Dato un grafo Euleriano orientato il compito è stampare un Circuito di Eulero . Un circuito di Eulero è un percorso che attraversa ogni bordo di un grafico esattamente una volta e termina sul vertice iniziale.
Nota: Il grafico dato contiene un circuito di Eulero.
Esempio:
Input: grafico diretto
Produzione: 0 3 4 0 2 1 0
Prerequisiti:
- Abbiamo discusso di problema di scoprire se un dato grafo è euleriano oppure no per un grafico non orientato
- Condizioni per un circuito Euleriano in un Grpag Diretto: (1) Tutti i vertici appartengono ad un'unica componente fortemente connessa. (2) Tutti i vertici hanno lo stesso grado di entrata e di uscita. Si noti che per un grafo non orientato la condizione è diversa (tutti i vertici hanno grado pari)
Approccio:
- Scegli qualsiasi vertice iniziale v e segui una scia di spigoli da quel vertice fino a tornare a v. Non è possibile rimanere bloccati in qualsiasi vertice diverso da v perché il grado inverso e quello esterno di ogni vertice devono essere uguali quando la traccia entra in un altro vertice w deve esserci un bordo inutilizzato che esce da w. Il tour così formato è un tour chiuso ma potrebbe non coprire tutti i vertici e gli spigoli del grafo iniziale.
- Finché esiste un vertice u che appartiene al giro attuale ma che ha bordi adiacenti non facenti parte del giro iniziare un altro percorso da u seguendo i bordi inutilizzati fino a ritornare a u e unire il giro così formato al giro precedente.
Illustrazione:
Prendendo l'esempio del grafico sopra con 5 nodi: adj = {{2 3} {0} {1} {4} {0}}.
- Inizia dal vertice 0 :
- Percorso corrente: [0]
- Circuito: []
- Vertice 0 → 3 :
- Percorso corrente: [0 3]
- Circuito: []
- Vertice 3 → 4 :
- Percorso corrente: [0 3 4]
- Circuito: []
- Vertice 4 → 0 :
- Percorso corrente: [0 3 4 0]
- Circuito: []
- Vertice 0 → 2 :
- Percorso corrente: [0 3 4 0 2]
- Circuito: []
- Vertice 2 → 1 :
- Percorso corrente: [0 3 4 0 2 1]
- Circuito: []
- Vertice 1 → 0 :
- Percorso corrente: [0 3 4 0 2 1 0]
- Circuito: []
- Ritorno al vertice 0 : aggiunge 0 al circuito.
- Percorso corrente: [0 3 4 0 2 1]
- Circuito: [0]
- Ritorno al vertice 1 : Aggiungere 1 al circuito.
- Percorso corrente: [0 3 4 0 2]
- Circuito: [0 1]
- Ritorno al vertice 2 : Aggiungere 2 al circuito.
- Percorso corrente: [0 3 4 0]
- Circuito: [0 1 2]
- Ritorno al vertice 0 : aggiunge 0 al circuito.
- Percorso corrente: [0 3 4]
- Circuito: [0 1 2 0]
- Ritorno al vertice 4 : Aggiungere 4 al circuito.
- Percorso corrente: [0 3]
- Circuito: [0 1 2 0 4]
- Ritorno al vertice 3 : Aggiungere 3 al circuito.
- Percorso corrente: [0]
- Circuito: [0 1 2 0 4 3]
- Ritorno al vertice 0 : aggiunge 0 al circuito.
