Equazione cubica è un'equazione matematica in cui un polinomio di grado 3 è equiparato a una costante o a un altro polinomio di grado massimo 2. La rappresentazione standard dell'equazione cubica è ascia ³ +bx ² +cx+d = 0 dove a, b, c e d sono numeri reali. Alcuni esempi di equazione cubica sono X ³ – 4x ² + 15x – 9 = 0, 2x ³ – 4x ² = 0 eccetera.

Tabella dei contenuti

• Definizione polinomiale
• Grado di equazione
• Definizione di equazione cubica
• Come risolvere le equazioni cubiche?
• Risoluzione di equazioni cubiche
• Risolvere un'equazione cubica utilizzando i fattori
• Risoluzione di equazioni cubiche utilizzando il metodo grafico
• Problemi basati sulla risoluzione di equazioni cubiche
• Problemi pratici sulla risoluzione delle equazioni cubiche

Per imparare a risolvere le equazioni cubiche dobbiamo prima conoscere i polinomi, il grado del polinomio e altri. In questo articolo impareremo i polinomi, le equazioni polinomiali, la risoluzione delle equazioni cubiche o come risolvere le equazioni cubiche e altri in dettaglio.

Definizione polinomiale

Il polinomio è definito come segue,

UN polinomio è un'espressione algebrica in cui la potenza di una variabile è un numero intero non negativo. La forma generale di un polinomio è a₀X^N+a₁X^n-1+a₂X^n-2+… + a_N. A seconda della potenza massima della variabile, un polinomio può essere classificato come monomio, binomio, trinomio e così via.

Cos'è un'equazione?

Un'equazione è definita come segue,

Un'equazione è un polinomio equiparato a un valore numerico o a qualsiasi altro polinomio. Ad esempio, x + 2 è un polinomio ma x + 2 = 5 è un'equazione. Allo stesso modo, anche 2x + 3 = x + 1 è un'equazione mentre 2x + 3 e x + 1 sono polinomi individualmente.

Grado di equazione

La definizione del Grado di Equazione è riportata di seguito:

Grado di un'equazione è definita come la potenza massima posseduta dalla variabile in un'equazione.

In base al grado dell'Equazione, un'Equazione può essere classificata come segue:

• Equazione lineare
• Equazione quadrata
• Equazione cubica
• Equazione biquadratica

Equazione lineare

L'equazione in cui la potenza massima della variabile è 1 è chiamata equazione lineare.

• Ad esempio 3x +1 = 0

Polinomio quadratico

L'equazione in cui la potenza massima della variabile è 2 è un'equazione quadratica.

• Ad esempio 3x²+x+1 = 0

Equazione cubica

L'equazione in cui la potenza massima della variabile è 3 è chiamata equazione cubica.

• Ad esempio 5x³+3x²+x+1 = 0

Polinomio biquadratico

L'equazione in cui la potenza massima della variabile è 4 è chiamata polinomio biquadratico o polinomio quartico.

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• Ad esempio 5x⁴+4x³+3x²+2x+1 = 0

Definizione di equazione cubica

Equazione cubica è un'equazione algebrica in cui il grado più alto del polinomio è 3. Alcuni esempi di equazioni cubiche sono 5x³+3x²+x+1 = 0, 2x³+8 = x ⇒ 2x³-x+8 = 0, ecc.

La forma generale di un'equazione cubica è:

ascia ³ +bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

Dove,

• un, b, E C sono i coefficienti della variabile e i loro esponenti e D è la costante e
• a, b, c E D sono numeri reali.

Come risolvere le equazioni cubiche?

Un'equazione cubica è un'equazione di grado tre. Ha tre soluzioni e può essere risolto facilmente seguendo i passaggi aggiunti di seguito,

Passo 1: Trova una soluzione all'equazione cubica con il metodo 'prova e prova'. Supponiamo di avere un'equazione cubica P(x), quindi trovare per ogni x = a, P(a) = 0 prendendo x = 0, ±1, ±2, ±3, … e così.

