La corda di un cerchio è la linea che congiunge due punti qualsiasi della circonferenza del cerchio. Un cerchio può avere varie corde e la corda più grande di un cerchio è il diametro del cerchio. Possiamo facilmente calcolare la lunghezza dell'accordo utilizzando la formula della lunghezza dell'accordo. Come suggerisce il nome è la formula per calcolare la lunghezza della corda in un cerchio in Geometria.

In questo articolo conosceremo la definizione di accordo, i teoremi degli accordi e del cerchio, spiegheremo le sue proprietà e le formule per calcolare la lunghezza dell'accordo utilizzando diversi metodi. L'articolo contiene anche alcuni problemi di esempio risolti per una migliore comprensione.

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Tabella dei contenuti

• Definizione del cerchio
• Definizione di accordo di cerchio
• Qual è la formula della lunghezza della corda?
• Teoremi della corda di un cerchio
• Proprietà degli accordi di un cerchio
• Problemi Risolti
• Domande frequenti

Definizione del cerchio

Un cerchio è una forma rotonda perfetta costituita da tutti i punti di un piano posti ad una determinata distanza da un dato punto. Sono costituiti da una linea curva chiusa attorno a un punto centrale. I punti presenti sulla linea sono alla stessa distanza dal punto centrale. La distanza dal centro di un cerchio è chiamata raggio.

Definizione di accordo di cerchio

Il segmento che congiunge due punti qualsiasi della circonferenza del cerchio è detto corda del cerchio. Poiché anche il diametro congiunge i due punti della circonferenza del cerchio, anche il diametro è corda del cerchio. Infatti il ​​diametro è la corda più lunga della circonferenza. In altre parole, la corda è un segmento di linea le cui estremità giacciono sulla circonferenza di un cerchio. L’illustrazione seguente può aiutarci a capirne di più.

Qual è la formula della lunghezza della corda?

Esistono due metodi o formule di base per calcolare la lunghezza dell'accordo. la lunghezza di una corda può essere determinata utilizzando la distanza perpendicolare dal centro del cerchio oltre che con il metodo trigonometrico. In questo modo è possibile trovare la lunghezza di un accordo

• Utilizzando il teorema di Pitagora
• Utilizzando la legge del coseno

Comprendiamo questi metodi in dettaglio come segue:

Metodo 1: utilizzo del teorema di Pitagora

Nel diagramma seguente per una corda, come sappiamo la perpendicolare tracciata dal centro del cerchio alla corda la divide in due metà.

Nei triangoli OAM, utilizzando Teorema di Pitagora ,

R²=x²+ d²

⇒x²= r²- D²

⇒x = √(r²- D²)

Poiché x è la metà della lunghezza dell'accordo,

Pertanto, la lunghezza della corda di qualsiasi cerchio con la sua distanza perpendicolare dal centro è nota come

Lunghezza di una corda circolare = 2 ×[√(r ² - D ² )]

Dove,

• R è il raggio del cerchio, e
• D è la distanza perpendicolare tra il centro della circonferenza e la corda.

Metodo 2: utilizzo della legge del coseno

Come sappiamo per un triangolo ABC, con lati a, b e c, il Legge del coseno stati,

C ² = un ² + b ² – 2ab cos C

Utilizzando questa legge nel diagramma seguente di una corda che sottende l'angolo θ al centro del cerchio, possiamo trovare la lunghezza della corda.

Nel triangolo OAB, utilizzando la legge del coseno,

⇒x²= r²+r²– 2×r×r×cos θ

⇒x²= 2r²– 2r²cosθ

⇒x²= 2r²(1-cosθ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Pertanto, la lunghezza della corda è data da:

Lunghezza corda = 2r × sin [θ/2]

Dove,

• io è l'angolo sotteso dalla corda al centro, e
• R è il raggio del cerchio.

