Massimi e minimi locali si riferiscono ai punti delle funzioni, che definiscono l'intervallo più alto e più basso di quella funzione. La derivata della funzione può essere utilizzata per calcolare i massimi e i minimi locali. I massimi e minimi locali possono essere trovati attraverso l'uso sia del test della derivata prima che del test della derivata seconda.

In questo articolo discuteremo l'introduzione, la definizione e la terminologia importante di massimi e minimi locali e il suo significato. Comprenderemo anche i diversi metodi per calcolare i Massimi e i Minimi Locali in matematica e calcolo . Risolveremo anche vari esempi e forniremo domande pratiche per una migliore comprensione del concetto di questo articolo.

Tabella dei contenuti

• Cosa sono i massimi e i minimi locali?
• Definizione di massimi e minimi locali
• Termini relativi ai massimi locali e ai minimi locali
• Come trovare massimi e minimi locali?
• Esempi di Massimi e Minimi Locali

Cosa sono i massimi e i minimi locali?

I massimi e i minimi locali sono indicati come valori massimi e minimi in un intervallo specifico. Un massimo locale si verifica quando i valori di a funzione vicino ad un punto specifico sono sempre inferiori ai valori della funzione nello stesso punto. Nel caso dei Minimi Locali, i valori di una funzione vicino ad un punto specifico sono sempre maggiori dei valori della funzione nello stesso punto.

In un senso semplice, un punto è chiamato massimo locale quando la funzione raggiunge il suo valore più alto in un intervallo specifico, e un punto è chiamato minimo locale quando la funzione raggiunge il suo valore più basso in un intervallo specifico.

Ad esempio, se vai in una zona collinare e ti trovi sulla cima di una collina, quel punto è chiamato punto di massimo locale perché ti trovi nel punto più alto dell'ambiente circostante. Allo stesso modo, se ti trovi nel punto più basso di un fiume o di un mare, quel punto è chiamato punto di minimo locale perché ti trovi nel punto più basso dell'ambiente circostante.

Definizione di massimi e minimi locali

I massimi e i minimi locali sono i valori iniziali di qualsiasi funzione per avere un'idea dei suoi confini, come i valori di output più alti e più bassi. I minimi locali e i massimi locali sono anche chiamati estremi locali.

Massimi locali

Un punto di massimo locale è un punto su qualsiasi funzione in cui la funzione raggiunge il suo valore massimo entro un certo intervallo. Un punto (x = a) di una funzione f (a) è detto massimo locale se il valore di f(a) è maggiore o uguale a tutti i valori di f(x).

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Matematicamente, f (a) ≥ f (a -h) e f (a) ≥ f (a + h) dove h> 0, allora a è chiamato punto di massimo locale.

Minimi locali

Un punto di minimo locale è un punto su qualsiasi funzione in cui la funzione raggiunge il suo valore minimo entro un certo intervallo. Un punto (x = a) di una funzione f (a) è detto minimo locale se il valore di f(a) è minore o uguale a tutti i valori di f(x).

Matematicamente, f (a) ≤ f (a -h) e f (a) ≤ f (a + h) dove h> 0, allora a è chiamato punto di minimo locale.

Termini relativi ai massimi e ai minimi locali

La terminologia importante relativa ai massimi e minimi locali è discussa di seguito:

Valore massimo

Se qualsiasi funzione fornisce il valore di output massimo per il valore di input di x. Quel valore di x è chiamato valore massimo. Se è definito entro un intervallo specifico. Quindi viene chiamato quel punto Massimi locali .

Massimo assoluto

Se una qualsiasi funzione fornisce il valore di output massimo per il valore di input di x lungo l'intero intervallo della funzione. Quel valore di x è chiamato Massimo Assoluto.

Valore minimo

Se qualsiasi funzione fornisce il valore di output minimo per il valore di input di x. Quel valore di x è chiamato valore minimo. Se è definito entro un intervallo specifico. Quindi viene chiamato quel punto Minimi locali .

