Rango di una matrice è definita come la dimensione dello spazio vettoriale formato dalle sue colonne. Rango di una matrice è un concetto molto importante nel campo dell'Algebra Lineare, poiché ci aiuta a sapere se possiamo trovare una soluzione al sistema di equazioni oppure no. Il rango di una matrice ci aiuta anche a conoscere la dimensionalità del suo spazio vettoriale.

Questo articolo esplora in dettaglio il concetto di rango di una matrice, compresa la sua definizione, come calcolare il rango della matrice, nonché la nullità e la sua relazione con il rango. Impareremo anche a risolvere alcuni problemi basati sul rango di una matrice. Allora cominciamo prima con la definizione del rango della matrice.

Tabella dei contenuti

• Cos'è il rango di Matrix?
• Come calcolare il rango di una matrice?
• Proprietà del rango di matrice
• Esempi di rango di una matrice
• Domande frequenti

Cos'è il rango di Matrix?

Il rango di una matrice è un concetto fondamentale dell'algebra lineare, che misura il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti in qualsiasi matrice. In altre parole, indica quante righe o colonne di una matrice non sono utili e contribuiscono all'informazione complessiva o alla dimensionalità della matrice. Definiamo il rango di una matrice.

Rango di una definizione di matrice

Il rango di una matrice è definito come il numero di righe linearmente indipendenti in a matrice .

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Si denota utilizzando ρ(A) dove A è una matrice qualsiasi. Pertanto il numero di righe di una matrice è un limite al rango della matrice, il che significa che il rango della matrice non può superare il numero totale di righe in una matrice.

Ad esempio, se una matrice è dell'ordine 3×3, il rango massimo di una matrice può essere 3.

Nota: Se una matrice ha tutte le righe con zero elementi, allora il rango della matrice si dice pari a zero.

Nullità di Matrix

In una data matrice, il numero di vettori nello spazio nullo è chiamato nullità della matrice oppure può anche essere definito come la dimensione dello spazio nullo della matrice data.

Colonne totali in una matrice = Rango + Nullità

Leggi di più su Teorema della nullità del rango .

Come calcolare il rango di una matrice?

Esistono 3 metodi che possono essere utilizzati per ottenere il rango di una determinata matrice. Questi metodi sono i seguenti:

• Metodo minore
• Utilizzando il modulo Echelon
• Utilizzando la forma normale

Discutiamo questi metodi in dettaglio.

Metodo minore

Prerequisito: Minori di Matrix

Per trovare il rango di una matrice utilizzando il metodo minore, si seguono i seguenti passaggi:

• Calcolare il determinante della matrice (diciamo A). Se det(A) ≠ 0, allora rango della matrice A = ordine della matrice A.
• Se det(A) = 0, allora il rango della matrice è pari all'ordine del massimo minore possibile diverso da zero della matrice.

Cerchiamo di capire come trovare il rango di una matrice utilizzando il metodo minore.

Esempio: trovare il rango della matrice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} utilizzando il metodo minore.

DatoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Passaggio 1: Calcola il determinante di A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Poiché det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordine di A = 3

Utilizzando il modulo Echelon

Il metodo minore diventa molto noioso se l'ordine della matrice è molto grande. Quindi, in questo caso, convertiamo la matrice nella forma Echelon. Una matrice che è dentro forma triangolare superiore o forma triangolare inferiore è considerato in forma Echelon. Una matrice può essere convertita nella sua forma Echelon utilizzando operazioni elementari sulle righe . Vengono seguiti i seguenti passaggi per calcolare il rango di una matrice utilizzando la forma Echelon:

• Converti la matrice data nella sua forma Echelon.
• Il numero di righe diverse da zero ottenute nella forma Echelon della matrice è il rango della matrice.

Cerchiamo di capire come trovare il rango di una matrice utilizzando il metodo minore.

Esempio: trovare il rango della matrice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} utilizzando il metodo del modulo Echelon.

DatoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Passaggio 1: convertire A in forma scaglione

Applicare R₂=R₂– 4R₁

Applicare R₃=R₃–7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Applicare R₃=R₃–2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Poiché la matrice A è ora in forma triangolare inferiore, è in forma Echelon.

• Passo 2: Numero di righe diverse da zero in A = 2. Quindi ρ(A) = 2

Utilizzando la forma normale

Una matrice si dice in forma normale se può essere ridotta alla forma normale egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Qui io_Rrappresenta la matrice identità di ordine r. Se una matrice può essere convertita nella sua forma normale, il suo rango si dice r.