Altra formula correlata per la lunghezza dell'accordo

Quando due cerchi condividono una corda comune, la lunghezza di quella corda comune può essere calcolata utilizzando la formula

Lunghezza di una corda comune di due cerchi = 2R ₁ ×R ₂ / D

Dove,

• R ₁ E R ₂ si riferisce al raggio dei cerchi
• D è la distanza tra i due centri del cerchio

Teoremi della corda di un cerchio

La corda del cerchio sottende l'angolo al centro del cerchio che ci aiuta a dimostrare vari concetti nel cerchio. Esistono vari teoremi basati sulla corda di un cerchio,

• Teorema 1: Teorema degli angoli uguali delle corde uguali
• Teorema 2: Teorema degli Angoli Uguali e delle Corde Uguali (Inverso del Teorema 1)
• Teorema 3: Teorema degli accordi uguali equidistanti dal centro

Ora, discutiamo dello stesso nell’articolo qui sotto.

Teorema 1: Corde Uguali Teorema Angoli Uguali

Dichiarazioni: Corde uguali sottendo angoli uguali al centro del cerchio, cioè l'angolo sotteso dalla corda è uguale se la corda è uguale.

Prova:

Dalla figura,

In ∆AOB e ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (dato)
• OA = OD …eq(ii) (Raggio del cerchio)
• OB = OC …eq(iii) (Raggio del cerchio)

Pertanto, per le condizioni di congruenza SSS, i triangoli ∆AOB e ∆COD sono congruenti.

Così,

∠AOB = ∠DOC (per CPCT)

Quindi il teorema è verificato.

Teorema 2: Teorema degli Angoli Uguali e delle Corde Uguali (Inverso del Teorema 1)

Dichiarazione: Le corde che sottendono angoli uguali al centro di un cerchio sono uguali in lunghezza. Questo è il contrario del primo teorema.

Dalla figura,

In ∆AOB e ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (dato)
• OA = OD …eq(ii) (Raggio del cerchio)
• OB = OC …eq(iii) (Raggio del cerchio)

Pertanto, per le condizioni di congruenza SAS, i triangoli ∆AOB e ∆COD sono congruenti.

Così,

AB = CD (secondo CPCT)

Il teorema è quindi verificato.

Teorema 3: Accordi uguali equidistanti dal centro Teorema

Dichiarazione: Le corde uguali sono equidistanti dal centro, cioè la distanza tra il centro del cerchio e la corda uguale è sempre uguale.

Dalla figura,

In ∆AOL e ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 gradi)
• OA = OC …eq(ii) (Raggio del cerchio)
• OL = OM …eq(iii) (dato)

Pertanto, per le condizioni di congruenza RHS, il triangolo ∆AOB e ∆COD sono congruenti.

Così,

AL = CM (secondo CPCT)…(iv)

Ora sappiamo che la perpendicolare tracciata dal centro divide in due le corde.

Dall'eq(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Il teorema è quindi verificato.

Proprietà degli accordi di un cerchio

Ci sono varie proprietà degli accordi in un cerchio, alcune di queste proprietà sono le seguenti:

• Una corda che passa per il centro di una circonferenza si chiama diametro ed è la corda più lunga della circonferenza.
• La perpendicolare ad una corda, tracciata dal centro del cerchio, divide in due la corda.
• Le corde equidistanti dal centro di un cerchio hanno la stessa lunghezza.
• Esiste una sola circonferenza che passa per tre punti collineari.
• Corde di uguale lunghezza sottendono angoli uguali al centro di un cerchio.
• L'asse di una corda passa per il centro della circonferenza.
• Se un raggio è perpendicolare ad una corda, allora divide in due la corda e l'arco che intercetta. Questo è noto come teorema della bisettrice perpendicolare.
• Quando gli angoli sottesi da una corda sono uguali allora anche la lunghezza delle corde è uguale.
• Se due accordi in una circonferenza si intersecano, il prodotto dei segmenti di un accordo è uguale al prodotto dei segmenti dell'altro accordo. Questo è noto come teorema degli accordi intersecanti.
• L'angolo sotteso da una corda al centro è il doppio dell'angolo sotteso dalla corda alla circonferenza.

