La forma standard di una parabola è y = ax2+ bx + c dove a, b e c sono numeri reali e a non è uguale a zero. Una parabola è definita come l'insieme di tutti i punti di un piano equidistanti da una linea fissa e da un punto fisso del piano.
In questo articolo capiremo cos'è una parabola, l'equazione standard di una parabola, esempi correlati e altri in dettaglio.
Tabella dei contenuti
- Cos'è una parabola?
- Equazione di una parabola
- Parti di una parabola
- Esempi sull'equazione di una parabola
Cos'è una parabola?
Una parabola è una sezione conica definita come l'insieme dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. Le equazioni standard per una parabola dipendono dal suo orientamento (direzione di apertura) e dalla sua posizione.
Equazione di una parabola
L'equazione della parabola può essere scritta in forma standard o in forma generale ed entrambe vengono aggiunte di seguito:
Equazioni generali di una parabola
L'equazione generale della parabola è:
y = 4a(x – h) 2 +K
(O)
x = 4a(y – k) 2 + h
Dove (h, k) è il vertice di una parabola.
Equazioni standard di una parabola
L'equazione standard di una parabola è:
y = asse 2 + bx + c
(O)
x = è 2 + di + c
dove a non può mai essere zero.
Parti di una parabola
Alcuni termini e parti importanti di una parabola sono:
- Messa a fuoco: Il fuoco è il punto fisso di una parabola.
- Direttrice: La direttrice di una parabola è la retta perpendicolare all'asse della parabola.
- Accordo focale: La corda che passa per il fuoco di una parabola, tagliando la parabola in due punti distinti, si chiama corda focale.
- Distanza focale: La distanza focale è la distanza di un punto (x1, E1) sulla parabola dal fuoco.
- Lato destro: Un latus rectum è una corda focale che passa attraverso il fuoco di una parabola ed è perpendicolare all'asse della parabola. La lunghezza del latus retto è LL’ = 4a.
- Eccentricità: Il rapporto tra la distanza di un punto dal fuoco e la sua distanza dalla direttrice è chiamato eccentricità (e). Per una parabola l'eccentricità è uguale a 1, cioè e = 1.
Una parabola ha quattro equazioni standard basate sull'orientamento della parabola e sul suo asse. Ogni parabola ha un asse trasversale diverso e un asse coniugato.
| Equazione della parabola | Parabola | Formule dei parametri di una parabola |
|---|---|---|
| E 2 = 4 assi |  Parabola orizzontale |
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| E 2 = -4asse |  Parabola orizzontale |
|
| X 2 = 4 giorni |  Parabola verticale |
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| X 2 = -4 giorni |  Parabola verticale |
|
Le seguenti sono le osservazioni fatte dalla forma standard delle equazioni di una parabola:
- Una parabola è simmetrica rispetto al suo asse. Ad esempio, sì2= 4ax è simmetrico rispetto all'asse x, mentre x2= 4ay è simmetrico rispetto all'asse y.
- Se una parabola è simmetrica rispetto all'asse x, allora la parabola si apre verso destra se il coefficiente x è positivo e verso sinistra se il coefficiente x è negativo.
- Se una parabola è simmetrica rispetto all'asse y, allora la parabola si aprirà verso l'alto se il coefficiente y è positivo e verso il basso se il coefficiente y è negativo.
Le seguenti sono le equazioni standard di una parabola quando l'asse di simmetria è parallelo all'asse x o all'asse y e il vertice non è nell'origine.
| Equazione della parabola | Parabola | Formule dei parametri di una parabola |
|---|---|---|
| (e – k)2= 4a(x – h) |  Parabola orizzontale |
|
| (e – k)2= -4a(x – h) |  Parabola orizzontale |
|
| (x-h)2= 4a(y – k) |  Parabola verticale |
|
| (x-h)2= -4a(y – k) |  Parabola verticale |
|
Equazione di derivazione della parabola
Sia P un punto della parabola le cui coordinate sono (x, y). Dalla definizione di parabola, la distanza del punto P dal fuoco (F) è uguale alla distanza dello stesso punto P dalla direttrice della parabola. Consideriamo ora un punto X sulla direttrice, le cui coordinate sono (-a, y).
Dalla definizione di eccentricità di una parabola abbiamo
e = PF/PX = 1
⇒ PF = PX
Le coordinate del fuoco sono (a, 0). Ora, utilizzando la formula della distanza delle coordinate, possiamo trovare la distanza del punto P (x, y) dal fuoco F (a, 0).
PF = √[(x – a)2+ (e – 0)2]
⇒ PF = √[(x – a)2+ e2] ------ (1)
L'equazione della direttrice è x + a = 0. Per trovare la distanza di PX, utilizziamo la formula della distanza perpendicolare.
PX = (x + a)/√[12+02]
⇒ PX = x +a —————— (2)
Sappiamo già che PF = PX. Quindi, uguagliamo le equazioni (1) e (2).
