Distribuzione normale: La distribuzione normale è la forma più comune o normale di distribuzione delle variabili casuali, da qui il nome distribuzione normale. È anche chiamato Distribuzione gaussiana in Statistica o Probabilità. Usiamo questa distribuzione per rappresentare un gran numero di variabili casuali.

Impariamo a conoscere Distribuzione normale in dettaglio, inclusa la formula, le caratteristiche e gli esempi.

Tabella dei contenuti

• Cos'è la distribuzione normale?
• Esempi di distribuzione normale
• Formula di distribuzione normale
• Curva di distribuzione normale
• Deviazione standard della distribuzione normale
• Grafico della distribuzione normale
• Tabella di distribuzione normale
• Proprietà della distribuzione normale
• Distribuzione normale in statistica
• Problemi e soluzioni della distribuzione normale

Cos'è la distribuzione normale?

Definiamo la distribuzione normale come la funzione di densità di probabilità di qualsiasi variabile casuale continua per un dato sistema. Ora, per definire la distribuzione normale, supponiamo di prendere f(x) come funzione di densità di probabilità per qualsiasi variabile casuale X.

Inoltre, la funzione è integrata tra l'intervallo (x, {x + dx}) quindi,

stringa di lunghezza

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Osserviamo che la curva tracciata dai valori superiori della Distribuzione Normale ha la forma di una Campana, quindi la Distribuzione Normale è detta anche Campana curva .

Controllo: Python – Distribuzione normale in statistica

Esempi di distribuzione normale

Possiamo tracciare la distribuzione normale per vari tipi di dati che includono,

• Distribuzione dell'altezza delle persone
• Distribuzione degli errori in qualsiasi misurazione
• Distribuzione della pressione sanguigna di qualsiasi paziente, ecc.

Formula di distribuzione normale

La formula per la funzione di densità di probabilità della distribuzione normale (distribuzione gaussiana) viene aggiunta di seguito,

Dove,

• x è Variabile casuale
• μ è Significare
• σ è Deviazione standard

Curva di distribuzione normale

In qualsiasi Distribuzione normale, le variabili casuali sono quelle variabili che assumono valori sconosciuti legati alla distribuzione e sono generalmente delimitate da un intervallo.

Un esempio di variabile casuale è, supponiamo, di prendere a distribuzione dell'altezza degli studenti in una classe, la variabile casuale può assumere qualsiasi valore in questa caso ma è vincolato da un confine compreso tra 2 piedi e 6 piedi, poiché generalmente è forzato fisicamente.

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• Gamma di qualsiasi la distribuzione normale può essere infinita in questo caso diciamo che la distribuzione normale non è disturbata dal suo intervallo. In questo caso, l'intervallo viene esteso da –∞ a + ∞.
• La Bell Curve esiste ancora, in questo caso tutte le variabili in quell'intervallo sono chiamate variabili continue e la loro distribuzione è detta Distribuzione Normale in quanto tutti i valori sono generalmente chiusi allineati al valore medio.
• IL grafico o la curva dello stesso è chiamata curva di distribuzione normale o grafico di distribuzione normale.

Deviazione standard della distribuzione normale

Sappiamo che la media di qualsiasi dato distribuito come grafico ci aiuta a trovare la linea di simmetria del grafico, mentre la deviazione standard ci dice quanto sono distanti i dati dal valore medio su entrambi i lati. Per valori più piccoli della deviazione standard, i valori nel grafico si avvicinano e il grafico si restringe. Mentre per valori più alti della deviazione standard i valori nel grafico si disperdono maggiormente e il grafico diventa più ampio.

Regola empirica della deviazione standard

Generalmente, la distribuzione normale ha una deviazione standard positiva e la deviazione standard divide l'area della curva normale in parti più piccole e ciascuna parte definisce la percentuale di dati che rientra in una regione specifica. Questa è chiamata regola empirica della deviazione standard nella distribuzione normale .