Per saperne di più,

• Equazione di un cerchio
• Area di un cerchio
• Circonferenza del cerchio

Problemi risolti sulla corda di un cerchio

Problema 1: Un cerchio è un angolo di 70 gradi il cui raggio è 5 cm. Calcola la lunghezza della corda del cerchio.

Soluzione:

Dato

• Raggio = 5 cm
• Angolo = 70°

Ora,

lunghezza della corda = 2R × Sin [angolo/2]

= 2 × 5 × peccato [70/2]

= 10 × sin35°

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= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Problema 2: In cerchio , il raggio è 7 cm e la distanza perpendicolare dal centro del cerchio alle sue corde è 6 cm. Calcola la lunghezza dell'accordo.

Soluzione:

Dato

• Raggio = 7 cm
• Distanza = 6 cm

Ora,

Lunghezza della corda = 2 √r²- D²

= 2√7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2√13 cm

Problema 3: Un cerchio è un angolo di 60 gradi il cui raggio è 12 cm. Calcola la lunghezza della corda del cerchio.

Soluzione:

Dato

• Raggio = 12 cm
• Angolo = 60°

Ora,

lunghezza della corda = 2R × Sin [angolo/2]

⇒ 2 × 12 × peccato [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24×0,5

⇒ 12 cm

Problema 4: In un cerchio, il raggio è 16 cm e la distanza perpendicolare dal centro del cerchio alle sue corde è 5 cm. Calcola la lunghezza dell'accordo.

Soluzione:

Dato

• Raggio = 16 cm
• Distanza = 5 cm

Ora,

Lunghezza della corda = 2 √r²- D²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2×15,1

⇒ 30,2 centimetri

Problema 6: Calcola la lunghezza di una corda comune tra i cerchi di raggio rispettivamente 6 cm e 5 cm. Inoltre, la distanza tra i due centri è stata misurata pari a 8 cm.

Soluzione:

Dato

Distanza tra i due centri = 8 cm

Il raggio dei due cerchi è R₁e R₂con lunghezze rispettivamente di 6 cm e 5 cm

Ora,

Lunghezza di una corda comune di due cerchi = (2R₁×R₂) / Distanza tra due centri di cerchi

⇒ 2×5×6/8

⇒ 60/8

⇒7,5cm

Domande frequenti sull'accordo di un cerchio

Definisci accordo.

Il segmento di linea che unisce due punti sulla circonferenza del cerchio è noto come corda.

Qual è la formula della lunghezza della corda?

La formula della lunghezza della corda calcola la lunghezza di una corda in un cerchio.

La lunghezza di una corda può essere maggiore del diametro di un cerchio?

No, la lunghezza di una corda non può essere maggiore del diametro poiché il diametro è la corda più lunga del cerchio.

Come viene influenzata la lunghezza di una corda se è più vicina al centro del cerchio?

Quando la corda si avvicina al centro del cerchio, la sua lunghezza si avvicina alla lunghezza massima, cioè al diametro.

Come viene influenzata la lunghezza di una corda se è più vicina al bordo del cerchio?

Quando la corda si avvicina al bordo del cerchio, la sua lunghezza si avvicina a 0. Pertanto, la lunghezza della corda e la sua distanza dal bordo hanno una relazione inversa.

Qual è la relazione tra la lunghezza della corda e l'angolo centrale di un cerchio?

La relazione tra la lunghezza della corda e e l'angolo al centro di un cerchio è la seguente:

Lunghezza corda = 2r × sin [θ/2]

Dove,

• io è l'angolo sotteso dalla corda al centro, e
• R è il raggio del cerchio.

La formula della lunghezza della corda può essere utilizzata per qualsiasi cerchio?

Sì, la formula della lunghezza della corda può essere utilizzata per qualsiasi cerchio, purché si conoscano il raggio e l'angolo al centro.

Il diametro è una corda di un cerchio?

Sì, il diametro è una corda di un cerchio. È la corda più lunga possibile di un cerchio. È uguale al doppio del raggio del cerchio.

D = 2r

Dove,

• D è il diametro del cerchio
• R è il raggio del cerchio