Passo 2: Quando otteniamo P(a) = 0, troviamo il fattore (x – a) di P(x)

Passaggio 3: Dividi P(x) per (x – a) per ottenere un'equazione quadratica, ad esempio Q(x), utilizzando la divisione polinomiale.

Passaggio 4: Fattorizzare l'equazione quadratica Q(x) per ottenere i fattori come (x – b) e (x – c).

Passaggio 5: (x – a), (x – b) e (x – c) sono i fattori di P(x) e risolvendo ciascun fattore otteniamo le radici dell'equazione come, a, b e c.

Impara di più riguardo, Polinomio di divisione

Risoluzione di equazioni cubiche

UN Equazione cubica può essere risolto con due metodi

• Riducendolo in un'equazione quadratica e quindi risolvendolo tramite la fattorizzazione o la formula quadratica
• Con metodo grafico

UN Equazione cubica ha tre radici. Queste radici possono essere reali o immaginarie. Inoltre, possono esserci radici distinte o due radici uguali e una diversa e tutte e tre le stesse radici.

Va notato che per qualsiasi equazione, incluso Equazioni cubiche , l'equazione deve sempre essere organizzata nella sua forma standard prima di risolverla.

Ad esempio, se l'equazione data è 2x²-5 = x + 4/x, allora dobbiamo riorganizzarlo nella sua forma standard, cioè 2x³-X²-5x-4 = 0. Ora possiamo risolvere l'equazione utilizzando qualsiasi metodo appropriato.

Risolvere un'equazione cubica utilizzando i fattori

La soluzione dell'equazione cubica utilizzando il teorema dei fattori è spiegata utilizzando l'esempio aggiunto di seguito,

Esempio: trova le radici dell'equazione f(x) = 3x ³ −16x ² + 23x − 6 = 0.

Soluzione:

Data l'espressione: f(x) = 3x³−16x²+ 23x − 6 = 0

Per prima cosa fattorizziamo il polinomio per ottenere le radici

Poiché la costante è -6 i possibili fattori sono 1, 2, 3, 6

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Lo sappiamo, secondo me Teorema dei fattori se f(a) = 0, allora (x-a) è un fattore di f(x)

Quindi (x – 2) e (x – 3) sono fattori di f(x). Pertanto, anche il prodotto di (x – 2) e (x – 3) sarà un fattore di f(x). Ora per trovare i fattori rimanenti usa il metodo della divisione lunga e dividi f(x) per il prodotto di (x – 2) e (x – 3)

Quindi Divisore = (x – 2)(x – 3) = (x²– 5x + 6) e Dividendo = 3x³−16x²+ 23x − 6. Ora dividi come mostrato di seguito,

Dopo la divisione otteniamo (3x- 1) come quoziente e il resto è 0. Ora come da Algoritmo di divisione lo sappiamo Dividendo = Divisore×Quoziente+Resto.

⇒ f(x) = (3x³−16x²+ 23x − 6) = (x²– 5x + 6)(3x-1)

Poiché f(x) = 0

⇒ (x²– 5x + 6)(3x-1) = 0

⇒x²– 5x + 6 = 0 oppure 3x-1 = 0

Ora prenderemo 3x-1 = 0 ⇒ x = 1/3 poiché conosciamo già due radici di x²– 5x + 6 che sono 2 e 3

COSÌ,

Radici del dato Equazione cubica sono 1/3, 2 e 3.

Risoluzione di equazioni cubiche utilizzando il metodo grafico

Un'equazione cubica viene risolta graficamente quando non è possibile risolvere l'equazione data utilizzando altre tecniche. Quindi, abbiamo bisogno di un disegno accurato dell'equazione cubica data. Le radici dell'equazione sono i punti in cui il grafico incrocia l'asse X. Se l'equazione è espressa in termini di x e se l'equazione è espressa in termini di y, le radici dell'equazione sono i punti in cui il grafico taglia l'asse Y.