La regola empirica afferma che,

• Il 68% dei dati rientra approssimativamente in una deviazione standard della media, ovvero rientra tra { Media: una deviazione standard e media + una deviazione standard }
• Il 95% dei dati rientra approssimativamente entro due deviazioni standard della media, ovvero rientra tra { Media – Due deviazioni standard e Media + due deviazioni standard }
• Il 99,7% dei dati rientra approssimativamente in un terzo di deviazione standard della media, ovvero rientra tra { Media – Terza deviazione standard e Media + terza deviazione standard }

Grafico della distribuzione normale

Studiando Dal grafico è chiaro che utilizzando la regola empirica distribuiamo i dati sostanzialmente in tre parti. E quindi la regola empirica è anche chiamata regola 68 – 95 – 99,7.

Controllo: Matematica | Set di distribuzioni di probabilità 3 (distribuzione normale)

Tabella di distribuzione normale

La tabella della distribuzione normale, chiamata anche tabella Z della distribuzione normale, è la tabella del valore z per la distribuzione normale. Questa tabella Z della distribuzione normale è data come segue:

Proprietà della distribuzione normale

Alcune proprietà importanti della distribuzione normale sono,

imbottitura np

• Per la distribuzione normale dei dati, media, mediana e moda sono uguali (vale a dire, Media = Mediana = Moda).
• L'area totale sotto la curva di distribuzione normale è uguale a 1.
• La curva normalmente distribuita è simmetrica al centro lungo la media.
• In una curva distribuita normalmente, c'è esattamente metà valore a destra del valore centrale ed esattamente metà valore a destra del valore centrale.
• La distribuzione normale è definita utilizzando i valori della media e della deviazione standard.

• La curva di distribuzione normale è una curva unimodale, ovvero una curva con un solo picco

Le persone visualizzano anche:

• Distribuzione di Poisson
• Distribuzione binomiale
• Distribuzione di probabilità

Distribuzione normale in statistica

• Distribuzione normale, detta anche distribuzione gaussiana , è un curva a campana che descrive un gran numero di fenomeni del mondo reale . È uno dei concetti più importanti in statistica perché compare in molte aree di studio.
• Curva a campana : Immagina una campana simmetrica in cui il centro è il punto più alto e le code si assottigliano su entrambi i lati. Questa è la forma base di una distribuzione normale. La maggior parte dei punti dati si raggruppa attorno al centro e, man mano che ci si allontana dal centro, i punti dati diventano meno frequenti.
• Tendenza centrale: il centro della curva a campana rappresenta la tendenza centrale dei dati, il che significa che mostra dove si concentra la maggior parte dei valori. Potrebbe trattarsi della media, della mediana o della moda, a seconda del set di dati specifico.
• Diffusione dei dati: La larghezza della curva a campana indica quanto sono sparsi i dati: una curva più ampia significa che i punti dati sono più dispersi, mentre una curva più stretta indica che i punti dati sono più vicini tra loro.
• Variabili casuali: la distribuzione normale viene generalmente utilizzata con variabili casuali continue, che possono assumere qualsiasi valore entro un intervallo specifico. Gli esempi includono altezze, pesi, punteggi del QI o voti degli esami.

Controllo : Distribuzione normale nelle statistiche aziendali

Problemi e soluzioni della distribuzione normale

Risolviamo alcuni problemi sulla distribuzione normale

Esempio 1: Trova la funzione di densità di probabilità della distribuzione normale dei seguenti dati. x = 2, μ = 3 e σ = 4.

Soluzione:

Dato,

• Variabile (x) = 2
• Media = 3
• Deviazione standard = 4

Utilizzando la formula della densità di probabilità della distribuzione normale

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Semplificando,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Esempio 2: se il valore della variabile casuale è 4, la media è 4 e la deviazione standard è 3, trova la funzione di densità di probabilità della distribuzione gaussiana.

