INTEGRAZIONE PER PARTI

Integrazione per parti: L'integrazione per parti è una tecnica utilizzata nel calcolo infinitesimale per trovare l'integrale del prodotto di due funzioni. È essenzialmente un’inversione della regola del prodotto per la differenziazione.

Integrare una funzione non è sempre facile a volte dobbiamo integrare una funzione che è il multiplo di due o più funzioni in questo caso se dobbiamo trovare l'integrazione dobbiamo utilizzare il concetto di integrazione per parte, che utilizza due prodotti di due funzioni e ci dice come trovare la loro integrazione.

Ora impariamo a conoscere Integrazione per parti, sua formula, derivazione e altri in dettaglio in questo articolo.

Cos'è l'integrazione per parti?

L'integrazione per parte è la tecnica utilizzata per trovare l'integrazione del prodotto di due o più funzioni laddove l'integrazione non può essere eseguita utilizzando le normali tecniche. Supponiamo di avere due funzioni f(x) e g(x) e di dover trovare l'integrazione del loro prodotto cioè ∫ f(x).g(x) dx dove non è possibile risolvere ulteriormente il prodotto di questo prodotto f(x).g(x).

Questa integrazione si ottiene utilizzando la formula:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

dove f'(x) è la prima derivazione di f(x).

Questa formula si legge come:

L'integrazione della Prima Funzione moltiplicata per la Seconda Funzione è uguale a (Prima Funzione) moltiplicata per (Integrazione della Seconda Funzione) – Integrazione di (Differenziazione della Prima Funzione moltiplicata per Integrazione della Seconda Funzione).

Dalla formula sopra, possiamo facilmente osservare che la scelta della prima funzione e della seconda funzione è molto importante per il successo di questa formula, e il modo in cui scegliamo la prima funzione e la seconda funzione verrà discusso più avanti in questo articolo.

Cos'è l'integrazione parziale?

L'integrazione parziale, nota anche come integrazione per parti, è una tecnica utilizzata nel calcolo per valutare l'integrale di un prodotto di due funzioni. La formula per l'integrazione parziale è data da:

∫ u dv = uv – ∫ v du

dove u e v sono funzioni differenziabili di x. Questa formula ci permette di semplificare l'integrale di un prodotto scomponendolo in due integrali più semplici. L'idea è di scegliere u e dv in modo che il nuovo integrale a destra sia più facile da valutare rispetto a quello originale a sinistra. Questa tecnica è particolarmente utile quando si ha a che fare con prodotti di funzioni che non hanno semplici antiderivative.

Storia dell'integrazione parziale

Il concetto di integrazione per parte fu proposto per la prima volta dal famoso Brook Taylor nel suo libro del 1715. Egli scrisse che possiamo trovare l'integrazione del prodotto di due funzioni di cui esistono formule di differenziazione. Alcune funzioni importanti non hanno formule di integrazione e la loro integrazione si ottiene utilizzando l'integrazione prendendole come prodotto di due funzioni. Ad esempio, ∫ln x dx non può essere calcolato utilizzando le normali tecniche di integrazione. Ma possiamo integrarlo utilizzando la tecnica dell'Integrazione per parti e considerandolo come un prodotto di due funzioni cioè ∫1.ln x dx.

Formula di integrazione per parti

La formula di integrazione per parti è la formula che ci aiuta a ottenere l'integrazione del prodotto di due o più funzioni. Supponiamo di dover integrare il prodotto di due funzioni come

∫u.v dx

dove u e v sono le funzioni di x, ciò può essere ottenuto utilizzando,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

L'ordine di scelta della Prima funzione e della Seconda funzione è molto importante e il concetto utilizzato nella maggior parte dei casi per trovare la prima funzione e la seconda funzione è il concetto ILATE.

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Utilizzando la formula sopra e il concetto ILATE possiamo facilmente trovare l'integrazione del prodotto di due funzioni. La formula di integrazione per parte è mostrata nell'immagine seguente,

Formula di derivazione dell'integrazione per parti

La formula di integrazione per parti viene derivata utilizzando la regola di differenziazione del prodotto. Supponiamo di avere due funzioni In E In e x allora la derivata del loro prodotto si ottiene utilizzando la formula,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Ora derivamo la formula di integrazione per parti utilizzando la regola di differenziazione del prodotto.

