In matematica, i termini esponenti e potenze vengono utilizzati quando un numero viene moltiplicato per se stesso per un certo numero di volte. Ad esempio, 4 × 4 × 4= 64. Può anche essere scritto in forma abbreviata come 4³= 64. Qui, 4³significa che il numero 4 viene moltiplicato per se stesso per tre volte e la forma abbreviata 4³è l'espressione esponenziale. Il numero 4 è il numero di base, mentre il numero 3 è l'esponente, e leggiamo l'espressione esponenziale data come 4 elevato alla potenza di 3. In un'espressione esponenziale, la base è il fattore che viene moltiplicato ripetutamente per se stesso, mentre l'esponente è il numero di volte in cui appare il fattore.

Definizione di Esponenti e Potenze

Se un numero viene moltiplicato per se stesso n volte , l'espressione risultante è nota come the ennesima potenza del numero dato. C'è una linea molto sottile di differenza tra esponente e potenza. Un esponente è il numero di volte in cui un dato numero è stato moltiplicato per se stesso, mentre la potenza è il valore del prodotto del numero base elevato ad esponente. Con l'aiuto della forma esponenziale dei numeri, possiamo esprimere più convenientemente numeri estremamente grandi e piccoli. Ad esempio, 100000000 può essere espresso come 1 × 10⁸e 0.0000000000013 può essere espresso come 13 × 10^-13. Ciò rende i numeri più facili da leggere, aiuta a mantenerne la precisione e ci fa anche risparmiare tempo.

Regole degli esponenti e delle potenze

Le regole degli esponenti e delle potenze spiegano come aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere gli esponenti, nonché come risolvere vari tipi di equazioni matematiche che coinvolgono esponenti e potenze.

Regola 1: Legge del prodotto degli esponenti

Secondo questa legge, quando si moltiplicano esponenti con la stessa base, gli esponenti vengono sommati.

Legge sul prodotto degli esponenti: a^M×a^N=a^(m+n)

Regola 2: Regola del quoziente degli esponenti

Secondo questa legge, per dividere due esponenti con le stesse basi bisogna sottrarre gli esponenti.

Regola del quoziente degli esponenti: a^M/UN^N=a^(m-n)

Regola 3: Potenza di una regola di potenza

Secondo questa legge, se un numero esponenziale viene elevato a un'altra potenza, le potenze vengono moltiplicate.

Potenza di una regola di potenza: (a^M)^N=a^(m×n)

Regola 4: Regola della potenza di un prodotto

Secondo questa legge bisogna moltiplicare le diverse basi ed elevare lo stesso esponente al prodotto delle basi.

Potenza di una regola di prodotto: a^M× b^M=(a×b)^M.

Regola 5: Potenza di una regola del quoziente

Secondo questa legge bisogna dividere le diverse basi ed elevare lo stesso esponente al quoziente delle basi.

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Potenza di una regola del quoziente: a^M÷ b^M=(a/b)^M

Regola 6: Regola dell'esponente zero

Secondo questa legge, se il valore di una base elevata a zero è 1.

Regola dell'esponente zero: a⁰=1

Regola 7: regola dell'esponente negativo

Secondo questa legge, se un esponente è negativo, allora si cambia l'esponente in positivo prendendo il reciproco di un numero esponenziale.

Regola dell'esponente negativo: a^-M= 1/a^M

Regola 8: regola dell'esponente frazionario

Secondo questa legge, quando abbiamo un esponente frazionario, il risultato sono radicali.

Regola dell'esponente frazionario: a^(1/n)=^N√a

UN^(m/n)=^N√a^M

Cosa significa 10 alla potenza di 4?

Soluzione:

Calcoliamo il valore di 10 alla quarta media, cioè 10⁴

Sappiamo che secondo la regola del potere degli esponenti,

UN^M= a × a × a… m volte

Quindi possiamo scrivere 10⁴come 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

Perciò,

il valore di 10 elevato alla potenza di 4, cioè 10⁴è 10000.

Problemi di esempio

Problema 1: Trova il valore di 3⁶.

Soluzione:

errore semantico

L'espressione data è 3⁶.

La base dell'espressione esponenziale data è 3, mentre l'esponente è 6, ovvero l'espressione data viene letta come 3 elevato alla potenza di 6.

Quindi, espandendo 3⁶, otteniamo 3⁶= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Quindi il valore di 3⁶è 729.

Problema 2: Determinare l'esponente e la potenza dell'espressione (12)⁵.

Soluzione:

L'espressione data è 12⁵.

La base dell'espressione esponenziale data è 12, mentre l'esponente è 5, ovvero l'espressione data viene letta come 12 elevato alla potenza di 5.

Problema 3: valutare (2/7)^-5× (2/7)⁷.

Soluzione:

Dato: (2/7)^-5×(2/7)⁷

Sappiamo che, a^M×a^N= un^{(m + n)}

Quindi, (2/7)^-5×(2/7)⁷= (2/7)^(-5+7)

= (2/7)²= 4/49

Quindi, (2/7)^-5× (2/7)⁷= 4/49

Problema 4: Trova il valore di x nell'espressione data: 5^3x-2= 625.

Soluzione:

Dato, 5^3x-2= 625.

5^3x-2= 5⁴

Confrontando gli esponenti della base simile, otteniamo

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Quindi il valore di x è 2.

Problema 5: Trova il valore di k nell'espressione data: (-2/3)⁴23)^-quindici= (23)^7k+3

Soluzione:

Dato,

q3 mesi

(-23)⁴23)^-quindici= (23)^7k+3

23)⁴23)^-quindici= (23)^7k+3{Dal (-x)⁴=x⁴}

Sappiamo che, a^M×a^N= un^{(m + n)}

23)^4-15= (2/3)7k+3

23)^-undici= (23)^7k+3

Confrontando gli esponenti della base simile, otteniamo

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Quindi, il valore di k è -2.