto utilizzando un'identità trigonometrica.
∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx
Ora integra ogni termine separatamente:
1/2∫(1−cos(2x))dx = 1/2(∫1dx−∫cos(2x)dx)
= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C
dove ( C ) è la costante di integrazione.
Esempio 5: Trova l'integrale del peccato x -3
Soluzione:
Integrale del peccato(x)-3rispetto a (x) comporta una sostituzione trigonometrica. Ecco come puoi risolverlo:
Sia u = sin(x), allora du = cos(x)dx
Ora sostituiamoli nell'integrale:
∫ peccato(x)−3dx = ∫u−3Di
Ora integriamo rispetto a (u):
∫u−3tu = tu−2/−2 + C
Sostituisci nuovamente in termini di (x) utilizzando u = sin(x):
∫ peccato(x)−3dx = -1/2 sin2x+C
Quindi, l'integrale di sin(x)-3rispetto a (x) è -1/2sin2x , dove (C) è la costante di integrazione.
Esempio 6: Trova l'integrale del peccato inverso x
Soluzione:
Trovare l'integrale del peccato-1(x) rispetto a (x), è possibile utilizzare l'integrazione per parti. La formula di integrazione per parti è:
∫udv=uv−∫vdu
u = peccato-1(x) e dv = dx
Ora, trova (du) e (v):
du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx v = x
Applicare la formula di integrazione per parti:
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx Ora integra il termine rimanente sul lato destro. Puoi usare la sostituzione lasciando (t = 1 – x2), quindi (dt = -2x , dx):
int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt = √t + C
Ora, sostituisci nuovamente in termini di (x):
= -sqrt{1 – x^2} + C Mettere tutto insieme:
int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C dove (C) è la costante di integrazione.
Esempio 7: Trova l'integrale di x sin 2x dx
Soluzione:
Per trovare l'integrale di xsin(2x) rispetto a (x), è possibile utilizzare l'integrazione per parti. La formula di integrazione per parti è data da:
∫udv = uv − ∫vdu
u = x e dv = sin(2x)dx
Ora, trova (du) e (v):
du = dx e v = -1/2cos(2x)
Applicare la formula di integrazione per parti:
∫x.sen (2x) dx = −1/2.x.cos (2x) − ∫−1/2 cos(2x) dx
Ora integra il termine rimanente sul lato destro. L'integrale di -1/2cos(2x) può essere trovato ponendo (u = 2x) e utilizzando una semplice sostituzione:
∫−1/2cos(2x)dx = −1/4sen(2x)
Sostituisci questo risultato nell'equazione originale:
-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
Quindi, l'integrale di xsin(2x) rispetto a (x) è -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, dove (C) è la costante di integrazione.
Esempio 8: Trova l'integrale di sin x cos 2x
Soluzione:
Per trovare l'integrale di sin(x) cos(2x) rispetto a (x), è possibile utilizzare l'integrazione per parti. La formula di integrazione per parti è:
∫udv = uv − ∫vdu
u = sin(x) e dv = cos(2x)dx
Ora, trova (du) e (v):
du = cos(x) dx e v = 1/2 sin(2x)
Applicare la formula di integrazione per parti:
∫sin(x).cos(2x)dx = 1/2sin(x)sin(2x) − ∫1/2sin(2x)cos(x)dx
Ora integra il termine rimanente sul lato destro. È possibile utilizzare nuovamente l'integrazione per parti:
∫1/2sin(2x)cos(x)dx = 1/4cos(2x)cos(x) − ∫1/4cos(2x)sin(x)dx
Continuare il processo finché l'integrale non diventa gestibile. Dopo aver semplificato, otterrai il risultato finale:
1/2 sin(x)sen(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C
dove (C) è la costante di integrazione.
Integrale del peccato x – Domande pratiche
Q1. Trova l'integrale del seno da 0 a pi greco.
Q2. Calcolare l'integrale del seno da -π/2 a π/2.
Q3. Trova il valore dell'integrale di seno più coseno rispetto a x.
Q4. Calcolare l'integrale di seno(2x) da 0 a π/3.
Q5. Trovare l'antiderivativa di seno(3x) rispetto a x.
Q6. Calcola l'integrale di seno(2x) da π a 2π.
D7. Integrare la funzione seno al quadrato rispetto a x.
Q8. Valutare l'integrale del seno al quadrato da -π/4 a π/4.
Integrale del peccato x – Domande frequenti
Cos'è l'integrale del peccato x?
L'integrale del peccato x è -cos x
Cos'è il peccato x?
Sin(x), è una funzione trigonometrica che rappresenta il rapporto tra la lunghezza del lato opposto a un angolo e la lunghezza dell'ipotenusa in un triangolo rettangolo.
Cos'è l'intervallo del peccato x?
L'intervallo di Sin x è [-1, 1].
Cos'è l'integrale e la derivata del peccato x?
L'integrale di sin x è -cos x e la derivata di sei x è cos x
Qual è l'integrale di Sin x e Cos x?
L'integrale di sin x è -cos x + C e l'integrale di cos x è sin x
Cos'è l'integrale del peccato 2x?
L'integrazione di sin 2x è (-cos2x)/2 + c