Riorganizzare i termini

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrando entrambi i membri rispetto a x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

semplificando,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Pertanto, viene derivata la formula di integrazione per parti.

Regola ILATE

La regola ILATE ci dice come scegliere la prima funzione e la seconda funzione risolvendo l'integrazione del prodotto di due funzioni. Supponiamo di avere due funzioni di x u e v e di dover trovare l'integrazione del loro prodotto quindi scegliamo la prima funzione e la regola di ILATE.

Il modulo completo ILATE è discusso nell'immagine seguente,

Regola ILATE di Integrazione Parziale

Le regole ILATE ci danno la gerarchia di prendere la prima funzione, cioè se nel prodotto dato della funzione, una funzione è una funzione logaritmica e un'altra funzione è una funzione trigonometrica. Ora prendiamo la funzione logaritmica come prima funzione poiché si trova sopra nella gerarchia della regola ILATE in modo simile, scegliamo la prima e la seconda funzione di conseguenza.

NOTA: Non sempre è opportuno utilizzare la regola ILATE a volte vengono utilizzate anche altre regole per trovare la prima funzione e la seconda funzione.

Come trovare l'integrazione per parte?

L'integrazione per parte viene utilizzata per trovare l'integrazione del prodotto di due funzioni. Possiamo raggiungere questo obiettivo utilizzando i passaggi discussi di seguito,

Supponiamo di dover semplificare ∫uv dx

Passo 1: Scegli la prima e la seconda funzione secondo la regola ILATE. Supponiamo di prendere u come prima funzione e v come seconda funzione.

Passo 2: Differenziare u(x) rispetto a x cioè, Valuta du/dx.

Passaggio 3: Integra v(x) rispetto a x cioè, Valutare ∫v dx.

Utilizzare i risultati ottenuti nei passaggi 1 e 2 nella formula,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Passaggio 4: Semplificare la formula precedente per ottenere l'integrazione richiesta.

Integrazione ripetuta per parti

L'integrazione ripetuta per parti è un'estensione della tecnica di integrazione per parti nel calcolo infinitesimale. Viene utilizzato quando si ha un prodotto di funzioni che richiede l'integrazione più volte per trovare l'antiderivativa. Il processo prevede l'applicazione iterativa della formula di integrazione per parti fino a raggiungere un punto in cui l'integrale risultante è facile da valutare o ha una forma nota.

Quando applichi questa formula ripetutamente, dovresti iniziare con un integrale che coinvolge il prodotto di due funzioni, quindi applicare l'integrazione per parti per scomporlo in integrali più semplici. Continueresti quindi questo processo sugli integrali risultanti fino a raggiungere un punto in cui ulteriori applicazioni non sono necessarie o dove gli integrali diventano gestibili.

Ecco un esempio passo passo di come funziona l'integrazione ripetuta per parti:

Iniziamo con un integrale del prodotto di due funzioni: ∫ u dv.
Applica la formula di integrazione per parti per ottenere: uv – ∫ v du.
Se il nuovo integrale ottenuto sul secondo membro coinvolge ancora un prodotto di funzioni, applica nuovamente l'integrazione per parti per scomporlo ulteriormente.
Continua questo processo finché non ottieni un integrale più semplice che possa essere facilmente valutato o che corrisponda a una forma integrale nota.

Integrazione tabulare per parti

L'integrazione tabulare, nota anche come metodo tabulare o metodo di integrazione tabulare, è una tecnica alternativa per valutare gli integrali che comportano l'applicazione ripetuta dell'integrazione per parti. Questo metodo è particolarmente utile quando si ha a che fare con integrali in cui il prodotto di funzioni può essere integrato più volte per raggiungere un risultato semplice.

