Nella semplificazione dell'espressione booleana, le leggi e le regole dell'algebra booleana giocano un ruolo importante. Prima di comprendere queste leggi e regole dell'algebra booleana, comprendere il concetto di addizione e moltiplicazione delle operazioni booleane.

Addizione booleana

L'operazione di addizione dell'algebra booleana è simile all'operazione OR. Nei circuiti digitali, l'operazione OR viene utilizzata per calcolare il termine somma, senza utilizzare l'operazione AND. A + B, A + B', A + B + C' e A' + B + + D' sono alcuni degli esempi di 'termine somma'. Il valore del termine somma è vero quando uno o più valori letterali sono veri e falso quando tutti i valori letterali sono falsi.

Moltiplicazione booleana

L'operazione di moltiplicazione dell'algebra booleana è simile all'operazione AND. Nei circuiti digitali, l'operazione AND calcola il prodotto, senza utilizzare l'operazione OR. AB, AB, ABC e ABCD sono alcuni degli esempi del termine prodotto. Il valore del termine prodotto è vero quando tutti i letterali sono veri e falso quando uno qualsiasi dei letterali è falso.

Leggi dell'algebra booleana

Esistono le seguenti leggi dell’algebra booleana:

Diritto commutativo

Questa legge afferma che non importa in quale ordine utilizziamo le variabili. Ciò significa che l'ordine delle variabili non ha importanza. Nell'algebra booleana le operazioni OR e addizione sono simili. Nel diagramma seguente, la porta OR mostra che l'ordine delle variabili di input non ha alcuna importanza.

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Per due variabili, la legge commutativa dell'addizione si scrive come:

Per due variabili, la legge commutativa della moltiplicazione si scrive come:

Diritto associativo

Questa legge afferma che l'operazione può essere eseguita in qualsiasi ordine quando la priorità delle variabili è la stessa. Poiché '*' e '/' hanno la stessa priorità. Nello schema seguente, la legge associativa viene applicata alla porta OR a 2 ingressi.

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Per tre variabili, la legge associativa dell'addizione è scritta come:

Per tre variabili, la legge associativa della moltiplicazione si scrive come:

Secondo questa legge, non importa in quale ordine le variabili vengono raggruppate quando si mette in AND più di due variabili. Nello schema seguente, la legge associativa viene applicata alla porta AND a 2 ingressi.

Diritto distributivo:

Secondo questa legge, se eseguiamo l'operazione OR di due o più variabili e poi eseguiamo l'operazione AND del risultato con una singola variabile, il risultato sarà simile all'esecuzione dell'operazione AND di quella singola variabile con due o più variabili ciascuna. variabile e quindi eseguire l'operazione OR di quel prodotto. Questa legge spiega il processo di factoring.

Per tre variabili la legge distributiva si scrive come:

Regole dell'algebra booleana

Esistono le seguenti regole dell'algebra booleana, che vengono utilizzate principalmente per manipolare e semplificare le espressioni booleane. Queste regole svolgono un ruolo importante nella semplificazione delle espressioni booleane.

Regola 1: A + 0 = A

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione OR con 0, il risultato sarà lo stesso della variabile di input. Quindi, se il valore della variabile è 1, il risultato sarà 1, e se il valore della variabile è 0, il risultato sarà 0. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

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Regola 2: (A + 1) = 1

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione OR con 1, il risultato sarà sempre 1. Quindi, se il valore della variabile è 1 o 0, il risultato sarà sempre 1. Diagrammaticamente , questa regola può essere definita come:

Regola 3: (A.0) = 0

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione AND con 0, il risultato sarà sempre 0. Questa regola afferma che una variabile di input ANDed con 0 è sempre uguale a 0. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

bf e df

Regola 4: (A.1) = A

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione AND con 1, il risultato sarà sempre uguale alla variabile di input. Questa regola afferma che una variabile di input con AND con 1 è sempre uguale alla variabile di input. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

Regola 5: (A + A) = A

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione OR con la stessa variabile, il risultato sarà sempre uguale alla variabile di input. Questa regola afferma che una variabile di input ORed con se stessa è sempre uguale alla variabile di input. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

Regola 6: (A + A') = 1

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione OR con il complemento di quella variabile, il risultato sarà sempre uguale a 1. Questa regola afferma che una variabile OR con il suo complemento è uguale a 1 Sempre. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

Regola 7: (A.A) = A

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione AND con la stessa variabile, il risultato sarà sempre uguale solo a quella variabile. Questa regola afferma che una variabile AND con se stessa è sempre uguale alla variabile di input. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

Regola 8: (A.A') = 0

Supponiamo; abbiamo una variabile di input A il cui valore è 0 o 1. Quando eseguiamo l'operazione AND con il complemento di quella variabile, il risultato sarà sempre uguale a 0. Questa regola afferma che una variabile AND con il suo complemento è uguale a 0 Sempre. Diagrammaticamente, questa regola può essere definita come:

Regola 9: A = (A')'

Questa regola afferma che se eseguiamo il doppio complemento della variabile, il risultato sarà lo stesso della variabile originale. Quindi, quando eseguiamo il complemento della variabile A, il risultato sarà A'. Inoltre se eseguiamo nuovamente il complemento di A', otterremo A, che è la variabile originaria.

Regola 10: (A + AB) = A

Possiamo dimostrare questa regola utilizzando la regola 2, la regola 4 e la legge distributiva come:

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Regola 11: A + AB = A + B

Possiamo dimostrare questa regola utilizzando le regole di cui sopra come:

Regola 12: (A + B)(A + C) = A + BC

Possiamo dimostrare questa regola utilizzando le regole di cui sopra come: