Sottoinsiemi in matematica sono un concetto fondamentale nello studio della teoria degli insiemi, simile agli insiemi. Un gruppo di elementi, oggetti o membri racchiusi tra parentesi graffe, come {x, y, z} è chiamato Impostato , dove ogni membro dell'insieme è unico. Quindi per un insieme di {x, y, z} i possibili sottoinsiemi sono {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} o { x, y, z}. Durante la definizione di un insieme, i suoi elementi potrebbero essere numeri reali, costanti, variabili o anche qualsiasi altro oggetto.
Questo articolo esplora in dettaglio il concetto di sottoinsiemi e lo rende facile da comprendere per tutti i lettori dell'articolo indipendentemente dal loro livello accademico. Tutti gli argomenti secondari, come il significato, la definizione, il simbolo, l'esempio e molti altri ancora, sono trattati nell'articolo con numerosi esempi. Quindi, iniziamo il nostro viaggio nella terra della teoria degli insiemi e comprendiamo questo concetto di sottoinsiemi.
In questo articolo abbiamo fornito informazioni dettagliate su cosa sono i sottoinsiemi in matematica, i superinsiemi in matematica, il sottoinsieme corretto e il sottoinsieme improprio con esempi e domande frequenti.
Tabella dei contenuti
- Cosa sono i sottoinsiemi in matematica?
- Esempio di sottoinsiemi
- Insieme di potenza di un insieme
- Tipi di sottoinsiemi
- Sottoinsieme proprio
- Sottoinsieme improprio
- Sottoinsiemi propri e impropri
- Sottoinsiemi vs superinsiemi
Cosa sono i sottoinsiemi in matematica?
Un insieme 'A' è un sottoinsieme dell'insieme 'B' se tutti gli elementi dell'insieme A rientrano nell'insieme B. Inoltre, un sottoinsieme può essere uguale a un insieme in un caso particolare quando tutti gli elementi di un sottoinsieme sono contenuti nell'insieme impostato.
Per comprendere meglio un sottoinsieme consideriamo che un insieme A sia una raccolta di numeri dispari e che l'insieme B sia costituito da {1,3,5}, quindi qui B è un sottoinsieme di A e A è un superinsieme di B.
Per esempio: Se l'insieme A contiene {mela, banana} e l'insieme B contiene {tutti i frutti} allora A è il sottoinsieme di B.
Consideriamo un altro esempio per una migliore comprensione.
Esempio: determinare quale è un sottoinsieme e quale è un superinsieme, se A = {a, e, i, o, u} e B = { Tutti gli alfabeti}.
Risposta:
cos'è Maven
Qui A contiene tutti gli elementi vocalici che fanno parte degli alfabeti. Quindi qui A è il sottoinsieme di B e B è il superinsieme di A.
Definizione del sottoinsieme
Matematicamente un insieme A dovrebbe essere un sottoinsieme dell'insieme B se tutti i componenti dell'insieme A esistono anche nell'insieme B. Quindi, il sottoinsieme è un sottogruppo di qualsiasi insieme. L’insieme A è, in altre parole, contenuto nell’insieme B.
Per esempio: Se l'insieme A = {1, 2, 3} e l'insieme B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} allora possiamo dire che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B poiché tutti gli elementi dell'insieme A sono disponibili nell'insieme B.
Significato del sottoinsieme
Un insieme i cui elementi sono tutti elementi di un insieme inclusivo è il significato di sottoinsieme. Consideriamo un insieme X tale che X comprenda i nomi di tutti i fiumi di un paese. Un altro set Y include i nomi dei fiumi dell'India settentrionale. Qui y sarà un sottoinsieme di x perché tutti i fiumi dell'India settentrionale sarebbero anche fiumi del nostro Paese; quindi, Y è un sottoinsieme di X. Esiste solo un numero definito di sottoinsiemi distinti o unici per ogni insieme, quindi i rimanenti sono irrilevanti e ripetitivi.
Esempio: elenca tutti i sottoinsiemi dell'insieme Q = {1, 2, 3}.
Risposta:
I sottoinsiemi di Q sono { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} e {1, 2, 3}
Simbolo del sottoinsieme
Un sottoinsieme è indicato dal simbolo e letto come “è un sottoinsieme di” in insiemistica . Un sottoinsieme è rappresentato da un simbolo dato da ⊆. I sottoinsiemi possono essere espressi utilizzando questo simbolo come segue:
A ⊆ B ciò significa che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B.
algoritmo minimax
Esempio di sottoinsiemi
L'unica necessità affinché un insieme A sia un sottoinsieme di un insieme B è che ogni elemento di A sia presente in B. Ecco alcuni esempi di sottoinsiemi basati su questo.
- A = {2, 3, 10} è un sottoinsieme di B = {1, 2, 3, 4, 10},
- P = L'insieme di tutti i numeri primi è un sottoinsieme di N = Insieme di tutti i numeri naturali e
- X = {a, e, i, o, u} sono una raccolta di vocali ed è un sottoinsieme di Y = insieme di tutti gli alfabeti.
