L'algebra è uno degli argomenti fondamentali della matematica. I polinomi sono una parte essenziale dell’algebra. La formula di Vieta è utilizzata nei polinomi. Questo articolo riguarda la formula di Vieta che mette in relazione la somma e il prodotto delle radici con il coefficiente del polinomio. Questa formula è utilizzata specificamente in algebra.
La formula di Vieta
Le formule di Vieta sono quelle formule che forniscono la relazione tra la somma e il prodotto delle radici del polinomio con i coefficienti dei polinomi. La formula di Vieta descrive i coefficienti del polinomio sotto forma di somma e prodotto della sua radice.
La formula di Vieta
La formula di Vieta si occupa della somma e del prodotto delle radici e del coefficiente del polinomio. Si usa quando dobbiamo trovare il polinomio quando sono date le radici oppure dobbiamo trovare la somma o il prodotto delle radici.
La formula di Vieta per l'equazione quadratica
- Se f(x) = asse 2 + bx + c è un'equazione quadratica con radici UN E B Poi,
- Somma delle radici = α + β = -b/a
- Prodotto di radici = αβ = c/a
- Se vengono forniti la somma e il prodotto delle radici, l'equazione quadratica è data da:
- X 2 – (somma delle radici)x + (prodotto delle radici) = 0
La formula di Vieta per l'equazione cubica
- Se f(x) = asse 3 +bx 2 + cx + d è un'equazione quadratica con radici un, b E C Poi,
- Somma delle radici = α + β + γ = -b/a
- Somma del prodotto di due radici = αβ + αγ + βγ = c/a
- Prodotto delle radici = αβγ = -d/a
- Se vengono forniti la somma e il prodotto delle radici, l'equazione cubica è data da:
- X 3 – (somma delle radici)x 2 + (somma del prodotto di due radici)x – (prodotto di radici) = 0
La formula di Vieta per l'equazione generalizzata
Se f(x) = a N X N +a n-1 X n-1 +a n-2 X n-2 + ……… + a 2 X 2 +a 1 x+a 0 è un'equazione quadratica con radici R 1 , R 2 , R 3 , …… R n-1 , R N Poi,
R 1 +r 2 +r 3 +………. +r n-1 +r N = -a n-1 /UN N
(R 1 R 2 +r 1 R 3 +…. +r 1 R N ) + (r 2 R 3 +r 2 R 4 +……. +r 2 R N ) + ……… + r n-1 R N = un n-2 /UN N
:
:
R 1 R 2 …R N = (-1) N (UN 0 /UN N )
Problemi di esempio
Problema 1: Se α , β sono le radici dell'equazione : x 2 – 10x + 5 = 0 , quindi trovare il valore di (α 2 + b 2 )/(UN 2 b+ab 2 ).
ricerca contraddittoria
Soluzione:
Dato Equazione:
- X2– 10x + 5 = 0
Con la formula di Vita
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Come un2+b2) = (a + b)2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(UN2+b2) = 90
Ora il valore di (α2+ b2)/(UN2b+ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problema 2: Se α , β sono le radici dell'equazione : x 2 + 7x + 2 = 0 , quindi trova il valore di 14÷(1/α + 1/ β).
Soluzione:
Data l'equazione:
- X2+7x+2 = 0
Con la formula di Vita
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Ora, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Ora valore di 14÷(1/α + 1/ β)
se di Rudyard Kipling riassunto= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Problema 3: Se α , β sono le radici dell'equazione : x 2 + 10x + 2 = 0 , quindi trova il valore di (α/β + β/α).
Soluzione:
Data l'equazione:
- X2+ 10x + 2 = 0
Con la formula di Vita
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Come un2+b2) = (a + b)2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Ora il valore di (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
I fratelli di Kylie Jenner= 48
Problema 4: Se α e β sono le radici dell'equazione e dato che α + β = -100 e αβ = -20, trova l'equazione quadratica.
Soluzione:
Dato,
- Somma delle radici = α + β = -100
- Prodotto di radici = αβ = -20
L'equazione quadratica è data da:
X2– (somma delle radici)x + (prodotto delle radici) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Problema 5: Se α , β e γ sono le radici dell'equazione e dato che α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 e αβ γ = -6, trova l'equazione cubica.
Soluzione:
Dato,
- Somma delle radici = α + β + γ = 10,
- Somma del prodotto di due radici = αβ + αγ + βγ = -1
- Prodotto di radici = avg = -6
L'equazione cubica è data da:
X3– (somma delle radici)x2+ (somma del prodotto di due radici)x – (prodotto di radici) = 0
data dattiloscrittaX3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Problema 6: Se α , β e γ sono le radici dell'equazione x 3 +1569x 2 – 3 = 0 quindi trovare il valore di [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Soluzione:
Dato,
- Somma delle radici = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Somma del prodotto di due radici = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Prodotto di radici = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Poiché (pag3+q3+r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+r2– pq – qr – pr) ……(1)
Sia p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Dall'equazione (1):
(P3+q3+r3– 3pqr) = 0
P3+q3+r3= 3pq
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/media = -3/3
= -1
Problema 7: Se α e β sono le radici dell'equazione x 2 – 3x +2 =0 quindi trovare il valore di α 2 - B 2 .
Soluzione:
Dato,
- Somma delle radici = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Prodotto di radici = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Come (a – b)2= (a+b)2-4ab
(a-b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a-b) = 1
javascript per il menu a discesaDa,
UN2- B2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
UN 2 - B 2 = 3