Nel SAT 2016 recentemente riprogettato, il contenuto della sezione di matematica è diviso in quattro categorie dal College Board: Cuore dell'algebra, Risoluzione dei problemi e analisi dei dati, Passaporto per la matematica avanzata e Argomenti aggiuntivi in ​​matematica. Heart of Algebra rappresenta la maggior parte della sezione di matematica del SAT (33% del test) , quindi devi essere ben preparato per questo. In questo post discuterò dei contenuti e dei tipi di domande di questa categoria, risolverò problemi pratici e fornirò suggerimenti su come rispondere a queste domande.

Cuore dell'algebra: panoramica

Contenuto coperto

Proprio come suggerisce il nome, Heart of Algebra copre i contenuti di algebra, ma quali contenuti di algebra nello specifico? Queste domande riguardano:

• Equazioni lineari
• Sistema di equazioni
• Valore assoluto
• Rappresentazione grafica di equazioni lineari
• Disuguaglianze lineari e sistemi di diseguaglianze

Approfondirò ciascuna di queste aree di contenuto di seguito. Spiegherò esattamente ciò che devi sapere in ciascuna area e ti guiderò attraverso alcuni problemi pratici.

NOTA: Tutti i problemi pratici in questo articolo provengono da a vero test pratico SAT del College Board (Prova pratica n. 1).

Ti consiglio di non leggere questo articolo finché non avrai sostenuto il Test pratico n. 1 (quindi non ve lo spoilero!). Se non hai sostenuto il Test pratico n. 1, aggiungi questo articolo ai segnalibri e torna dopo averlo completato. Se hai già sostenuto il Test pratico n. 1, continua a leggere!

Ripartizione delle domande del cuore dell'algebra

Come ho detto all'inizio dell'articolo, Heart of Algebra costituisce il 33% della sezione matematica, il che significa 19 domande. Ce ne saranno otto nella sezione 3 (il test di matematica senza calcolatrice) e 11 nella sezione 4 (il test di matematica con la calcolatrice).

Le domande del Cuore di Algebra variano nella presentazione. Poiché ce ne sono così tanti, il College Board ha dovuto confondere il modo in cui ti pongono queste domande. Vedrai Domande a scelta multipla e a griglia di Heart of Algebra. Potresti semplicemente essere presentato con una o più equazioni e devono essere risolte o potresti ricevere uno scenario del mondo reale come un problema verbale e dover creare una o più equazioni per trovare la risposta.

La sezione di matematica del SAT presenta le domande in ordine di difficoltà (definito in base al tempo impiegato da uno studente medio per risolvere un problema e alla percentuale di studenti che rispondono correttamente alla domanda). Vedrai le domande di Heart of Algebra in tutta la sezione : quelli semplici e 'facili' appariranno all'inizio della scelta multipla e delle griglie, mentre quelli più impegnativi che richiedono la creazione di un'equazione o di equazioni da risolvere appariranno verso la fine.

Fornirò esempi di ciascun tipo di domanda (facile e difficile) mentre impareremo a conoscere ciascuna area di contenuto nella sezione successiva.

Siamo sulla strada per conquistare l'algebra!

Suddivisioni dell'area contenuto

Equazioni lineari

Le domande sulle equazioni lineari possono essere presentate in un paio di modi. Le domande più semplici sulle equazioni lineari ti chiederanno di risolvere un'equazione lineare che ti viene data. Le domande più difficili sulle equazioni lineari ti chiederanno di scrivere un'equazione lineare per rappresentare la situazione data.

Nessun problema pratico con la calcolatrice

Questa domanda è una delle domande del Cuore di Algebra più semplici, facili e dirette che vedrai. La domanda ti chiede semplicemente di risolvere un'equazione lineare senza situarla in una situazione del mondo reale che richiederebbe di dare un senso al contesto e all'equazione.

Risposta Spiegazione:

Poiché $k=3$, è possibile sostituire k con 3 nell'equazione, ottenendo ${x-1}/{3}=3$. Moltiplicando entrambi i lati di ${x-1}/{3}=3$ per 3 si ottiene $x-1=9$ e se aggiungi 1 a ciascun lato, il risultato è $x=10$. D è la risposta corretta.