Vale la pena notare che ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso, così come lo è l'insieme vuoto ().
Esempio: Set null può essere un sottoinsieme di qualsiasi set?
Risposta:
Null è un sottoinsieme di ogni insieme. Per impostazione predefinita consideriamo questo fatto che tutti i set contengono un elemento chiamato set nullo.
Sottoinsiemi di numeri reali
I numeri reali che possono essere espressi come numeri decimali rientrano in una varietà di categorie. Dalla tua esistenza quotidiana, hai sicuramente già familiarità con le frazioni, i decimali e il conteggio dei numeri. I seguenti numeri sono considerati sottoinsiemi dei numeri reali:
- Numeri razionali : qualsiasi numero che può essere espresso come frazione, p/q, dove p e q sono entrambi numeri interi positivi. Si tratta di decimali non finali, ripetuti e decimali finali in forma decimale. Esempio: -5/9, 1/8
- Numeri irrazionali : Questi numeri non terminano né si ripetono se espressi in forma decimale. Exe.
- Numeri interi : Tutti i numeri da contare, compreso lo zero e i loro opposti. Esempio: -2,-1,0,3
- Numeri interi : Zero e tutti i numeri di conteggio positivi. Es-0, 2, 500
- Numeri naturali : Tutti i numeri di conteggio positivi. Es-1,2,40
Esempio: a quali sottoinsiemi dei numeri reali appartiene -5?
Risposta:
-5 è un numero razionale e un numero intero.
Insieme di potenza di un insieme
Un set insieme di potenza è costituito da ogni sottoinsieme, dall'insieme originale e dall'insieme vuoto. P(A) indica l'insieme di potenze di un dato insieme A. Ad esempio, se A = {1, 2}, allora P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Qui possiamo vedere chiaramente che tutti i sottoinsiemi di A sono contenuti nel P(A), cioè nell’insieme potenza di A.
Numero di sottoinsiemi di un insieme
Per ogni set A, il numero di seusets viene fornito utilizzando la seguente formula
Numero di sottoinsiemi = 2 N
Dove N è il numero di elementi nell'insieme.
Poiché l'insieme di potenze contiene tutti i sottoinsiemi di qualsiasi insieme, quindi per un insieme A che ha 'n' elementi allora P(A) ha 2Nelementi.
Esempio: quanti elementi del power set possono essere formati se ci sono quattro elementi in un set?
Risposta:
network e internet
Il numero di elementi del set di potenza con tre elementi è 24= 16.
Tipi di sottoinsiemi
Esistono due tipi di sottoinsiemi che sono:
- Sottoinsieme proprio
- Sottoinsieme improprio
Discutiamo questi tipi in dettaglio come segue:
Sottoinsieme proprio
UN sottoinsieme proprio comprende solo alcuni membri del set originale. Il sottoinsieme corretto non può mai essere uguale all'insieme originale. Nel sottoinsieme proprio è escluso il sottoinsieme che costituisce l'insieme originario.
Simbolo del sottoinsieme corretto
Un sottoinsieme proprio è indicato con ⊂,
Possiamo esprimere un sottoinsieme proprio per l'insieme A e l'insieme B come;
A ⊂ B
Esempio di sottoinsiemi propri
Sia A = {1, 3, 5}, allora i sottoinsiemi propri di A sono {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Inoltre, {1, 3, 5} è un sottoinsieme di A ma non è un sottoinsieme proprio di A.
Formula corretta del sottoinsieme
Il numero di sottoinsiemi propri di un insieme con 'n' elementi è 2N-1.
Esempio: Un insieme contiene 3 elementi, quale sarà il numero di sottoinsiemi propri?
Risposta:
Numero di sottoinsiemi propri = 2N-1
Qui, n = 3
N = 23– 1 = 7
Sottoinsieme improprio
UN sottoinsieme improprio contiene include sia l'insieme nullo che ciascun membro dell'insieme iniziale. Il sottoinsieme improprio può essere uguale all'insieme originale. Nel sottoinsieme improprio è compreso il sottoinsieme costituente l'insieme originario. Questo è rappresentato dal simbolo ⊆ .
Esempio: Quale sarà il sottoinsieme improprio dell'insieme A = {1, 3, 5}?
stringhe a numeri interi
Risposta:
Sottoinsieme improprio: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} e {1,3,5}
Formula del sottoinsieme impropria
Per una collezione di ‘n’ elementi, il numero di sottoinsiemi impropri è sempre 1. In altre parole, il numero di sottoinsiemi impropri di un insieme è indipendente dal numero dei suoi elementi.
Saperne di più, Formule della teoria degli insiemi
Sottoinsiemi propri e impropri
Le differenze principali tra sottoinsiemi corretti e sottoinsiemi impropri sono elencate nella tabella seguente:
| Sottoinsieme proprio | Sottoinsieme improprio |
|---|---|
| Contiene alcuni degli elementi di un insieme. | Contiene tutti gli elementi di un insieme. |
| Non sarà mai uguale a un set regalo. | È sempre uguale a un dato insieme. |
| Il numero di sottoinsiemi propri di un insieme con 'n' elementi è 2N-1. | Per una raccolta di n elementi il numero di sottoinsiemi impropri è sempre 1. |
| Il simbolo ⊂ viene utilizzato solo per sottoinsiemi propri. | Il simbolo ⊆ viene utilizzato per sottoinsiemi impropri. |
Esempio: Per un insieme P = {1,2} trovare il sottoinsieme proprio e improprio.
Soluzione:
libero contro libero
L'insieme corretto è dato da { }, {1} e {2}
L'insieme improprio è dato da { }, {1}, {2} e {1,2}
Sottoinsiemi vs superinsiemi
Le differenze principali tra i due sottoinsiemi E superset sono elencati nella tabella seguente:
| Aspetto | Sottoinsieme | Superinsieme |
|---|---|---|
| Definizione | Un sottoinsieme è un insieme che contiene meno o gli stessi elementi di un altro insieme. | Un superset è un insieme che contiene tutti o più elementi di un altro insieme. |
| Relazione | La relazione di sottoinsieme è indicata come A ⊆ B, dove A è un sottoinsieme di B. | La relazione di superinsieme è indicata come A ⊇ B, dove A è un superinsieme di B. |
| Esempio | {1, 2} è un sottoinsieme di {1, 2, 3}. | {1, 2, 3} è un superinsieme di {1, 2}. |
| Misurare | La dimensione del sottoinsieme è inferiore o uguale alla dimensione del superset. | La dimensione del superset è maggiore o uguale alla dimensione del sottoinsieme. |
| Inclusione | Tutti gli elementi di un sottoinsieme sono anche elementi del superinsieme. | Un superset include tutti gli elementi del sottoinsieme e possibilmente altri. |
| Relazioni | Un insieme può avere più sottoinsiemi. | Un set può avere più superset. |
| Set vuoto | L'insieme vuoto (∅) è un sottoinsieme di ogni insieme. | L'insieme vuoto (∅) è un superinsieme di ogni insieme. |
Formula del sottoinsieme
Di seguito sono riportate tutte le formule relative ai sottoinsiemi.
- Il numero di sottoinsiemi di un insieme con n elementi è 2N. Ciò include sottoinsiemi sia propri che impropri.
- Il numero di sottoinsiemi propri di un insieme di n elementi è 2N-1.
- Il numero di sottoinsiemi impropri di ogni insieme è sempre 1.
Inoltre, Leggi
- Rappresentazione dell'insieme
- Tipi di set
- Set universali
Problemi risolti sui sottoinsiemi
Problema 1: Quanti sottoinsiemi ci sono in un insieme con 4 elementi?
Soluzione:
Un set contenente 4 elementi ne avrà 24elementi in esso = 16.
Problema 2: Quanti sottoinsiemi ci sono in un insieme con 5 elementi?
Soluzione:
Un insieme contenente 5 elementi ne avrà 25elementi in esso = 32.
Domande frequenti sui sottoinsiemi
Cosa sono i sottoinsiemi in matematica?
Se ogni componente dell'insieme A è presente anche nell'insieme B, allora l'insieme A è detto un sottoinsieme dell'insieme B. In altre parole, l'insieme B contiene l'insieme A.
Cosa sono i sottoinsiemi propri?
Un sottoinsieme di un insieme A che non è uguale ad A è un sottoinsieme proprio di A. In altre parole, se B è un sottoinsieme proprio di A, allora A ha almeno un elemento che non è in B ma tutti gli elementi di B lo sono in un.
Cosa sono i sottoinsiemi impropri?
Un sottoinsieme che include tutti i componenti dell'insieme originale è considerato un sottoinsieme inappropriato.
Un sottoinsieme può essere uguale a se stesso?
Ogni insieme è pensato come un sottoinsieme di se stesso. Il sottoinsieme proprio di nessun insieme è se stesso. Ogni insieme ha l'insieme vuoto come sottoinsieme.
Un sottoinsieme può essere un insieme universale?
Possiamo dire che l'insieme A è il sottoinsieme dell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A è anche un elemento dell'insieme B. Quindi, qualsiasi dato insieme universale può essere utilizzato per produrre i sottoinsiemi. È anche importante tenere presente che ogni insieme universale è in realtà un sottoinsieme di se stesso.
Un sottoinsieme può essere nullo?
Sì, un insieme nullo è per impostazione predefinita un sottoinsieme di qualsiasi insieme.
Quali sono le due classificazioni di sottoinsieme?
Le classificazioni dei sottoinsiemi sono:
- Sottoinsieme proprio
- Sottoinsieme improprio