La formula del punto medio è ((X 1 +X 2 )/2 e 1 + e 2 )/2). Le coordinate dei due punti sono (x1, E1) e (x2, E2) rispettivamente, e il punto medio è un punto che si trova a metà strada tra questi due punti.
Punto medio è un concetto fondamentale nella geometria delle coordinate. Svolge un ruolo cruciale nel trovare il punto medio di un segmento di linea. Ci sono casi in Geometria delle Coordinate in cui dobbiamo conoscere il punto medio di due punti dati o il punto medio di un segmento di linea. In questo caso, utilizziamo la formula del punto medio poiché è un modo semplice ed efficace per calcolare il punto medio di un dato segmento di linea, indipendentemente dalla sua lunghezza o posizione sul piano delle coordinate.
Abbiamo trattato in dettaglio la formula del punto medio, con la sua derivazione utilizzando la somiglianza dei triangoli. Insieme ad esso, abbiamo curato gli esempi risolti sulla formula Mid Point.
Definizione del punto medio
Il punto che divide la linea esattamente in due metà uguali è il punto medio della linea. In altre parole, il rapporto tra entrambe le metà della linea in cui il punto medio la divide è 1:1.
Punto medio della linea
Formula del punto medio della linea
Per un segmento di linea AB in coordinate cartesiane dove la coordinata dell'asse x del punto A è x1e la coordinata dell'asse y del punto A è y1e analogamente, la coordinata dell'asse x del punto B è x2e la coordinata dell'asse y del punto B è y2,il punto medio della retta sarà dato da (xM, EM).
La formula per il punto medio (xM, EM) È:
interfaccia comparabile con Java
Formula del punto medio
Derivazione della formula del punto medio
Sia P(x1,E1) e Q(x2,E2) siano le due estremità di una data linea in un piano di coordinate, e R(x,y) sia il punto su quella linea che divide PQ nel rapporto m1:M2tale che
PR/RQ = m1/M2. . .(1)
Derivazione della formula del punto medio
Disegnando le linee PM, QN e RL perpendicolari all'asse x e passante per R, traccia una linea retta parallela all'asse x per incontrare MP in S e NQ in T.
Quindi dalla figura possiamo dire:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
RT = LN = ON – Ol = x2- X . . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2- E . . . (5)
Ora triangolo ∆ SPR è simile al triangolo ∆TQR .
Perciò,
RS/RT = PR/RQ
Utilizzando le equazioni 2, 3 e 1, sappiamo:
x-x1/ X2– x = m1/ M2
⇒ m2x – m2X1= m1X2- M1X
⇒ m1x+m2x = m1X2+ m2X1
⇒ (m1+m2)x = m1X2+ m2X1
⇒ x = (m1X2+m2X1) / (M1+m2)
Ora triangolo ∆ SPR è simile al triangolo ∆ TQR,
Perciò,
PS/TQ = PR/RQ
Utilizzando le equazioni 4, 5 e 1, sappiamo:
e e1/ E2– y = m1/ M2
⇒m2sì – m2E1= m1E2- M1E
⇒m1y+m2y = m1E2+m2E1
⇒ (m1+ m2)y = m1E2+ m2E1
⇒ y = (m1E2+m2E1) / (M1+m2)
Quindi le coordinate di R(x,y) sono:
R(x, y) = (m 1 X 2 +m 2 X 1 ) / (M 1 +m 2 ), (M 1 E 2 +m 2 E 1 ) / (M 1 +m 2 )
Dovendo calcolare il punto medio, quindi, manteniamo i valori sia di m1e m2come lo stesso, cioè
Per il punto medio conosciamo dalla definizione di punto medio, m1= m2= 1.
(x, y) = ((1.x2+ 1x1) / (1 + 1), (1.a2+ 1 anno1) / (1 + 1))
x,y = (x 2 +X 1 ) / 2 e 2 + e 1 ) / 2
Come trovare il punto medio?
Per trovare le coordinate del punto medio di un dato segmento di linea possiamo usare la formula del punto medio se vengono forniti gli estremi del segmento di linea. Considera il seguente esempio per lo stesso.
Esempio: trovare le coordinate del punto medio di un segmento di linea i cui estremi sono (5, 6) e (-3, 4).
Soluzione:
Come sappiamo, il punto medio di un segmento di linea è dato dalla formula:
Punto medio = ((x1+x2)/2 e1+y2)/2)
dove (x1, E1) e (x2, E2) sono le coordinate dei punti finali del segmento di linea.
Punto medio = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Punto medio = (2/2, 10/2)
⇒ Punto medio = (1, 5)
Pertanto, le coordinate del punto medio del segmento di linea sono (1, 5).
