Formula ricorsiva: Ricorsione può essere definito da due proprietà. Un caso base e un passo di ricorsione. Il caso base è uno scenario finale che non utilizza la ricorsione per produrre risultati. Il passo di ricorsione consiste in un insieme di regole che riducono i casi successivi per inoltrare il caso base.

Una formula ricorsiva o ricorsiva è una formula utilizzata per indicarci il passaggio successivo in qualsiasi serie di ricorsione. In una serie ricorsiva, ogni termine successivo dipende da uno o due termini precedenti. In questo articolo impareremo in dettaglio formule ricorsive o formule ricorsive, esempi e altri.

Tabella dei contenuti

• Cos'è una funzione ricorsiva?
• Formula ricorsiva
• Formule ricorsive per sequenze
• Formula ricorsiva per la progressione aritmetica
• Formula ricorsiva per la progressione geometrica
• Formula ricorsiva per le serie di Fibonacci
• Sequenza e formule utili
• Esempi di utilizzo della formula ricorsiva
• Domanda pratica sulla formula ricorsiva

Cos'è una funzione ricorsiva?

Una funzione ricorsiva è una funzione che definisce ciascun termine di una sequenza utilizzando il termine precedente, ovvero il termine successivo dipende da uno o più termini precedenti noti. La funzione ricorsiva h(x) è scritta come,

h(x) = a ₀ h(0) + a ₁ h(1) + a ₂ h(2) + … + a _x-1 h(x – 1)

dove un_io≥ 0 e i = 0, 1, 2, 3, … ,(x – 1)

Le formule di ricorsione sono le formule utilizzate per scrivere le funzioni ricorsive o le serie ricorsive.

Significato della funzione ricorsiva

In matematica, una funzione ricorsiva si riferisce a una funzione che definisce ciascun termine di una sequenza utilizzando il termine o i termini precedenti. In termini più semplici, è un modo per definire una sequenza in cui ogni passaggio si basa su quello precedente.

Leggi in dettaglio: Funzioni ricorsive

Formula ricorsiva

La formula ricorsiva è una formula che definisce ciascun termine della sequenza utilizzando i termini precedenti/precedenti. Definisce i seguenti parametri

• Primo termine della sequenza
• Regola del modello per ottenere qualsiasi termine dai termini precedenti

Esistono poche formule ricorsive per trovare il n^thtermine in base al modello dei dati forniti. Sono,

• N^thtermine della progressione aritmetica a_N= un_n-1+ d per n ≥ 2
• N^thtermine di progressione geometrica a_N= un_n-1× r per n ≥ 2
• N^thtermine nella sequenza di Fibonacci a_N= un_n-1+a_n-2per n ≥ 2 e a₀= 0 e a₁= 1

Dove

• d è una differenza comune
• r è il rapporto comune

Formule ricorsive per sequenze

Le sequenze ricorsive sono le sequenze in cui il termine successivo della sequenza dipende dal termine precedente. Una delle sequenze ricorsive più importanti è la sequenza di Fibonnaci, che di seguito è rappresentata come,

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Le formule ricorsive o le formule di ricorsione per diversi tipi di sequenze sono,

Formula ricorsiva per la progressione aritmetica

Per Progressione aritmetica Poi^thil termine è dato utilizzando la formula ricorsiva come,

UN _N = un _(n-1) + d per n ≥ 2

Dove,

lancia int su string

• UN_Nè l'ennesimo termine di un A.P.
• d è la differenza comune

Formula ricorsiva per la progressione geometrica

Per Progressione geometrica Poi^thil termine è dato utilizzando la formula ricorsiva come,

UN _N = {a _(n-1) }r per n ≥ 2

Dove,

• UN_Nè poi^thtermine di un G.P.
• r è il rapporto comune

Formula ricorsiva per le serie di Fibonacci

Per Sequenza di Fibonacci Poi^thil termine è dato utilizzando la formula ricorsiva come,

UN _N = un _(n-1) +a _(n-1) per n ≥ 2

Dove,

• UN₀= 1
• UN₁= 1
• UN_Nè poi^thtermine di una sequenza di Fibonacci

Sequenza e formule utili

Alcune delle sequenze utili e le formule per il n^thi termini vengono aggiunti nella tabella seguente.

Articoli relativi alla formula ricorsiva:

• Rapporto aureo
• Progressione armonica
• Serie geometrica
• Serie aritmetiche

Esempi di utilizzo della formula ricorsiva

Esempio 1: data una serie di numeri con un numero mancante al centro 1, 11, 21, ?, 41. Usando la formula ricorsiva trova il termine mancante.