Minimo assoluto

Se una qualsiasi funzione fornisce il valore di output minimo per il valore di input di x lungo l'intero intervallo della funzione. Quel valore di x è chiamato Minimo Assoluto.

Punto di inversione

Se il valore di x all'interno dell'intervallo di una determinata funzione non mostra l'output massimo e minimo, viene chiamato punto di inversione.

Saperne di più, Massimi e minimi assoluti

Come trovare massimi e minimi locali?

I massimi e i minimi locali sono determinati solo per un intervallo specifico, non sono il massimo e il minimo per l'intera funzione e non si applicano all'intero intervallo della funzione.

Esistono i seguenti approcci per calcolare i massimi e i minimi locali. Questi sono:

• Nel primo passaggio, prendiamo la derivata della funzione.

• Nella seconda fase impostiamo la derivata uguale a zero e calcoliamo i punti critici per c.

• Nel terzo passaggio, utilizziamo Derivata prima E Test della derivata seconda per determinare i massimi e i minimi locali.

Cos'è il test della derivata prima?

Innanzitutto, prendiamo la derivata prima di una funzione che fornisce la pendenza della funzione. Man mano che ci avviciniamo al punto massimo, la pendenza della funzione aumenta, poi diventa zero nel punto massimo e poi diminuisce man mano che ci allontaniamo da esso.

Allo stesso modo nel punto di minimo, man mano che ci avviciniamo ad un punto di minimo, la pendenza della curva diminuisce, poi diventa zero nel punto di minimo, e poi aumenta man mano che ci allontaniamo da quel punto.

Prendiamo una funzione f(x), che è continua nel punto critico c, in un intervallo aperto I, e f'(c) = 0, significa pendenza nel punto critico c = 0.

Per verificare la natura di f'(x) attorno al punto critico c, abbiamo le seguenti condizioni per determinare il valore del massimo e del minimo locale dal test della derivata prima. Queste condizioni sono:

• Se f′(x) cambia segno da positivo a negativo quando x aumenta tramite c, allora f(c) mostra il valore più alto di quella funzione nell'intervallo dato. Quindi, il punto c è un punto di Massimo Locale, se la derivata prima f '(x)> 0 in qualsiasi punto sufficientemente vicino a sinistra di c e f '(x) <0 in qualsiasi punto sufficientemente vicino a destra di c.

• Se f′(x) cambia segno da negativo a positivo quando x aumenta tramite c, allora f(c) mostra il valore più basso di quella funzione nell'intervallo dato. Quindi, il punto c è un punto di Minimo Locale, se la derivata prima f '(x) 0 in qualsiasi punto abbastanza vicino alla destra di c.

• Se f'(x) non cambia il segno in modo significativo con x che aumenta tramite c, allora il punto c non mostra il valore più alto (massimi locali) e più basso (minimi locali) della funzione, in tal caso, il punto c è chiamato punto di flesso.

Leggi di più su Primo test della derivata .

Cos'è il test della derivata seconda?

Il test della derivata seconda viene utilizzato per scoprire il valore del massimo assoluto e del minimo assoluto di qualsiasi funzione entro un intervallo specifico. Prendiamo una funzione f(x), che è continua nel punto critico c, in un intervallo aperto I, e f'(c) = 0, significa pendenza nel punto critico c = 0. Qui prendiamo la derivata seconda f (x) della funzione f(x) che dà la pendenza della funzione.

Per verificare la natura di f'(x), abbiamo le seguenti condizioni per determinare il valore del massimo e del minimo locale dal test della derivata seconda. Queste condizioni sono:

• Il punto c è un punto di Massimo Locale, se la derivata prima f'(c) = 0 e la derivata seconda f(c) <0. Il punto in x= c sarà il massimo locale e f(c) sarà il valore massimo locale di f(x).

• Il punto c è un punto di minimo locale, se la derivata prima f'(c) = 0, e f(c) la derivata seconda> 0. Il punto in x= c sarà il minimo locale e f(c) sarà il minimo locale Valore minimo locale di f(x).