Mancia:

Se hai difficoltà con questa domanda, potresti anche risolverla inserendo le scelte di risposta per x e vedendo quale ha funzionato. Il collegamento funzionerà ma richiederà più tempo della semplice risoluzione dell'equazione.

Se risolvi l'equazione per trovare x, puoi ricontrollare la tua risposta inserendola. Se inserisci la risposta scelta per x ed entrambi i lati dell'equazione sono uguali, sai di avere la risposta giusta!

La domanda seguente è leggermente più impegnativo poiché ti chiede di creare un'equazione lineare per rappresentare lo scenario del mondo reale che presenta.

Risposta Spiegazione:

Esistono due modi per affrontare questo problema.

Approccio 1: Il numero totale di messaggi inviati da Armand è pari alla sua frequenza di SMS (m SMS/ora) moltiplicata per le 5 ore trascorse a inviare SMS: m SMS/ora × 5 ore = $5 milioni di SMS. Allo stesso modo, il numero totale di messaggi inviati da Tyrone è uguale alla sua frequenza di SMS (p SMS/ora) moltiplicata per le 4 ore trascorse a inviare SMS: p SMS/ora × 4 ore = $4p$ SMS. Il numero totale di messaggi inviati da Armand e Tyrone è pari alla somma del numero totale di messaggi inviati da Armand e del numero totale di messaggi inviati da Tyrone: $5m+4p$. C è la risposta corretta.

Approccio 2: Scegli i numeri e collegali. Ad esempio, sceglierò i numeri e dirò che Armand invia 3 messaggi all'ora e Tyrone invia 10 messaggi all'ora. In base alle informazioni fornite, se Armand invia messaggi per 5 ore, Armand ha inviato (3 messaggi all'ora) (5 ore) messaggi o 15 messaggi; se Tyrone invia messaggi per 4 ore, Tyrone ha inviato (10 messaggi all'ora) (4 ore) messaggi o 40 messaggi. Pertanto, il numero totale di SMS inviati da Armand e Tyrone è pari a $15+40=55$ testi. Ora inserisco i numeri che ho scelto nelle opzioni di risposta e vedo se il numero di testi corrisponde a 55 testi, quindi per la risposta C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ testi. Pertanto C è la risposta corretta. NOTA: per questa domanda questa strategia è stata più lenta, ma per domande più complicate può essere un approccio più rapido e semplice.

Mancia:

Affronta questi problemi un passo alla volta. Calcola il numero totale di messaggi di testo di Armand, quindi calcola il numero totale di messaggi di testo di Tyrone e quindi combinali in un'unica espressione. Non affrettarti a saltare alla risposta finale. Potresti commettere un errore lungo la strada.

Sistemi di equazioni

Le domande sul sistema di equazioni saranno presentate in modo simile alle domande sulle equazioni lineari; Tuttavia, sono più difficili perché ora devi eseguire più passaggi e/o creare una seconda equazione.

IL sistema più semplice di domande sulle equazioni ti chiederà di risolvere per una variabile quando ti vengono fornite due equazioni con due variabili.

IL domande sul sistema di equazioni più difficili ti richiederà di scrivere un sistema di equazioni per rappresentare la situazione data e quindi risolvere una variabile utilizzando le equazioni che hai creato.

Nessun problema pratico con la calcolatrice

Questa domanda è probabilmente la sistemi di domande di equazioni più semplici, più facili e più diretti che vedrai. Imposta le equazioni per te e ti chiede semplicemente di risolvere x.

Risposta Spiegazione:

Sottraendo i lati sinistro e destro di $x+y=−9$ dai lati corrispondenti di $x+2y =−25$ si ottiene $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , che equivale a $y=−16$. Sostituendo $−16$ con $y$ in $x+y=−9$ si ottiene $x+(−16)=−9$, che equivale a $x=−9−(−16) =7$. La risposta corretta è 7.

Mancia:

Il collegamento potrebbe essere una buona opzione se ti viene data questa domanda nella scelta multipla (che non è il caso in questo caso). Tuttavia, avresti potuto anche inserire la tua risposta per ricontrollare il tuo lavoro!

Ecco un'altra domanda sul sistema di equazioni abbastanza semplice, ma lo è leggermente più difficile poiché è necessario fornire la risposta sia per x che per y (il che crea maggiori possibilità di errore).

