La logica proposizionale è una branca della matematica che studia le relazioni logiche tra proposizioni (o affermazioni, frasi, asserzioni) prese nel loro insieme e collegate tramite connettivi logici.

In questo articolo, abbiamo trattato in dettaglio la logica proposizionale e gli argomenti correlati.

Tabella dei contenuti

• Cos'è la logica?
• Proposizione logica
• Tavola della verità
• 1. Negazione
• 2. Congiunzione
• 3. Disgiunzione
• 4. Esclusivo o
• 5. Implicazioni
• 6. Implicazione bicondizionale o doppia

Cos'è la logica?

La logica è la base di tutto il ragionamento matematico e di tutto il ragionamento automatizzato. Le regole della logica specificano il significato delle affermazioni matematiche. Queste regole ci aiutano a comprendere e ragionare con affermazioni come:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Che in inglese semplice significa Esiste un numero intero che non è la somma di due quadrati .

Importanza della logica matematica

Le regole della logica danno un significato preciso alle affermazioni matematiche. Queste regole vengono utilizzate per distinguere tra argomenti matematici validi e non validi. A parte la sua importanza nella comprensione del ragionamento matematico, la logica ha numerose applicazioni nell'informatica, che vanno dalla progettazione di circuiti digitali alla costruzione di programmi per computer e alla verifica della correttezza dei programmi.

Proposizione logica

Cos'è una proposta? Una proposizione è l’elemento fondamentale della logica. È definita come una frase dichiarativa che è vera o falsa, ma non entrambe. IL Valore di verità di una proposizione è Vero (indicato come T) se è un'affermazione vera e Falso (indicato come F) se è un'affermazione falsa. Per esempio,

1. Il sole sorge a est e tramonta a ovest.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' è una vocale.

Tutte le frasi precedenti sono proposizioni, dove le prime due sono Valide (Vero) e la terza è Non Valida (Falso). Alcuni enunciati che non hanno valore di verità o che possono avere più di un valore di verità non sono proposizioni. Per esempio,

1. Che ore sono?
2. Esci e gioca
3. x + 1 = 2

Le frasi di cui sopra non sono proposizioni in quanto le prime due non hanno valore di verità, e la terza può essere vera o falsa. Per rappresentare proposizioni, variabili proposizionali sono usati. Per convenzione, queste variabili sono rappresentate da piccoli alfabeti comep,:q,:r,:s . L'area della logica che si occupa delle proposizioni è chiamata calcolo proposizionale O proposizione logica . Comprende anche la produzione di nuove proposte utilizzando quelle esistenti. Vengono chiamate proposizioni costruite utilizzando una o più proposizioni proposizioni composte . Le proposizioni sono combinate insieme utilizzando Connettivi logici O Operatori logici .

Proposizione logica

Java aggiunge stringa

Tavola della verità

Poiché abbiamo bisogno di conoscere il valore di verità di una proposizione in tutti gli scenari possibili, consideriamo tutte le possibili combinazioni delle proposizioni che sono unite insieme da connettivi logici per formare la proposizione composta data. Questa raccolta di tutti i possibili scenari in formato tabellare è chiamata a tavola di verità . Connettivi logici più comuni-

1. Negazione

Sep è una proposizione, quindi la negazione dip è indicato con eg p , che tradotto in inglese semplice significa: Non è così P o semplicemente no P . Il valore di verità di -P è l'opposto del valore di verità di P . La tavola della verità di -P È:

Esempio, Negazione di Oggi piove, non è vero che oggi piove o semplicemente oggi non piove.

2. Congiunzione

Per due proposizioni qualsiasip Eq , la loro congiunzione è indicata conpwedge q , che significap Eq . La congiunzionepwedge q è vero quando entrambip Eq sono Veri, altrimenti Falsi. La tavola della verità dipwedge q È:

Esempio, Congiunzione delle proposizionip – Oggi è venerdì eq - Oggista piovendo,pwedge q è Oggi è venerdì e oggi piove. Questa proposizione è vera solo nei venerdì piovosi ed è falsa in qualsiasi altro giorno piovoso o nei venerdì quando non piove.

3. Disgiunzione

Per due proposizioni qualsiasip Eq , la loro disgiunzione è indicata conpvee q , che significap Oq . La disgiunzionepvee q è Vero quando uno dei duep Oq è Vero, altrimenti Falso. La tavola della verità dipvee q È:

Esempio, Disgiunzione delle proposizionip – Oggi è venerdì eq - Oggista piovendo,pvee q è Oggi è venerdì oppure oggi piove. Questa proposizione è vera in ogni giorno che sia venerdì o piovoso (compresi i venerdì piovosi) ed è falsa in qualsiasi giorno diverso dal venerdì quando non piove.