• Il test fallisce, se la derivata prima f'(c) = 0 e la derivata seconda f(c) = 0, allora il punto c non mostra il valore più alto (massimi locali) e più basso (minimi locali) della funzione , In tal caso, il punto c è chiamato punto di flesso e il punto x = c è chiamato the Punto di flesso.

Inoltre, controlla

• Applicazione dei derivati
• Massimi e minimi relativi
• Formula di differenziazione e integrazione

Esempi di Massimi e Minimi Locali

Esempio 1: analizzare i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 utilizzando il test della derivata prima.

Soluzione:

La funzione data è f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

La derivata prima della funzione è f'(x) = 6x²– 6x – 12, servirà per scoprire i punti critici.

Per trovare il punto critico, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Quindi, i punti critici sono x = -1 e x = 2.

Analizzare la derivata prima dal punto immediato al punto critico x = -1. I punti sono {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 e f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Il segno della derivata è positivo verso sinistra di x = -1, ed è negativo verso destra. Quindi, indica che x = -1 è il massimo locale.

Analizziamo ora la derivata prima punto immediato al punto critico x = 2. I punti sono {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 e f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

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Il segno della derivata è negativo verso sinistra di x = 2 ed è positivo verso destra. Quindi, indica che x = 2 è il minimo locale.

Pertanto, il massimo locale è -1 e il minimo locale è 2.

Esempio 2: analizzare i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 utilizzando il test della derivata seconda.

Soluzione:

La funzione data è f(x) = -x³+6x²-12x +10

La derivata prima della funzione è f'(x) = -x³+6x²-12x +10, servirà per scoprire i punti critici.

Per trovare il punto critico, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+12x-12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Quindi i punti critici sono x = 1 e x = 3

Ora prendi una derivata seconda della funzione,

f(x) = 6x – 12

Valuta f(x) nel punto critico x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, e quindi x = 1 corrisponde ai massimi locali.

Valuta f(x) nel punto critico x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, e quindi x = 3 corrisponde ai minimi locali.

Ora calcoleremo i valori delle funzioni nei punti critici:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, pertanto il massimo locale è in (1, 3)

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f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, pertanto il massimo locale è in (3, 1)

Domande pratiche sui minimi e massimi locali

Q1. Trova i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 utilizzando il test della derivata seconda.

Q2. Trovare e analizzare i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = – x²+4x -5 utilizzando il test della derivata seconda.

Q3. Trova i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = x²-4x +5 utilizzando il test della derivata prima.

Q4. Trova e analizza i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = 3x²-12x +5 utilizzando il test della derivata prima.

Q5. Trova e analizza i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = x³– 6x²+9x + 15 utilizzando il test della derivata prima.

Q6. Trova e analizza i massimi e i minimi locali della funzione f(x) = 2x³-9x²+12x +5 utilizzando il test della derivata seconda.

Massimi e minimi locali – Domande frequenti

Cos'è il massimo locale?

Un punto è chiamato Massimi Locali quando la funzione raggiunge il suo valore più alto in un intervallo specifico.

Come puoi trovare il massimo locale?

Differenziando la funzione e trovando il valore critico in corrispondenza del quale la pendenza è zero, possiamo trovare il massimo locale.

Cos'è il minimo locale?

Un punto è chiamato Minimo Locale quando la funzione raggiunge il suo valore più basso in un intervallo specifico.

Quali metodi puoi utilizzare per calcolare i massimi e i minimi locali?

Test della derivata prima e test della derivata seconda.

Qual è la differenza tra il test della derivata prima e il test della derivata seconda?

Il test della derivata prima è il metodo approssimativo per calcolare il valore dei massimi lLcal e dei minimi locali, mentre il test della derivata seconda è il metodo sistematico e accurato per calcolare il valore dei massimi locali e dei minimi locali.

Qual è il significato del punto di inversione?

Se il valore di un punto all'interno dell'intervallo di una determinata funzione non mostra l'output massimo e minimo, quel punto viene chiamato punto di inversione.

A cosa servono i massimi e i minimi locali?

Per scoprire il valore estremo di una funzione all'interno di un particolare intervallo.