Risposta Spiegazione:

Aggiungendo x e 19 a entrambi i lati di $2y−x=−19$ si ottiene $x=2y+19$. Quindi, sostituendo x $2y+19$ in $3x+4y=−23$ si ottiene $3(2y + 19)+4y=−23$. Quest'ultima equazione è equivalente a $10y+57=−23$. Risolvendo $10y+57=−23$ si ottiene $y=−8$. Infine, sostituendo y con −8 in $2y−x=−19$ si ottiene $2(−8)−x=−19$, ovvero $x=3$. Pertanto, la soluzione $(x, y)$ del sistema di equazioni dato è $(3, −8)$.

Mancia:

Anche collegarsi sarebbe stato un modo rapido per risolvere questo problema! Quando ti viene chiesto di risolvere entrambe le variabili in una domanda di sistema di equazioni, prova sempre a collegarti!

Quello che segue è a po' più difficile. Anche se ti vengono fornite le equazioni, devi comunque determinare cosa ti chiede la domanda (quale variabile devi risolvere), il che è leggermente più impegnativo poiché ti pone la domanda utilizzando uno scenario del mondo reale. Inoltre, devi risolverlo usando la matematica mentale (poiché si trova nella sezione senza calcolatrice).

Risposta Spiegazione:

Per determinare il prezzo per libbra di manzo quando era uguale al prezzo per libbra di pollo, determina il valore di x (il numero di settimane dopo il 1° luglio) quando i due prezzi erano uguali. I prezzi erano uguali quando $b=c$; cioè quando $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Quest'ultima equazione equivale a $0,60=0,15x$, quindi $x={0,6}/{0,15}=4$. Quindi, per determinare $b$, il prezzo per libbra di carne bovina, sostituisci $x$ con 4 in $b=2,35+0,25x$, ottenendo $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dollari per libbra. Pertanto D è la risposta corretta.

Mancia:

Prenditi il ​​tuo tempo per lavorare su ogni passaggio. È facile commettere un piccolo errore e ottenere la risposta sbagliata.

Problema pratico con la calcolatrice

Quella che segue è una delle domande più difficili del Cuore di Algebra. In base allo scenario del mondo reale che ti viene fornito nella domanda, devi creare due equazioni e poi risolverle.

Risposta Spiegazione:

Per determinare il numero di insalate vendute, scrivi e risolvi un sistema di due equazioni. Sia $x$ uguale al numero di insalate vendute e $y$ uguale al numero di bevande vendute. Poiché il numero di insalate più il numero di bevande vendute è pari a 209, deve valere l’equazione $x+y=209$. Poiché ogni insalata costa 6,50, ogni bibita costa 2,00 e il ricavo totale è pari a 836,50, deve valere anche l’equazione $6,50x+2,00y=836,50$. L'equazione $x+y=209$ equivale a $2x+2y=418$ e sottraendo ciascun lato di $2x+2y=418$ dal rispettivo lato di $6,50x+2,00y=836,50$ si ottiene $4,5x=418,50 $. Pertanto, il numero di insalate vendute x era $x={418,50}/{4,50}=93$. Pertanto, B è la risposta corretta.

Mancia:

Affronta questi problemi un passo alla volta. Scrivi l'equazione per il numero totale di insalate e bevande vendute, quindi calcola l'equazione per le entrate e infine risolvi. Non avere fretta o potresti commettere un errore.

Valore assoluto

Solitamente ci sarà solo una domanda sul valore assoluto nella sezione matematica SAT. La domanda è solitamente piuttosto semplice e diretta, ma richiede che tu conosca le regole del valore assoluto per rispondere correttamente. Tutto ciò che è un valore assoluto sarà racchiuso tra segni di valore assoluto che assomigliano a questo: || Ad esempio, $|-4|$ o $|x-1|$

Un valore assoluto è una rappresentazione della distanza lungo una linea numerica, in avanti o all'indietro.

Ciò significa che tutto ciò che è nel segno del valore assoluto diventerà positivo poiché rappresenta la distanza lungo una linea numerica ed è impossibile avere una distanza negativa. Ad esempio, sulla linea numerica sopra, -2 è lontano 2 da 0. Qualsiasi cosa all'interno del valore assoluto diventa positiva.