√[(x – a)2+ e2] = (x+a)
Facendo la quadratura su entrambi i lati otteniamo,
⇒ [(x – a)2+ e2] = (x+a)2
⇒x2+a2– 2assi + y2=x2+a2+ 2assi
⇒ e2– 2assi = 2assi
⇒ e2= 2ascia + 2ascia ⇒ E 2 = 4 assi
Quindi, abbiamo derivato l'equazione di una parabola. Allo stesso modo, possiamo ricavare le equazioni standard delle altre tre parabole.
- E2= -4asse
- X2= 4 giorni
- X2= -4 giorni
E 2 = 4ax, e 2 = -4ax,x 2 = 4ay e x 2 = -4 giorni sono le equazioni standard di una parabola.
Articoli relativi alla parabola:
- Equazione del cerchio
- Equazione dell'ellisse
- Equazione dell'iperbole
- Applicazioni della parabola nella vita reale
Esempi sull'equazione di una parabola
Esempio1: Trova la lunghezza del latus retto, del fuoco e del vertice, se l'equazione della parabola è y 2 = 12x.
Soluzione:
Dato,
L'equazione della parabola è y2= 12x
Confrontando l'equazione data con la forma standard y2= 4 assi
4a = 12
⇒ a = 12/4 = 3
Lo sappiamo,
Lato destro di una parabola = 4a = 4 (3) = 12
Ora, fuoco della parabola = (a, 0) = (3, 0)
Vertice della parabola data = (0, 0)
Esempio 2: Trova l'equazione della parabola che è simmetrica rispetto all'asse X e passa per il punto (-4, 5).
Soluzione:
Dato,
La parabola è simmetrica rispetto all'asse X e ha il vertice nell'origine.
Pertanto, l'equazione può essere della forma y2= 4ax o y2= -4ax, dove il segno dipende dal fatto che la parabola si apra verso sinistra o verso destra.
La parabola deve aprirsi a sinistra poiché passa attraverso (-4, 5) che si trova nel secondo quadrante.
Quindi, l'equazione sarà: y2= -4asse
Sostituendo (-4, 5) nell'equazione precedente,
⇒ (5)2= -4a(-4)
⇒ 25 = 16a
⇒ a = 25/16
Pertanto l'equazione della parabola è: y2= -4(25/16)x (o) 4y2= -25x.
Esempio 3: Trova le coordinate del fuoco, dell'asse, dell'equazione della direttrice e del latus retto della parabola x 2 = 16 anni.
Soluzione:
Dato,
L'equazione della parabola è: x2= 16 anni
Confrontando l'equazione data con la forma standard x2= 4 giorni,
4a = 16 ⇒ a = 4
Il coefficiente di y è positivo quindi la parabola si apre verso l'alto.
Inoltre, l'asse di simmetria è lungo l'asse Y positivo.
Quindi,
Il fuoco della parabola è (a, 0) = (4, 0).
L'equazione della direttrice è y = -a, cioè y = -4 oppure y + 4 = 0.
Lunghezza del retto latus = 4a = 4(4) = 16.
Esempio 4: Trova la lunghezza del latus retto, del fuoco e del vertice se l'equazione di una parabola è 2(x-2) 2 + 16 = sì.
Soluzione:
Dato,
L'equazione di una parabola è 2(x-2)2+ 16 = e
Confrontando l'equazione data con l'equazione generale di una parabola y = a(x – h)2+ k, otteniamo
un = 2
(h, k) = (2, 16)
Lo sappiamo,
Lunghezza del latus recto di una parabola = 4a
= 4(2) = 8
Ora, focus= (a, 0) = (2, 0)
Ora, vertice = (2, 16)
Esempio 5: L'equazione di una parabola è x 2 – 12x + 4y – 24 = 0, quindi trovarne il vertice, il fuoco e la direttrice.
Soluzione:
Dato,
L'equazione della parabola è x2– 12x + 4y – 24 = 0
⇒x2– 12x + 36 – 36 + 4y – 24 = 0
⇒ (x – 6)2+ 4a – 60 = 0
⇒ (x – 6)2= -4(y + 15)
L'equazione ottenuta è nella forma di (x – h)2= -4a(y – k)
-4a = -4 ⇒ a = 1
Quindi il vertice = (h, k) = (6, – 15)
Focus = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)
L'equazione della direttrice è y = k + a
⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14
⇒ y + 14 = 0
Domande frequenti sull'equazione della parabola
Come si trova l'equazione standard di una parabola?
La forma standard della parabola è y2= 4ax o x2= 4 giorni.
Qual è l'equazione normale della parabola?
Equazione della normale alla parabola y2= 4ax con pendenza m è dato come: y = mx – 2:00 – 00:00 3
Come si trova il vertice di una parabola?
Per una data parabola: y = ax2+ bx + c il suo vertice si trova con la formula x = − b/2a. Inserisci nuovamente questo valore x nell'equazione per trovare la coordinata y corrispondente.
np.concatenate