Soluzione:

Dato,

• Variabile (x) = 4
• Media = 4
• Deviazione standard = 3

Utilizzando la formula della densità di probabilità della distribuzione normale

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

xor in C++

Semplificando,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Conclusione: distribuzione normale

La distribuzione normale, conosciuta anche come distribuzione gaussiana, è un concetto fondamentale nella statistica e nella teoria della probabilità. È caratterizzato dalla sua curva a campana, simmetrica e centrata attorno alla media. Le proprietà della distribuzione normale, come la media e la deviazione standard, svolgono un ruolo cruciale in molte analisi e applicazioni statistiche. Le distribuzioni normali sono ampiamente utilizzate in campi quali la finanza, l'ingegneria, le scienze naturali e le scienze sociali per modellare e analizzare un'ampia gamma di fenomeni. Comprendere la distribuzione normale consente una migliore interpretazione dei dati, una stima delle probabilità e un processo decisionale informato basato sull'inferenza statistica.

Domande frequenti sulla distribuzione normale

Cos'è la distribuzione normale?

In statistica, la distribuzione normale è una distribuzione di probabilità simmetrica rispetto alla media, che mostra che i dati vicini alla media sono più frequenti rispetto ai dati lontani dalla media.

Perché la distribuzione normale è chiamata normale?

La distribuzione normale detta anche distribuzione gaussiana è chiamata normale perché è dimostrato che vari processi naturali seguono normalmente la distribuzione gaussiana e da qui il nome distribuzione normale.

Cos'è il grafico della distribuzione normale?

Un grafico di distribuzione normale, noto anche come distribuzione gaussiana o curva a campana, è un tipo specifico di distribuzione di probabilità. È caratterizzato dalla sua curva simmetrica a forma di campana quando tracciata su un grafico.

Cos'è la tabella Z della distribuzione normale?

La tabella Z, nota anche come tabella della distribuzione normale standard o tabella del punteggio Z, è una tabella di riferimento utilizzata nelle statistiche per trovare le probabilità associate a valori specifici in una distribuzione normale standard.

Quali sono le caratteristiche della distribuzione normale?

Le proprietà della distribuzione normale sono,

• La curva di distribuzione normale è simmetrica rispetto alla media.
• La distribuzione normale è di natura unimodale, ovvero ha un singolo valore di picco.
• La curva di distribuzione normale è sempre a campana.
• Media, moda e mediana per la distribuzione normale è sempre lo stesso.
• La distribuzione normale segue la regola empirica.

Qual è la media della distribuzione normale?

La media (indicata come μ) rappresenta il valore centrale o medio dei dati. È anche il punto attorno al quale i dati sono distribuiti simmetricamente.

Cos'è la deviazione standard della distribuzione normale?

La deviazione standard (indicata come σ) misura la diffusione o la dispersione dei punti dati nella distribuzione. Un σ più piccolo indica che i punti dati sono strettamente raggruppati attorno alla media, mentre un σ più grande indica una maggiore diffusione.

Cos'è la regola empirica (regola 68-95-99.7)?

Regola empirica per stati di distribuzione normale,

dimensioni del testo in lattice

• Circa il 68% dei dati rientra in una deviazione standard della media.
• Circa il 95% rientra entro due deviazioni standard dalla media.
• Circa il 99,7% rientra entro tre deviazioni standard dalla media.

Quali sono gli usi della distribuzione normale?

Vari usi della distribuzione normale sono,

• Per studiare vari fenomeni naturali
• Per lo studio dei dati finanziari.
• Nelle scienze sociali per studiare e prevedere vari parametri, ecc.

Quali sono i limiti della distribuzione normale?

La distribuzione normale è un concetto statico estremamente importante, ma anche esso presenta alcune limitazioni come,

• Varie distribuzioni di dati non seguono la distribuzione normale e quindi non è in grado di commentare questi dati.
• Fare troppo affidamento sulla distribuzione normale o sulla curva a campana non è un buon modo per prevedere i dati poiché non sono accurati al 100%, ecc.