Il numero di soluzioni reali dell'equazione cubica è uguale al numero di volte in cui il grafico dell'equazione cubica incrocia l'asse X.

Esempio: trova le radici dell'equazione f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0, utilizzando il metodo grafico.

Soluzione:

Data l'espressione: f(x) = x³− 4x²− 9x + 36 = 0.

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Ora, sostituisci semplicemente i valori casuali di x nel grafico per la funzione data:

X	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4 Disconnettersi dall'account Google su Android	5
f(x)	-56	0	19	40	36	24	10	0	0	16

Possiamo vedere che il grafico ha tagliato l'asse X in 3 punti, quindi ci sono 3 soluzioni reali.

Dal grafico, le soluzioni sono: x = -3, x = 3 e x = 4.

Quindi, le radici dell'equazione data sono -3, 3 e 4.

Per saperne di più,

• Equazione lineare
• Risoluzione dell'equazione quadratica
• Fattorizzazione dei polinomi

Problemi basati sulla risoluzione di equazioni cubiche

Problema 1: Trova le radici di f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0.

Soluzione:

Data l'espressione: f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = 0.

Per prima cosa fattorizziamo il polinomio per ottenere le radici.

Poiché la costante è +6 i possibili fattori sono 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Quindi, secondo Teorema dei fattori (x – 1) è un fattore dell'equazione data. Ora per trovare i fattori rimanenti usa il metodo della divisione lunga.

Secondo Algoritmo di divisione possiamo scrivere,

Quindi f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = (x – 1) (x²– 3x – 6) = 0

⇒ (x – 1) = 0 oppure (x²– 3x – 6) = 0

Sappiamo che le radici di un'equazione quadratica sono assi²+ bx + c = 0 sono,

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Quindi, per (x²– 3x – 6) = 0

x = [3±√(3²– 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Quindi, le radici dell'equazione cubica data sono 1, (3+√33)/2 e (3–√33)/2.

Problema 2: Trova le radici dell'equazione f(x) = 4x ³ – 10x ² +4x = 0.

Soluzione:

Data l'espressione: f(x) = 4x³– 10x²+4x = 0

⇒x(4x²– 10x + 4) = 0

⇒x(4x²– 8x – 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 oppure 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 oppure x = 1/2 oppure x = 2

Quindi, le radici dell'equazione data sono 0, 1/2 e 2.

Problema 3: Trova le radici dell'equazione f(x) = x ³ + 3x ² +x+3 = 0.

Soluzione:

Data l'espressione: f(x) = x³+ 3x²+x+3 = 0.

⇒x²(x+3) + 1(x+3) = 0

⇒ (x+3) (x²+1) = 0

⇒ x + 3 = 0 oppure x²+1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Quindi, l'equazione data ha una radice reale, cioè -3, e due radici immaginarie, cioè ±i.

Problema 4: Trova le radici dell'equazione f(x) = x ³ – 7x ² – x + 7 = 0.

Soluzione:

Date le espressioni,

f(x) = x³– 3x²– 5x + 7 = 0

Per prima cosa fattorizziamo l'equazione f(x): x³– 3x²– 5x + 7= 0

Può essere scomposto in (x-7)(x+1)(x-1) = 0

Dopo aver fattorizzato il polinomio, possiamo trovare le radici eguagliando ciascun fattore a zero. Per esempio:

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• x – 7 = 0, quindi x = 7
• x + 1 = 0, quindi x = -1
• x – 1 = 0, quindi x = 1

Quindi le radici dell'equazione f(x): x³– 3x²– 5x + 7 = 0 sono

• x = 7
• x = -1
• x = 1

Problema 5: Trova le radici dell'equazione f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0, utilizzando il metodo grafico.

Soluzione:

Data l'espressione: f(x) = x³− 6x²+ 11x − 6 = 0.

