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Prima di discutere il criterio di Routh-Hurwitz, studieremo innanzitutto il sistema stabile, instabile e marginalmente stabile.

Sistema stabile: Se tutte le radici dell'equazione caratteristica giacciono su Sinistra metà del piano 'S' allora il sistema è detto stabile.Sistema marginalmente stabile: Se tutte le radici del sistema giacciono sull'asse immaginario del piano 'S' allora il sistema si dice che sia marginalmente stabile.Sistema instabile: Se tutte le radici del sistema giacciono su Giusto metà del piano 'S', si dice che il sistema sia un sistema instabile.

Dichiarazione del criterio di Routh-Hurwitz

Il criterio di Routh Hurwitz afferma che qualsiasi sistema può essere stabile se e solo se tutte le radici della prima colonna hanno lo stesso segno e se non ha lo stesso segno o c'è un cambio di segno allora il numero di segni cambia nella prima colonna è uguale al numero di radici dell'equazione caratteristica nella metà destra del piano s, cioè è uguale al numero di radici con parti reali positive.

Condizioni necessarie ma non sufficienti per la stabilità

Dobbiamo seguire alcune condizioni per rendere stabile qualsiasi sistema, oppure possiamo dire che ci sono alcune condizioni necessarie per rendere stabile il sistema.

Consideriamo un sistema con equazione caratteristica:

1. Tutti i coefficienti dell'equazione dovrebbero avere lo stesso segno.
2. Non dovrebbe mancare alcun termine.

Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno e non mancano termini, non abbiamo alcuna garanzia che il sistema sia stabile. Per questo usiamo Criterio di Routh Hurwitz per verificare la stabilità del sistema. Se le condizioni sopra indicate non sono soddisfatte, il sistema si dice instabile. Questo criterio è dato da A. Hurwitz e E.J. Routh.

Vantaggi del criterio di Routh-Hurwitz

1. Possiamo trovare la stabilità del sistema senza risolvere l'equazione.
2. Possiamo facilmente determinare la stabilità relativa del sistema.
3. Con questo metodo, possiamo determinare l'intervallo di K per la stabilità.
4. Con questo metodo possiamo anche determinare il punto di intersezione del luogo delle radici con un asse immaginario.

Limitazioni del criterio di Routh-Hurwitz

1. Questo criterio è applicabile solo per un sistema lineare.
2. Non fornisce la posizione esatta dei poli sulla metà destra e sinistra del piano S.
3. Nel caso dell'equazione caratteristica, essa è valida solo per i coefficienti reali.

Il criterio di Routh-Hurwitz

Consideriamo il seguente polinomio caratteristico

Quando i coefficienti a0, a1, ......................an hanno tutti lo stesso segno e nessuno è zero.

Passo 1 : Disporre tutti i coefficienti dell'equazione precedente su due righe:

Passo 2 : Da queste due righe formeremo la terza riga:

Passaggio 3 : Ora formeremo la quarta riga utilizzando la seconda e la terza riga:

Passaggio 4 : Continueremo questa procedura per formare nuove righe:

Esempio

Verificare la stabilità del sistema la cui equazione caratteristica è data da

s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0 

Soluzione

Ottenere la freccia dei coefficienti come segue

Poiché tutti i coefficienti nella prima colonna hanno lo stesso segno, cioè positivi, l'equazione data non ha radici con parti reali positive; pertanto, il sistema si dice stabile.