Il tronco di cono è una forma speciale che si forma quando tagliamo il cono con un piano parallelo alla sua base. Il cono è una forma tridimensionale avente una base circolare e un vertice. Quindi il tronco di cono è un volume solido che si forma asportando una parte del cono con un piano parallelo alla base circolare. Il tronco non è definito solo per i coni ma può essere definito anche per i diversi tipi di piramidi (piramide quadrata, piramide triangolare, ecc.).

Alcune delle forme comuni di tronco di cono che scopriamo nella nostra vita quotidiana sono secchi, paralumi e altri. Impariamo di più sul tronco di cono in questo articolo.

Cos'è il tronco di cono?

Frustum è una parola latina, che significa pezzi, quindi tronco di cono è un pezzo solido del cono. Quando un cono circolare destro viene tagliato da un piano parallelo alla base del cono la forma così ottenuta è detta tronco di cono. La figura sotto mostra come un piano taglia il cono parallelamente alla sua base per formare il tronco del cono.

Ora, il tronco di cono è facilmente definibile come:

Se un cono circolare retto è tagliato da un piano parallelo alla sua base, la forma della porzione compresa tra il piano di taglio e il piano di base si chiama tronco di cono.

Al netto del pezzo di cono

Se una forma tridimensionale (3D) viene tagliata e trasformata in una forma bidimensionale, la forma così ottenuta viene chiamata rete. Si può supporre che quando la rete della figura è piegata correttamente in modo corretto, formi la forma 3D desiderata. L'immagine sotto riportata mostra la rete del tronco di cono.

Proprietà di un pezzo di cono

Le proprietà di un tronco di cono sono molto simili al cono, alcune delle proprietà importanti del tronco di cono sono,

• Base del cono il cono originario è contenuto nel tronco di cono ma il suo vertice non è contenuto nel tronco di cono.
• Le formule del tronco di cono dipendono dalla sua altezza e da due raggi (corrispondenti alle basi superiore e inferiore).
• L'altezza del tronco di cono è la distanza perpendicolare tra i centri delle sue due basi.

Formule del pezzo di cono

Il tronco di cono è una forma che si vede spesso nella nostra vita quotidiana, ad esempio nelle lampade da tavolo, nei secchi, ecc. Le formule importanti per il tronco di cono sono:

• Volume del pezzo di cono
• Superficie del tronco di cono

Impariamo a conoscere queste formule in dettaglio di seguito,

Volume del pezzo di cono

Il tronco di cono è una parte tagliata di un cono, dove un cono piccolo viene rimosso dal cono più grande. Pertanto, per calcolare il volume del tronco di cono basta calcolare la differenza tra il volume del cono più grande e quello del cono più piccolo.

Assumiamo,

• L'altezza totale del cono deve essere H + h
• L’altezza totale della pendenza deve essere l’ + L
• Il raggio di un cono completo è r
• Il raggio del cono affettato è r’

Poiché il volume del cono è dato come V = 1/3πr²H

Volume del cono completo V₁= 1/3πr²(H+h)

Volume del cono più piccolo V₂=1/3πr’²(H)

Ora il volume del tronco di cono (V) può essere calcolato utilizzando la formula,

V=V₁- IN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(H)

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V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Usando la proprietà di somiglianza dei triangoli di △OCD e △OAB, si può scrivere,

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = ora / r’

Sostituisci questo valore di (H+h) nell'equazione (1) e semplifica,

V = 1/3π[r²(dx / r’) – r’²(H)}

= 1/3π[{hr³– ora’³} / r’]…(2)

Utilizzando nuovamente la proprietà del triangolo simile in △OCD e △OAB, scopriremo il valore di h

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

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rh = Hr' + hr'

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Sostituendo questi valori nell'equazione (2),

V = 1/3π[{r³h-r³h} / r']

= 1/3π[{r³- R'³}h / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}{Hr' / (r – r')} / r']

= 1/3πH(r²+r'²+rr')

Così,

Volume del tronco di cono = 1/3 πH(r ² +r' ² +rr')

Superficie del tronco di cono

La superficie del tronco di cono può essere calcolata dalla differenza tra superficie del cono completo e il cono più piccolo (rimosso dal cono completo). L'area della superficie del tronco di cono può essere calcolata utilizzando il diagramma sottostante, dove è necessario sommare le aree della superficie delle superfici curve e le aree della superficie superiore e inferiore del tronco di cono.

Analogamente al Volume del tronco di cono, anche la superficie curva sarà pari alla differenza tra le superfici del cono più grande e di quella del cono più piccolo.