Ora, sostituisci semplicemente i valori casuali di x nel grafico per la funzione data:

X	1 np.random.rand	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6	24

Possiamo vedere che il grafico ha tagliato l'asse X in 3 punti, quindi ci sono 3 soluzioni reali.

Dal grafico, le soluzioni sono: x = 1, x = 2 e x = 3.

Quindi, le radici dell'equazione data sono 1, 2 e 3.

Problemi pratici sulla risoluzione delle equazioni cubiche

Di seguito vengono aggiunti vari problemi pratici relativi alle equazioni cubiche. Risolvi questi problemi per comprendere appieno il concetto di Come risolvere l'equazione cubica?

P1. Risolvi l'equazione cubica, 3x³+ 2x²– 11x + 7 = 0.

P2. Trova le radici dell'equazione cubica, 4x³– 12x²+17 = 0.

P3. Risolvi l'equazione cubica, x³+4x²– x + 3 = 0 utilizzando il metodo grafico.

P4. Trova il numero che soddisfa, -9x³+11x²– 8x + 2 = 0.

Domande frequenti sulla risoluzione delle equazioni cubiche

1. Cosa sono le equazioni cubiche?

Le equazioni cubiche sono le equazioni algebriche in cui la potenza massima di una variabile è 3

2. Come si fattorizza un'equazione cubica?

Possiamo fattorizzare un'equazione cubica in due modi. Innanzitutto prendendo un'espressione lineare comune dall'equazione cubica data, avremo come prodotto un'espressione lineare e una quadratica. Questa equazione quadratica può essere ulteriormente fattorizzata per ottenere tutti i fattori. Il secondo metodo consiste nel trovare uno zero dell'equazione cubica data inserendo valori casuali. Il valore per il quale otteniamo che il valore dell'equazione sia zero sarà uno degli zeri dell'equazione cubica data. Ora usando il teorema dei fattori forma un'espressione lineare diciamo x-a e dividiamo l'equazione cubica data per questa espressione che darà un'equazione quadratica come quoziente. Questa equazione quadratica ottenuta può essere ulteriormente fattorizzata per ottenere tutti i fattori.

3. Come si risolve graficamente un'equazione cubica?

Per risolvere graficamente un'equazione cubica, inserisci valori casuali per x nell'equazione cubica data e risolvi, otterrai i valori di y. Tracciare questi valori ottenuti sul grafico. Trova le coordinate in cui il grafico interseca l'asse x. Queste coordinate sono la soluzione dell'equazione cubica.

4. Tutte le equazioni cubiche possono essere risolte esattamente?

Qualsiasi equazione che abbia potenza dispari deve avere una radice reale. Pertanto, un'equazione cubica deve avere almeno una radice reale, a differenza di un'equazione quadratica in cui entrambe le radici possono essere immaginarie quando il discriminante è inferiore a zero.

5. Un'equazione cubica può avere più soluzioni?

Sì, le equazioni cubiche possono avere più soluzioni poiché un'equazione cubica può avere fino a tre radici reali distinte.

6. Cosa intendi per Grado di un'Equazione?

Il potere massimo posseduto dalla variabile in un'equazione è chiamato grado di un polinomio.

7. Qual è la differenza tra un polinomio e un'equazione?

Il polinomio è semplicemente un'equazione algebrica in cui la potenza della variabile è un numero intero non negativo. Questo polinomio quando equiparato (=) con un valore numerico o un altro polinomio viene chiamato equazione.

8. Cos'è il Teorema dei Fattori per le equazioni cubiche?

Il Teorema dei Fattori afferma che se r è una radice (soluzione) dell'equazione cubica ax³+bx²+ cx + d = 0, allora x – r è un fattore dell'equazione.

9. Cosa succede se non riesco a trovare soluzioni esatte utilizzando le formule?

Se trovare soluzioni esatte sembra impossibile, possiamo utilizzare metodi numerici come metodi iterativi (ad esempio il metodo di Newton) per approssimare le radici dell'equazione.

Impara di più riguardo Metodo di Newton Raphson .