Formula correlata
Esistono formule simili alla formula del punto medio, che sono le seguenti:
- Formula della sezione
- Formula del centroide
Formula della sezione
Formula della sezione viene utilizzato per trovare la coordinata del punto che divide il segmento di linea specificato nel rapporto desiderato. Supponiamo che i punti finali di un segmento di linea siano A e B con coordinate (X 1 , E 1 ) E (X 2 , E 2 ) , e P il punto che divide il segmento che unisce la linea AB in m:n. Allora la coordinata di P è data da:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n), (mio 2 + il 1 )/(m+n)]
Formula del centroide
La formula del Centroide viene utilizzata per trovare il punto centrale dei poligoni e matematicamente per triangoli e quadrilateri è data come segue:
Centroide di un triangolo Formula
Le coordinate del baricentro di un triangolo con vertici (x1, E1), (X2, E2) e (x3, E3) Sono:
C(x, y) = ((x 1 +X 2 +X 3 )/3, (e 1 + e 2 + e 3 )/3)
Centroide del triangolo
Centroide di una formula quadrilatera
Le coordinate del baricentro di un quadrilatero con vertici (x1, E1), (X2, E2), (X3, E3) e (x4, E4) Sono:
C(x, y) = ((x 1 +X 2 +X 3 +X 4 )/4, (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 )/4)
Centroide del quadrilatero
Domande risolte sulla formula del punto medio
Domanda 1: Qual è il punto medio del segmento AB dove il punto A è in (6,8) e il punto B è (3,1)?
Soluzione:
Sia il punto medio M(xM, EM),
XM= (x1+X2) / 2
X1= 6,x2= 3
Quindi, xM= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
EM= (e1+ e2) / 2
E1= 8 e2= 1
Quindi, yM= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Quindi il punto medio della linea AB è (4.5, 4.5).
Domanda 2: Qual è il punto medio del segmento AB dove il punto A si trova in (-6,4) e il punto B è (4,2)?
Soluzione:
Sia il punto medio M(xM, EM),
X1= -6,x2= 4 e1= 4 e2= 2
(XM, EM) = ((x1+X2) / 2 e1+ e2) / 2)
(XM, EM) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(XM, EM) = ((-2)/2, (6)/2)
(XM, EM) = (-1, 3)
Quindi il punto medio della linea AB è (-1, 3).
Domanda 3: Trova il valore di p tale che (–2, 2,5) sia il punto medio tra (p, 2) e (–1, 3).
Soluzione:
Sia il punto medio M(xM, EM) = (-2, 2,5) dove,
X1= -1,xM= -2
La coordinata y del punto finale è già nota come 2, quindi dobbiamo trovare solo la coordinata x
XM= (x1+X2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
p = -3
Quindi l'altro punto finale della linea è (-3, 2).
Domanda 4: Se le coordinate dei punti finali di un segmento di linea sono (3, 4) e (7, 8), trova la distanza tra il punto medio del segmento di linea e il punto (3, 4).
Soluzione:
Siano A(3, 4) e B(7, 8) gli estremi del segmento dato e C sia il punto medio del segmento AB.
Quindi utilizzando la formula del punto medio,
Coordinata di C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Utilizzando la formula della distanza
Distanza = √{(x2- X1)2+ (e2- E1)2}
⇒ Distanza = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Distanza =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Distanza =√8 = 2√2
Pertanto, la distanza tra il punto medio del segmento di linea e il punto (3, 4) è 2√2.
| Devi leggere | |
|---|---|
| Formula della distanza | Geometria delle coordinate |
| Teorema di Pitagora | Piano cartesiano |
Formula del punto medio – Domande frequenti
Qual è la formula del punto medio?
Matematicamente la formula del punto medio è data come segue:
Punto medio = ((x 1 +X 2 )/2 e 1 + e 2 )/2)
Qual è il significato della formula del punto medio?
La formula del punto medio è significativa perché ci consente di trovare il punto centrale di qualsiasi segmento di linea su un sistema di coordinate cartesiane.
Quali sono le applicazioni della formula del punto medio?
Esistono molti casi d'uso della formula del punto medio poiché in geometria possiamo usarla per soluzioni e proprietà di triangoli, poligoni e altre forme, in fisica ha applicazione anche per trovare il centro di massa.
La formula del punto medio può essere utilizzata per tre o più punti?
No, la formula del punto medio non può essere utilizzata per tre punti poiché il punto medio è definito solo per due punti. Per tre punti possiamo usare la formula del baricentro se vogliamo trovare le coordinate del baricentro del triangolo formato dai tre punti indicati.
Quanti punti medi ha un segmento?
Un segmento ha un solo punto medio.