4. Esclusivo o

Per due proposizioni qualsiasip Eq , il loro esclusivo o è indicato dapoplus q , il che significa op Oq ma non entrambi. L'esclusivo opoplus q è Vero quando uno dei duep Oq è Vero e Falso quando entrambi sono veri o entrambi sono falsi. La tavola della verità dipoplus q È:

Esempio, Esclusivo o delle proposizionip – Oggi è venerdì eq - Oggista piovendo,poplus q è O oggi è venerdì oppure oggi piove, ma non entrambe le cose. Questa proposizione è vera in ogni giorno che sia venerdì o piovoso (esclusi i venerdì piovosi) ed è falsa in qualsiasi giorno diverso dal venerdì quando non piove o quando piove venerdì.

5. Implicazioni

Per due proposizioni qualsiasip Eq , l'affermazione sep Poiq è chiamata implicazione ed è denotata dap ightarrow q . Nell'implicazionep ightarrow q ,p è chiamato il ipotesi O antecedente O premessa Eq è chiamato il conclusione O conseguenza . L'implicazione èp ightarrow q è anche chiamato a dichiarazione condizionale . L'implicazione è falsa quandop è vero eq è falso altrimenti è vero. La tavola della verità dip ightarrow q È:

Ci si potrebbe chiedere perché è cosìp ightarrow q vero quandop è falso. Questo perché l'implicazione garantisce che quandop Eq sono vere, allora l’implicazione è vera. Ma l'implicazione non garantisce nulla quando si tratta della premessap è falso. Da allora non c'è modo di sapere se l'implicazione sia falsa o menop Non è successo. Questa situazione è simile alla posizione di Innocenza fino a prova contraria, il che significa che l'implicazionep ightarrow q è considerato vero fino a prova contraria. Dal momento che non possiamo chiamare l'implicazionep ightarrow q falso quandop è falso, la nostra unica alternativa è chiamarlo vero.

Ciò segue dal Principio di esplosione che dice: Un'affermazione falsa implica qualsiasi cosa Le affermazioni condizionali svolgono un ruolo molto importante nel ragionamento matematico, quindi viene utilizzata una varietà di terminologia per esprimerep ightarrow q , alcuni dei quali sono elencati di seguito.

input dell'utente Java

Se p, allora qp è sufficiente per qq quando pa condizione necessaria per p è qp solo se qq a meno che ≠pq non segua da p

Esempio, Se è venerdì, allora oggi piove è una proposta che rientra nella formap ightarrow q . La proposizione precedente è vera se non è venerdì (la premessa è falsa) o se è venerdì e piove, ed è falsa quando è venerdì ma non piove.

6. Implicazione bicondizionale o doppia

Per due proposizioni qualsiasip Eq , la dichiarazionep se e solo se(iff)q si chiama bicondizionale e si denota conpleftrightarrow q . La dichiarazionepleftrightarrow q è anche chiamato a bi-implicazione .pleftrightarrow q ha lo stesso valore di verità di(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) L'implicazione è vera quandop Eq hanno gli stessi valori di verità, altrimenti è falso. La tavola della verità dipleftrightarrow q È:

Alcuni altri modi comuni di esprimersipleftrightarrow q Sono:

p è necessario e sufficiente per qse p allora q, e viceversap se q

Esempio: oggi piove se e solo se oggi è venerdì. è una proposizione che ha la formapleftrightarrow q . La proposizione di cui sopra è vera se non è venerdì e non piove o se è venerdì e sta piovendo, ed è falsa quando non è venerdì o non piove. Esercizio:

tipi di dati successivi

1) Considera le seguenti affermazioni:

• P: I buoni cellulari non sono economici.
• D: I cellulari economici non vanno bene.
• L: P implica Q
• M: Q implica P
• N: P è equivalente a Q

Quale delle seguenti affermazioni su L, M e N è CORRETTA?(Gate 2014)

(UN) Solo L è VERO.

(B) Solo M è VERO.

(C) Solo N è VERO.

(D) L, M e N sono VERI.

Per la soluzione, vedere CANCELLO | GATE-CS-2014-(Set-3) | Domanda 11

2) Quale dei seguenti non è equivalente a p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Per la soluzione, vedere CANCELLO | GATE-CS-2015 (Set 1) | Domanda 65