Cerchiamo di capire come trovare il rango di una matrice utilizzando il metodo minore.

Esempio: trovare il rango della matrice old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} utilizzando il metodo della forma normale.

DatoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Applicare R₂=R₂- R₁, R₃=R₃–2R₁e R₄=R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Applicare R₁=R₁–2R₂e R₄=R₄- R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

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Applicare R₁=R₁+R₃e R₂=R₂- R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicare C₄→C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Quindi A può essere scritto come egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Pertanto, ρ(A) = 3

Proprietà del rango di matrice

Le proprietà del rango della matrice sono le seguenti:

• Il rango di una matrice è uguale all'ordine della matrice se è una matrice non singolare.
• Il rango di una matrice è uguale al numero di righe diverse da zero se è in forma Echelon.
• Il rango della matrice è uguale all'ordine della matrice identità in essa contenuta se è in forma normale.
• Rango della matrice
• Rango della matrice
• Il rango della matrice identità è uguale all'ordine della matrice identità.
• Il rango di una matrice zero o di una matrice nulla è zero.

Per saperne di più,

• Tipi di matrici
• Trasposizione di una matrice
• Inverso di Matrix

Esempi di rango di una matrice

E esempio 1: Trova il rango della matrice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} utilizzando il metodo minore.

Soluzione:

DatoA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Passaggio 1: Calcola il determinante di A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Poiché det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordine di A = 3

Esempio 2. Trova il rango della matrice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} utilizzando il metodo minore.

Soluzione:

DatoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Passaggio 1: Calcola il determinante di A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Poiché det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordine di A = 3

Esempio 3. Trova il rango della matrice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} utilizzando il metodo del modulo Echelon.

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Soluzione:

DatoA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Passaggio 1: convertire A in forma scaglione

Applicare R₂=R₂– 4R₁

Applicare R₃=R₃–7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Applicare R₃=R₃–2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Poiché la matrice A è ora in forma triangolare inferiore, è in forma Echelon.

Passo 2: Numero di righe diverse da zero in A = 2. Quindi ρ(A) = 2

Esempio 4. Trova il rango della matrice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} utilizzando il metodo del modulo Echelon.

Soluzione:

DatoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Passaggio 1: convertire A in forma scaglione

Applicare R₂=R₂– 4R₁

Applicare R₃=R₃–7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Applicare R₃=R₃–2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Poiché la matrice A è ora in forma triangolare inferiore, è in forma Echelon.

Passo 2: Numero di righe diverse da zero in A = 2. Quindi ρ(A) = 2

Esempio 5. Trova il rango della matrice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} utilizzando il metodo della forma normale.

Soluzione:

DatoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Applicare R₂=R₂- R₁, R₃=R₃–2R₁e R₄=R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Applicare R₁=R₁–2R₂e R4 = R₄- R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicare R₁=R₁+R₃e R₂=R₂- R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicare C₄→C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Applicare R₁=R₁/2, R₂=R₂/2, R₃=R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Quindi A può essere scritto comeegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Pertanto, ρ(A) = 3

Rango di una matrice – Domande frequenti

Definire il rango di una matrice.

Il rango di una matrice è definito come il numero di righe linearmente indipendenti in una matrice. Si denota utilizzando ρ(A) dove A è una matrice qualsiasi.

Come trovare il rango di una matrice?

Il rango della matrice può essere calcolato utilizzando vari metodi come:

• Metodo minore
• Utilizzando il modulo Echelon
• Utilizzando la forma normale

Qual è il rango della matrice se il determinante della matrice non è uguale a zero?

Se il determinante di una matrice è zero, allora il rango della matrice è uguale all'ordine della matrice.

Quando si dice che una Matrix è in forma Echelon?

Una matrice che è in forma triangolare superiore o triangolare inferiore si dice che sia in forma a scaglioni.

Qual è la forma normale della matrice?

Una matrice si dice in forma normale se può essere scritta come: egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} dove io_Rè la matrice identità dell'ordine 'r'.

Qual è il rango della matrice nulla?

Il rango di una matrice nulla è zero.

Qual è il rango di una matrice di identità?

Il rango di una matrice identità è uguale all'ordine della matrice.

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Qual è la relazione tra nullità e rango di una matrice?

La relazione tra nullità e rango di una matrice è:

Colonne totali in una matrice = Rango + Nullità