La regola del quoziente è un metodo per trovare la derivata di una funzione che è il quoziente di altre due funzioni. È un metodo utilizzato per differenziare i problemi in cui una funzione è divisa da un'altra. Usiamo la regola del quoziente quando dobbiamo trovare la derivata di una funzione della forma: f(x)/g(x).

Impariamo a conoscere la regola del quoziente nel calcolo, la sua formula e derivazione, con l'aiuto di esempi risolti.

Definizione della regola del quoziente

La regola del quoziente è la regola di differenziazione di quelle funzioni che sono date sotto forma di frazioni , dove entrambi numeratore E denominatore sono funzioni individuali. La regola del quoziente è una tecnica fondamentale in calcolo per trovare la derivata di una funzione che è il quoziente (rapporto) di due funzioni differenziabili . Fornisce un metodo per differenziare le espressioni in cui una funzione è divisa da un'altra.

Supponiamo che ci venga data una funzione f(x) = g(x)/h(x), quindi the differenziazione di f(x), f'(x) si trova come,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Formula della regola del quoziente

La formula della regola del quoziente è la formula utilizzata per trovare la derivazione della funzione espressa come funzione quoziente. Di seguito è riportata la formula della regola del quoziente:

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Dove,

• u(x) è la prima funzione che è una funzione differenziabile,
• u'(x) è la derivata della funzione u(x),
• v(x) è la seconda funzione che è una funzione differenziabile, e
• v'(x) è la derivata della funzione v(x).

Dimostrazione della regola del quoziente

Possiamo ricavare la regola del quoziente utilizzando i seguenti metodi:

• Utilizzo della regola della catena
• Utilizzo della differenziazione implicita
• Utilizzo delle proprietà derivative e limite

Ora impariamo a conoscerli in dettaglio.

Derivazione della regola del quoziente utilizzando la regola della catena

Provare: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Dato: H(x) = f(x)/g(x)

Prova:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Utilizzando la regola del prodotto,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Applicando la regola del potere,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Pertanto la regola del quoziente è dimostrata.

Per saperne di più:

• Regola di derivazione

Derivazione della regola del quoziente utilizzando la derivazione implicita

Prendiamo una funzione differenziabile f(x), tale che f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

utilizzando la regola del prodotto,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Ora risolviamo per f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Sostituendo il valore di f(x) come, f(x) = u(x)/v(x)

attore di ariete

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Pertanto la regola del quoziente è dimostrata.

Per saperne di più

• Differenziazione implicita

Derivazione della regola del quoziente mediante proprietà derivativa e limite

Prendiamo una funzione differenziabile f(x) tale che f(x) = u(x)/v(x),

Lo sappiamo,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Sostituendo il valore di f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Distribuire il limite,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/pollice²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/pollice²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Qual è la regola del quoziente richiesta.

Per saperne di più

• Proprietà dei limiti
• Regole dei derivati

Come utilizzare la regola del quoziente nella differenziazione?

Per applicare la regola del quoziente, seguiamo i seguenti passaggi,

Passo 1: Scrivi le singole funzioni come u(x) e v(x).

Passo 2: Trova la derivata della singola funzione u(x) e v(x), cioè trova u'(x) e v'(x). Ora applica la formula della regola del quoziente,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Passaggio 3: Semplifica l'equazione precedente e ottieni la differenziazione di f(x).

Possiamo comprendere questo concetto con l'aiuto di un esempio.

Esempio: Trova f'(x) se f(x) = 2x ³ /(x+2)

Dato,

f(x) = 2x³/(x+2)

Confrontando con f(x) = u(x)/v(x), otteniamo

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Ora differenziamo u(x) e v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Usando la regola del quoziente,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+12x²​​​​)/(x + 1)²

Regola del prodotto e del quoziente

La regola del prodotto di differenziazione viene utilizzata per trovare la differenziazione di una funzione quando la funzione è data come prodotto di due funzioni.

Regola di differenziazione del prodotto afferma che , se P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Mentre il regola di differenziazione del quoziente è usato per differenziare una funzione rappresentata come divisione di due funzioni, cioè f(x) = p(x)/q(x).

Quindi la derivazione di f(x) utilizzando il regola del quoziente è calcolato come,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Devi leggere

• Regola del prodotto nel calcolo
• Regola di derivazione
• Formula di differenziazione e integrazione
• Differenziazione logaritmica
• Fondamenti di calcolo infinitesimale
• Applicazione dei derivati

Esempi di regole del quoziente

Risolviamo alcune domande di esempio sulla regola del quoziente.

Esempio 1: Differenziare old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Soluzione:

Sia le funzioni Numeratore che Denominatore sono differenziabili.

Applicazione della regola del quoziente,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Esempio 2: Differenziare, f(x) = tan x.

Soluzione:

tan x è scritto come sinx/cosx, cioè

abbronzatura x = (peccato x) / (cos x)

Sia le funzioni Numeratore che Denominatore sono differenziabili.

Applicazione della regola del quoziente,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Esempio 3: Differenziare, f(x)= e ^X /X ²

Soluzione:

Sia le funzioni Numeratore che Denominatore sono differenziabili.

Applicazione della regola del quoziente,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Esempio 4: Differenziare, y=frac{cosx}{x^2}

Soluzione:

Sia le funzioni Numeratore che Denominatore sono differenziabili.

Applicazione della regola del quoziente,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Esempio 5: Differenziare, f(p) = p+5/p+7

Soluzione:

Sia le funzioni Numeratore che Denominatore sono differenziabili.

Applicazione della regola del quoziente,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problemi pratici

Ecco alcuni problemi pratici da risolvere sulla regola del quoziente.

P1. Trovare la derivata di f(x) = (x ² + 3)/(senza x)

P2. Trovare la derivata di f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Trova la derivata di f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Trova la derivata di f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Regola del quoziente della derivata – Domande frequenti

Qual è la regola di differenziazione del quoziente?

La regola di differenziazione del quoziente è la regola utilizzata per trovare la differenziazione della funzione data nella forma quoziente, cioè una funzione data come divisione di due funzioni.

Cos'è la formula della regola del quoziente?

La formula della regola del quoziente è:

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

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Questa formula fornisce la differenziazione della funzione rappresentata come f(x)/g(x).

Come derivare la formula della regola del quoziente?

La regola del quoziente può essere derivata utilizzando tre metodi,

• Per proprietà derivate e limite
• Per differenziazione implicita
• Secondo la regola della catena

Come utilizzare la regola del quoziente?

La regola del quoziente viene utilizzata per trovare la differenziazione della funzione espressa come divisione di due funzioni che include tutte le funzioni della forma f(x) e g(x) in modo tale che esista la differenziazione individuale di f(x) e g(x) e g(x) non può mai essere zero.

Come si trova la derivata di una funzione di divisione?

La derivata della funzione di divisione si trova facilmente utilizzando la formula della regola del quoziente, cioè se dobbiamo trovare la derivazione di H(x) tale che H(x) sia espresso come H(x) = f(x)/g(x) quindi la sua derivata è espressa come,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Qual è la regola del limite del quoziente?

La regola del quoziente per i limiti afferma che il limite di una funzione quoziente è uguale al quoziente del limite di ciascuna funzione.