Nella figura sopra riportata, i triangoli OAB e OCD sono simili. Pertanto, utilizzando il criterio di somiglianza, si può scrivere,

l’ / l = r’ / r…(1)

Poiché l’ = l – L, quindi, dall’equazione (1),

(l – L) / l = r’ / r

Dopo la moltiplicazione incrociata,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

L'area della superficie curva di un cono completo = πrl

La superficie curva del cono più piccolo = πr’l’

Differenza tra le aree superficiali curve del cono completo e del cono più piccolo = π (rl – r’l’)

Pertanto, l’area della superficie curva (CSA) del tronco di cono = πl (r – r’l’/l)

Utilizzare l'equazione (1) per sostituire il valore di l'/l nell'equazione precedente e semplificare,

CSA del tronco di cono = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²- R'²)/R

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Ora, sostituisci il valore di l dall'equazione (2) e semplifica,

CSA del tronco di cono = πlr/(r – r’)× (r²- R'²)/r = πl (r + r')

Pertanto, si può scrivere,

Area della superficie curva del tronco di cono = πl (r + r’)

Calcoliamo ora l'area della superficie delle basi superiore ed inferiore del tronco di cono, in modo tale che,

La superficie della base superiore del tronco di cono di raggio r’ = πr’²

La superficie della base inferiore del tronco di cono avente raggio r = πr²

COSÌ,

Superficie totale del tronco di cono = Superficie curva del tronco di cono + superficie della base superiore + superficie della base inferiore

Perciò,

La superficie totale del tronco di cono = πl (r + r') + πr'²+πr²= πl (r + r') + π (r²+r'²)

Pertanto, la superficie totale del tronco di cono è = πl (r + r’) + π (r²+r'²)

Questa formula può anche essere scritta come,

La superficie totale del tronco di cono è = πl (r²- R'²)/r + π (r²+r'²)

Quindi, si può scrivere,

Superficie totale del tronco di cono = πl(r + r’) + π (r ² +r' ² )

O

Superficie totale del tronco di cono = πl (r ² - R' ² )/r + π (r ² +r' ² )

Si noti che l è l'altezza dell'inclinazione del cono più piccolo che può essere data come

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Per saperne di più

• Volume del cono
• Volume del cilindro
• Volume della sfera

Esempi risolti sul frammento di cono

Esempio 1: Trova il volume di un tronco di cono alto 15 cm e i raggi di entrambe le basi sono 5 cm e 8 cm.

Soluzione:

Utilizzando la formula studiata sopra, si può scrivere,

V = 1/3πH(r²+r'²+rr')

Dato,

altezza = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3π15(8²+5²+40)

V = 5π(129)

V = 645πcm³

Esempio 2: Calcola la superficie totale e la superficie totale di un tronco di cono alto 10 cm e i raggi di entrambe le basi sono 4 cm e 8 cm.

Soluzione:

Conosciamo la formula per la superficie e la superficie totale del tronco. Dobbiamo inserire i valori richiesti.

Area della superficie curva del tronco = πl(r+r’)

Dove,
L = √ [H²+ (R – dr)²]

Dato,
altezza = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Calcolando il valore di L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Area della superficie curva del tronco = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Area della superficie totale = Area della superficie curva del tronco + Area di entrambe le basi

= 48π√(29) + π(8)²+p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Esempio 3: Supponiamo di avere un secchio di metallo aperto la cui altezza è 50 cm e i raggi delle basi sono 10 cm e 20 cm. Trova l'area di lamiera metallica utilizzata per realizzare il secchio.

Soluzione:

Esempio di formato json

Il secchio ha la forma di un tronco chiuso dal fondo. Dobbiamo calcolare la superficie totale di questo tronco.

Dato
H = 50 cm
r'= 10 cm
r = 20 cm

Area della superficie curva del tronco = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Area della superficie curva del tronco = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Area della superficie totale = Area della superficie curva del tronco + Area di entrambe le basi

= 300π√(26) + π(20)²+π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

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= (300π√(26) + 500π) cm²

Esempio 4: Trova l'espressione del volume di un tronco se la sua altezza è 6y e i suoi raggi sono rispettivamente y e 2y.

Soluzione:

Utilizzando la formula studiata sopra,

V = 1/3πH(r²+r'²+rr')

Dato,

H = 6 anni
r'=y
r = 2 anni

V = 1/3π6[(2y)²+ (e)²+ (a)(2a)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³unità³

Domande frequenti su Pezzo di cono

Domanda 1: Cos'è il tronco di cono?

Risposta:

Quando tagliamo un cono in modo tale che il piano di taglio sia parallelo alla base del cono. La figura risultante così ottenuta è chiamata Frusto di Cono.

Domanda 2: Quali sono le formule del tronco di cono?

Risposta:

Le formule del tronco di cono sono discusse di seguito. Prendiamo un tronco di raggio base 'R' e raggio superiore 'r', altezza 'H' e altezza inclinata quindi,

• Volume del pezzo di cono (V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)
• Superficie totale del tronco di cono = πl (r + r’) + π (r’²+r²).

Domanda 3: Qual è il CSA di un tronco di cono?

Risposta:

La superficie curva del tronco di cono si calcola utilizzando la formula

CSA = πl (r + r')

Dove,
R' è il raggio del cerchio superiore del tronco
R è la base del raggio
l è l'altezza inclinata

Domanda 4: Qual è la superficie del tronco di cono?

Risposta:

La superficie del tronco di cono si calcola utilizzando la formula

• CSA del pezzo di cono = πl [ (r²- R'²) / R' ]
• TSA del tronco di cono = π (r²+r'²) + πl [ (r²- R'²) / R']

Domanda 5: Qual è il volume del tronco di cono?

Risposta:

Il volume del tronco di cono si calcola utilizzando la formula

• V = 1/3πh[(r³- R'³) / R']
• V = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)