- Percorso corrente: []
- Circuito: [0 1 2 0 4 3 0]
Di seguito è riportata l'implementazione dell'approccio di cui sopra:
C++// C++ program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm #include
// Java program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm import java.util.*; class GfG { // Function to print Eulerian circuit static List<Integer> printCircuit(List<List<Integer>> adj) { int n = adj.size(); if (n == 0) return new ArrayList<>(); // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 List<Integer> currPath = new ArrayList<>(); currPath.add(0); // list to store final circuit List<Integer> circuit = new ArrayList<>(); while (currPath.size() > 0) { int currNode = currPath.get(currPath.size() - 1); // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj.get(currNode).size() > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex int nextNode = adj.get(currNode).get(adj.get(currNode).size() - 1); adj.get(currNode).remove(adj.get(currNode).size() - 1); // Push the new vertex to the stack currPath.add(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.add(currPath.get(currPath.size() - 1)); currPath.remove(currPath.size() - 1); } } // reverse the result vector Collections.reverse(circuit); return circuit; } public static void main(String[] args) { List<List<Integer>> adj = new ArrayList<>(); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(2 3))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(0))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(1))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(4))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(0))); List<Integer> ans = printCircuit(adj); for (int v : ans) System.out.print(v + ' '); System.out.println(); } }
# Python program to print Eulerian circuit in given # directed graph using Hierholzer algorithm # Function to print Eulerian circuit def printCircuit(adj): n = len(adj) if n == 0: return [] # Maintain a stack to keep vertices # We can start from any vertex here we start with 0 currPath = [0] # list to store final circuit circuit = [] while len(currPath) > 0: currNode = currPath[-1] # If there's remaining edge in adjacency list # of the current vertex if len(adj[currNode]) > 0: # Find and remove the next vertex that is # adjacent to the current vertex nextNode = adj[currNode].pop() # Push the new vertex to the stack currPath.append(nextNode) # back-track to find remaining circuit else: # Remove the current vertex and # put it in the circuit circuit.append(currPath.pop()) # reverse the result vector circuit.reverse() return circuit if __name__ == '__main__': adj = [[2 3] [0] [1] [4] [0]] ans = printCircuit(adj) for v in ans: print(v end=' ') print()
// C# program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm using System; using System.Collections.Generic; class GfG { // Function to print Eulerian circuit static List<int> printCircuit(List<List<int>> adj) { int n = adj.Count; if (n == 0) return new List<int>(); // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 List<int> currPath = new List<int> { 0 }; // list to store final circuit List<int> circuit = new List<int>(); while (currPath.Count > 0) { int currNode = currPath[currPath.Count - 1]; // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj[currNode].Count > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex int nextNode = adj[currNode][adj[currNode].Count - 1]; adj[currNode].RemoveAt(adj[currNode].Count - 1); // Push the new vertex to the stack currPath.Add(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.Add(currPath[currPath.Count - 1]); currPath.RemoveAt(currPath.Count - 1); } } // reverse the result vector circuit.Reverse(); return circuit; } static void Main(string[] args) { List<List<int>> adj = new List<List<int>> { new List<int> { 2 3 } new List<int> { 0 } new List<int> { 1 } new List<int> { 4 } new List<int> { 0 } }; List<int> ans = printCircuit(adj); foreach (int v in ans) { Console.Write(v + ' '); } Console.WriteLine(); } }
// JavaScript program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm // Function to print Eulerian circuit function printCircuit(adj) { let n = adj.length; if (n === 0) return []; // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 let currPath = [0]; // list to store final circuit let circuit = []; while (currPath.length > 0) { let currNode = currPath[currPath.length - 1]; // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj[currNode].length > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex let nextNode = adj[currNode].pop(); // Push the new vertex to the stack currPath.push(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.push(currPath.pop()); } } // reverse the result vector circuit.reverse(); return circuit; } let adj = [[2 3] [0] [1] [4] [0]]; let ans = printCircuit(adj); for (let v of ans) { console.log(v ' '); }
Produzione
0 3 4 0 2 1 0
Complessità temporale: O(V + E) dove V è il numero di vertici ed E è il numero di archi nel grafico. La ragione di ciò è che l'algoritmo esegue una ricerca in profondità (DFS) e visita ciascun vertice e ciascun bordo esattamente una volta. Quindi per ogni vertice occorre O(1) tempo per visitarlo e per ogni spigolo occorre O(1) tempo per attraversarlo.
Complessità dello spazio: O(V + E) poiché l'algoritmo utilizza uno stack per memorizzare il percorso corrente e una lista per memorizzare il circuito finale. La dimensione massima dello stack può essere nel peggiore dei casi V + E, quindi la complessità dello spazio è O (V + E).
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