Ciò significa anche che un'equazione di valore assoluto avrà sempre due soluzioni . Ad esempio, $|x-1|=2$ avrà due soluzioni $x-1=2$ e $x-1=-2$. Quindi, risolvi ciascuna equazione separata per trovare le due soluzioni, $x=3,-1$.

Quando si lavora su problemi di valore assoluto, ricorda che devi creare due soluzioni separate, quella positiva e quella negativa, come abbiamo fatto sopra.

Problema pratico con la calcolatrice

Risposta Spiegazione:

Se il valore di $|n−1|+1$ è uguale a 0, allora $|n−1|+1=0$. Sottraendo 1 da entrambi i lati di questa equazione si ottiene $|n−1|=−1$. L'espressione $|n−1|$ sul lato sinistro dell'equazione è il valore assoluto di $n−1$ e, come ho appena detto, il valore assoluto non può mai essere un numero negativo poiché rappresenta la distanza. Quindi $|n−1|=−1$ non ha soluzione. Pertanto, non esistono valori per n per i quali il valore di $|n−1|+1$ sia uguale a 0. D è la risposta corretta.

Mancia:

Ricordatevi le regole di assoluto valore (è sempre positivo!). Se ricordi le regole, dovresti rispondere correttamente alla domanda!

Rappresentazione grafica di equazioni lineari

Queste domande mettono alla prova la tua capacità di leggere un grafico e interpretarlo nella forma $y=mx+b$. Un rapido ripasso: $y=mx+b$ è l'equazione dell'intercetta della pendenza di una linea, dove m rappresenta la pendenza e b rappresenta l'intercetta y.

In queste domande, in genere ti verrà presentato il grafico di una linea e dovrai determinare quali sono la pendenza e l'intercetta y per scrivere l'equazione della linea.

Problema pratico con la calcolatrice

Risposta Spiegazione:

La relazione tra h e C è rappresentata da qualsiasi equazione della linea data. L'intercetta C della retta è 5. Poiché i punti $(0, 5)$ e $(1, 8)$ giacciono sulla retta, la pendenza della retta è ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Pertanto, la relazione tra h e C può essere rappresentata da $C=3h+5$, l'equazione pendenza-intercetta della retta. C è la risposta corretta.

Mancia:

Tieni a mente la forma dell'intercetta della pendenza ($y=mx+b$) e l'equazione della pendenza $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Scopri il significato di ciascuna variabile nelle equazioni. Se sai tutto questo, dovresti essere in grado di risolvere qualsiasi problema di equazione lineare che ti viene assegnato.

Disuguaglianze lineari e sistemi di disequazioni lineari

Questi sono probabilmente le domande più impegnative del Cuore di Algebra perché molti studenti hanno difficoltà quando le variabili si combinano con le disuguaglianze. Se hai bisogno di un ripasso rapido ma approfondito sulle disuguaglianze, consulta la nostra guida alle disuguaglianze.

Queste domande in genere appaiono verso la fine della scelta multipla e delle griglie in ciascuna sezione. Queste domande verranno presentate come semplici disuguaglianze già impostate (non ti verrà chiesto di creare disuguaglianze né ti verrà presentato uno scenario del mondo reale che utilizza le disuguaglianze). Sebbene siano presentate in modo semplice, queste domande sono impegnative ed è facile commettere errori, quindi prenditi il ​​tuo tempo!

Problemi pratici con la calcolatrice

Risposta Spiegazione:

Sottraendo $3x$ e aggiungendo 3 a entrambi i lati di $3x−5≥4x−3$ si ottiene $−2≥x$. Pertanto, x è una soluzione di $3x−5≥4x−3$ se e solo se x è minore o uguale a −2 e x NON è una soluzione di $3x−5≥4x−3$ se e solo se x è maggiore di −2. Delle scelte date, solo −1 è maggiore di −2 e, quindi, non può essere un valore di x. A è la risposta corretta.

Potresti anche provare a rispondere inserendo le opzioni di risposta e vedendo quale non ha funzionato. Se inserisci A nella disuguaglianza, otterrai $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Semplificando la disuguaglianza, otterresti -8≥-7, il che non è vero, quindi A è la risposta corretta.

Mancia

Ricordate le regole delle disuguaglianze! Prenditi il ​​tempo necessario per eseguire ogni passaggio in modo da non commettere errori. Inoltre, ricorda di provare a inserire le opzioni di risposta per trovare la risposta corretta!