Soluzione:

Dato,

1, 11, 21, …, 41

Primo termine (a) = 1

d = T₂- T₁= t₃- T₂

d = 11 – 1 = 21 – 11 = 10

Funzione ricorsiva in AP a_N= un_n-1+ d

UN₄= un_4-1+ d

UN₄= un₃+ d

UN₄= 21 + 10

UN₄= 31

Esempio 2: Data la serie di numeri 5, 9, 13, 17, 21,… Dalla serie data trova la formula ricorsiva

Soluzione:

Data la serie numerica

5, 9, 13, 17, 21,…

Primo termine (a) = 5

d = T₂- T₁= t₃- T₂

d = 9 – 5 = 13 – 9 = 4

Formula ricorsiva per AP a_N= un_n-1+ d

UN _N = un _n-1 +4

Esempio 3: data una serie di numeri con un numero mancante al centro 1, 3, 9,…,81, 243. Usando la formula ricorsiva trova il termine mancante.

Soluzione:

Dato,

1, 3, 9,…, 81, 243

Primo termine (a) = 1

UN₂/UN₁= 3/1 = 3

UN₃/UN₂= 9/3 = 3

UN₅/UN₄= 243/81 = 3

Rapporto comune (r) = 3

Funzione ricorsiva per trovare n^thtermine in GP UN _N = un _n-1 ×r

UN₄= un_4-1×r

UN₄= un₃×r

UN₄= 9×3

UN ₄ = 27

Esempio 4: Data serie di numeri 2, 4, 8, 16, 32, … Dalla serie data trova la formula ricorsiva.

Soluzione:

Data la serie di numeri,

struttura nella struttura dei dati

2, 4, 8, 16, 32, …

Primo termine (a) = 2

UN₂/UN₁= 4/2 = 2

UN₃/UN₂= 8/4 = 2

UN₄/UN₃= 16/8 = 2

Rapporto comune (r) = 2

Formula ricorsiva a_N= un_n-1×r

UN _N = un _n-1 ×2

Esempio 5: Trova il 5 ^th termine in una serie di Fibonacci se 3 ^rd e 4 ^th i termini sono 2,3 rispettivamente.

Soluzione:

Dato,

• UN₃= 2
• UN₄= 4

Poi nella sequenza di Fibonnaci, a₅= un₃+a₄

UN₅= 23

UN ₅ = 5

Domanda pratica sulla formula ricorsiva

Q1: Trova la formula ricorsiva per la sequenza, 3,7, 11, 15….

Q2: Trova il termine medio della sequenza, 4, 9, 14, …. 39, 44

Q3: Trova la formula ricorsiva per la sequenza 44, 40, 36, …..

Q4: Trova il termine medio della sequenza 6, 9, 12, …. 33

Riepilogo – Formula ricorsiva

Una formula ricorsiva in matematica è come una serie di istruzioni che ti dicono come trovare il termine successivo in una sequenza basata sui termini precedenti. È come uno schema in cui ogni passaggio dipende da quello precedente. Ad esempio, nella sequenza di Fibonacci ogni termine è la somma dei due termini precedenti. Le formule ricorsive sono utili per capire sequenze in cui ogni termine si basa su quelli precedenti. Sono come una ricetta per trovare il numero successivo in fila

Domande frequenti sulla formula ricorsiva

Cos'è la formula ricorsiva in matematica?

La formula ricorsiva, chiamata anche formula ricorsiva, è una formula che fornisce il termine successivo di qualsiasi sequenza in base ai termini precedenti della sequenza.

Qual è la regola ricorsiva per la serie di Fibonacci?

La formula ricorsiva per la serie di Fibonacci è F_N= F_(n-1)+F_(n-2), dove n> 1.

Qual è la differenza tra formule ricorsive ed esplicite?

La formula ricorsiva è una formula che viene utilizzata per trovare l'ennesimo termine di una serie quando vengono forniti i termini precedenti della sequenza, mentre le formule esplicite forniscono l'ennesimo termine della sequenza e non dipendono dai termini precedenti della sequenza.

Qual è la formula ricorsiva per 9, 15, 21, 27?

La formula ricorsiva per la sequenza 9, 15, 21 e 27 è, UN _N = un _n-1 +6.

Quali sono alcune formule di ricorsione?

Alcune famose formule di Recusrion sono,

• La formula ricorsiva di una sequenza aritmetica è: a_N= un_n-1+ d
• La formula ricorsiva di una sequenza geometrica è a_N= (a_n-1)R