Il metodo tabellare organizza il processo di integrazione ripetuta per parti in una tabella, rendendo più semplice tenere traccia dei termini e semplificare l'integrale in modo efficiente. Ecco come funziona il metodo tabellare:

Inizia scrivendo le funzioni coinvolte nell'integrale in due colonne: una per la funzione da differenziare (u) e un'altra per la funzione da integrare (dv).
- Inizia con la funzione per integrare (dv) sulla colonna di sinistra e la funzione per differenziare (u) sulla colonna di destra.
Continua a differenziare la funzione nella colonna u finché non raggiungi lo zero o una costante. Ad ogni passaggio, integrare la funzione nella colonna dv fino a raggiungere un punto in cui non è necessaria un'ulteriore integrazione.
Moltiplica i termini diagonalmente e alterna i segni (+ e -) per ogni termine. Sommare questi prodotti per trovare il risultato dell'integrazione.

Ecco un esempio per illustrare il metodo di integrazione tabellare :

Valutiamo l’integrale ∫x sin(x) dx.

Passo 1: Crea una tabella con due colonne per u (funzione da differenziare) e dv (funzione da integrare):

In	dv
X	peccato(x)

Passo 2: Differenziare la funzione nella colonna u e integrare la funzione nella colonna dv:

In	dv
X	-cos(x)
1	-peccato(x)
0	cos(x)

Passaggio 3: Moltiplicare i termini diagonalmente e alternare i segni:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Quindi, il risultato dell'integrale ∫x sin(x) dx è -x cos(x) + peccato(x).

Il metodo dell'integrazione tabulare è particolarmente utile quando si ha a che fare con integrali che coinvolgono funzioni che si ripetono durante la differenziazione o l'integrazione, consentendo un approccio sistematico e organizzato per trovare l'antiderivativa.

Applicazioni dell'integrazione per parti

L'integrazione per parti ha varie applicazioni nel calcolo integrale ed è utilizzata per trovare l'integrazione della funzione dove le normali tecniche di integrazione falliscono. Possiamo facilmente trovare l'integrazione delle funzioni inverse e logaritmiche utilizzando il concetto di integrazione per parti.

Troveremo l'integrazione della funzione logaritmica e della funzione Arctan utilizzando la regola dell'integrazione per parte,

Integrazione della funzione logaritmica (log x)

L'integrazione della funzione logaritmica inversa (log x) si ottiene utilizzando la formula Integrazione per parte. L'integrazione è discussa di seguito,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Prendendo log x come prima funzione e 1 come seconda funzione.

Usando ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Qual è l'integrazione richiesta della funzione logaritmica.

Integrazione della funzione trigonometrica inversa (tan^-1X)

Integrazione della funzione trigonometrica inversa (tan^-1x) si ottiene utilizzando la formula Integrazione per parte. L'integrazione è discussa di seguito,

∫ così^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Prendere l'abbronzatura^-1x come prima funzione e 1 come seconda funzione.

Usando ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = marrone chiaro^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = marrone chiaro^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. COSÌ^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. COSÌ^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Qual è l'integrazione richiesta della funzione trigonometrica inversa.

Applicazioni reali dell'integrazione parziale

Alcune delle applicazioni comuni dell'integrazione parziale nella vita reale sono:

Trovare gli antiderivativi
- In ingegneria e fisica, l'integrazione parziale viene utilizzata per trovare antiderivative di funzioni che rappresentano quantità fisiche. Ad esempio, in meccanica, viene utilizzato per derivare le equazioni del movimento dalle equazioni della forza e dell'accelerazione.
Prodotto Wallis
- Il prodotto di Wallis, una rappresentazione del prodotto infinito di pi greco, può essere derivato utilizzando tecniche di integrazione parziale. Questo prodotto ha applicazioni in campi quali la teoria dei numeri, la teoria della probabilità e l'elaborazione dei segnali.
Identità della funzione gamma
- La funzione gamma, che estende la funzione fattoriale ai numeri complessi, ha varie applicazioni in matematica, fisica e ingegneria. L'integrazione parziale viene utilizzata per dimostrare identità che coinvolgono la funzione gamma, che sono cruciali in aree come la teoria della probabilità, la meccanica statistica e la meccanica quantistica.
Utilizzo nell'analisi armonica
- L'integrazione parziale gioca un ruolo significativo nell'analisi armonica, in particolare nell'analisi di Fourier. Viene utilizzato per derivare le proprietà delle trasformate di Fourier, come il teorema di convoluzione e le proprietà delle serie di Fourier. Questi risultati vengono applicati in campi come l'elaborazione del segnale, l'analisi delle immagini e le telecomunicazioni.