Diamo un'occhiata a un altro esempio.

Risposta Spiegazione:

Poiché (0, 0) è una soluzione al sistema di disuguaglianze, sostituendo 0 con x e 0 con y nel sistema dato deve risultare in due vere disuguaglianze. Dopo questa sostituzione, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>B. Quindi a è positivo e b è negativo. Pertanto a > b. La scelta A è corretta.

Mancia:

Tratta questo sistema di disuguaglianze con quattro variabili nello stesso modo in cui tratteresti un sistema di disuguaglianze con due variabili. Ricorda che se (0,0) è una soluzione significa che quando x=0, y=0.

4 strategie chiave per Heart of Algebra

Ho intervallato le strategie per affrontare queste domande in tutto questo articolo nelle sezioni 'suggerimenti', ma le riassumerò qui ora.

Strategia n. 1: memorizzare le regole e la formula

È necessario conoscere le regole delle disuguaglianze, le regole del valore assoluto e la formula per la versione con pendenza dell'intercetta di una linea ($y=mx+b$) per rispondere correttamente a questi tipi di domande di algebra. Senza le regole e la formula, queste domande sono praticamente impossibili.

Se hai bisogno di ulteriore assistenza con uno qualsiasi dei concetti, consulta le nostre guide approfondite su equazioni lineari, sistemi di equazioni, valore assoluto, forma della pendenza dell'intercetta e disuguaglianze lineari e sistemi di disuguaglianze.

Strategia n. 2: inserire le risposte

Nelle domande a scelta multipla, dovresti controlla sempre se riesci a inserire le scelte di risposta alle equazioni o alle disuguaglianze specificate per trovare la risposta corretta . A volte questo approccio sarà molto più semplice che provare a risolvere l'equazione.

Anche se ritieni che inserire le risposte ti rallenti, dovresti almeno considerare di usarlo per controllare il tuo lavoro. Inserisci la scelta della risposta che trovi e vedi se si traduce in un'equazione equilibrata o corregge le disuguaglianze. Se è così, sai di avere la risposta corretta!

Mettilo dentro! Mettilo dentro!

Strategia n. 3: collegare i numeri

Se inserire le risposte non è una possibilità, inserire i numeri è spesso una possibilità, come nella domanda 2 sopra. Quando scegli i numeri da inserire, in generale, non consiglio di utilizzare -1, 0 o 1 (poiché possono portare a risposte errate) e assicurati di leggere la domanda per vedere quali numeri dovresti scegliere. Ad esempio, nella domanda 2, i numeri rappresentavano il numero di SMS inviati, quindi non dovresti utilizzare un numero negativo per rappresentare il numero di SMS poiché è impossibile inviare un numero negativo di SMS.

Per le disuguaglianze questo è particolarmente importante, spesso la domanda dirà 'quanto segue è vero per tutti $x>0$'. Se è così, non puoi inserire 0 o -5; puoi inserire solo numeri maggiori di 0 poiché questo è il parametro impostato dalla domanda.

Strategia n. 4: lavorare un passo alla volta

Per le domande di Heart of Algebra, devi dedicare il tuo tempo a elaborare ogni passaggio. Queste domande possono comportare 5, 10, 15 passaggi e devi prenderti il ​​tempo necessario per assicurarti di non commettere un piccolo errore nel passaggio 3 che comporterà una risposta errata. Sai il fatto tuo, quindi non lasciare che i piccoli errori ti facciano perdere punti!

Qual è il prossimo?

Ora che sai cosa aspettarti dalle domande di Heart of Algebra, assicurati di essere preparato tutti gli altri argomenti di matematica lo vedrai al SAT. Tutte le nostre guide di matematica ti guideranno attraverso strategie e problemi pratici per tutti gli argomenti trattati nella sezione matematica, dagli interi ai rapporti, dai cerchi ai poligoni (e altro ancora!).

Ti senti in ansia per il giorno del test? Assicurati di sapere esattamente cosa fare e di rilassarti la mente e calmare i nervi prima che sia il momento di sostenere il tuo SAT.

Non hai più tempo nella sezione matematica del SAT? Non cercare oltre la nostra guida per aiutarti a battere il tempo e massimizzare il tuo punteggio di matematica SAT.

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