Formula del vertice di una parabola: Il punto in cui si intersecano la parabola e il suo asse di simmetria si chiama vertice della parabola. Serve per determinare le coordinate del punto dell'asse di simmetria della parabola nel punto in cui questa lo attraversa. Per l'equazione standard di una parabola y = ax²+ bx + c, il punto del vertice è la coordinata (h, k). Se il coefficiente di x²nell'equazione è positivo (a> 0), allora il vertice si trova in basso altrimenti si trova in alto.

In questo articolo, discuteremo il vertice di una parabola, la sua formula, derivazione della formula ed esempi risolti su di essa.

Tabella dei contenuti

• Proprietà del vertice di una parabola
• Vertice di una formula parabola
• Formula di derivazione del vertice di una parabola
• Esempi di problemi sul vertice di una formula parabola

Vertice di una parabola

Proprietà del vertice di una parabola

• Il vertice di ogni parabola è il suo punto di svolta.
• La derivata della funzione parabola al suo vertice è sempre zero.
• Una parabola aperta nella parte superiore o inferiore ha un massimo o un minimo al vertice.
• Il vertice di una parabola aperta sinistra o destra non è né un massimo né un minimo della parabola.
• Il vertice è il punto di intersezione tra la parabola e il suo asse di simmetria.

Vertice di una formula parabola

Per la forma del vertice della parabola, y = a(x – h)²+ k, le coordinate (h, k) del vertice sono,

(h, k) = (-b/2a, -D/4a)

Dove,

a è il coefficiente di x²,

b è il coefficiente di x,

D = b²– 4ac è il discriminante della forma standard y = ax²+ bx + c.

Formula di derivazione del vertice di una parabola

Supponiamo di avere una parabola con l'equazione standard come, y = ax²+ bx + c.

Questo può essere scritto come,

y – c = asse²+bx

y – c = a(x²+ bx/a)

Addizione e sottrazione b²/4a²sulla destra, otteniamo

y – c = a(x²+ bx/a + b²/4a²- B²/4a²)

y – c = a ((x + b/2a)²- B²/4a²)

y – c = a (x + b/2a)²- B²/4a

y = un (x + b/2a)²- B²/4a+c

y = un (x + b/2a)²- (B²/4a – c)

y = un (x + b/2a)²- (B²– 4ac)/4a

Sappiamo che D = b²– 4ac, quindi l’equazione diventa,

y = un (x + b/2a)²– D/4a

Confrontando l'equazione precedente con la forma del vertice y = a(x – h)²+ k, otteniamo

h = -b/2a e k = -D/4a

Ciò deriva la formula per le coordinate del vertice di una parabola.

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• Equazione standard di una parabola con esempi

Esempi di problemi sul vertice di una formula parabola

Problema 1. Trova le coordinate del vertice della parabola y = 2x ² +4x-4.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = 2x²+4x-4.

Qui a = 2, b = 4 e c = -4.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b²– 4ac.

D = (4)²– 4 (2) (-4)

= 16 + 32

= 48

Quindi, x – coordinata del vertice = -4/2(2) = -4/4 = -1.

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y – coordinata del vertice = -48/4(2) = -48/8 = -6

Quindi il vertice della parabola è (-1, -6).

Problema 2. Trova le coordinate del vertice della parabola y = 3x ² +5x-2.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = 3x²+5x-2.

Qui a = 3, b = 5 e c = -2.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b²– 4ac.

D = (5)²– 4 (3) (-2)

= 25 + 24

= 49

Quindi, x – coordinata del vertice = -5/2(3) = -5/6

y – coordinata del vertice = -49/4(3) = -49/12

Quindi il vertice della parabola è (-5/6, -49/12).

Problema 3. Trova le coordinate del vertice della parabola y = 3x ² – 6x + 1.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = 3x²– 6x + 1.

Qui a = 3, b = -6 e c = 1.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b²– 4ac.

D = (-6)²– 4 (3) (1)

= 36 – 12

= 24

Quindi x – coordinata del vertice = 6/2(3) = 6/6 = 1

y – coordinata del vertice = -24/4(3) = -24/12 = -2

Quindi il vertice della parabola è (1, -2).

Problema 4. Trova le coordinate del vertice della parabola y = 3x ² +8x-8.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = 3x²+8x-8.

algoritmo Mergesort

Qui a = 3, b = 8 e c = -8.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b²– 4ac.

D = (8)²– 4 (3) (-8)

= 64 + 96

= 160

Quindi, x – coordinata del vertice = -8/2(3) = -8/6 = -4/3

y – coordinata del vertice = -160/4(3) = -160/12 = -40/3

Quindi il vertice della parabola è (-4/3, -40/3).

Problema 5. Trova le coordinate del vertice della parabola y = 6x ² +12x+4.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = 6x²+12x+4.

Qui a = 6, b = 12 e c = 4.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b²– 4ac.

D = (12)²–4 (6) (4)

= 144 – 96

= 48

Quindi, x – coordinata del vertice = -12/2(6) = -12/12 = -1

y – coordinata del vertice = -48/4(6) = -48/24 = -2

Quindi il vertice della parabola è (-1, -2).

Problema 6. Trova le coordinate del vertice della parabola y = x ² +7x-5.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = x²+7x-5.

Qui a = 1, b = 7 e c = -5.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b²– 4ac.

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D = (7)²– 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Quindi, x – coordinata del vertice = -7/2(1) = -7/2

y – coordinata del vertice = -69/4(1) = -69/4

Quindi il vertice della parabola è (-7/2, -69/4).

Problema 7. Trova le coordinate del vertice della parabola y = 2x ² +10x-3.

Soluzione:

Abbiamo l'equazione come, y = x2 + 7x – 5.

Qui a = 1, b = 7 e c = -5.

Ora, è noto che le coordinate del vertice sono date da, (-b/2a, -D/4a) dove D = b2 – 4ac.

D = (7)2 – 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Quindi, x – coordinata del vertice = -7/2(1) = -7/2

y – coordinata del vertice = -69/4(1) = -69/4

Quindi il vertice della parabola è (-7/2, -69/4).

Domande frequenti sulla formula del vertice di una parabola

Cosa intendi per vertice di una parabola?

Il punto in cui si intersecano la parabola e il suo asse di simmetria si chiama vertice della parabola. Serve per determinare le coordinate del punto dell'asse di simmetria della parabola nel punto in cui questa lo attraversa.

Come si calcola il vertice di una parabola?

Per l'equazione standard di una parabola y = ax²+ bx + c, il punto del vertice è la coordinata (h, k).

Scrivi le proprietà del vertice di una parabola.

1. Il vertice di ogni parabola è il suo punto di svolta.

2. La derivata della funzione parabola al suo vertice è sempre zero.

3. Una parabola aperta in alto o in basso ha un massimo o un minimo al vertice.

4. Il vertice di una parabola aperta sinistra o destra non è né un massimo né un minimo della parabola.

5. Il vertice è il punto di intersezione tra la parabola e il suo asse di simmetria.

È data la forma del vertice di una parabola. Come troveresti il ​​suo vertice?

Per l'equazione standard di una parabola y = ax²+ bx + c, il punto del vertice è la coordinata (h, k).

Cosa intendi per fuoco di una parabola?

Una parabola è l'insieme di tutti i punti di un piano che si trovano alla stessa distanza da un punto dato e da una retta data. Il punto si chiama fuoco della parabola.

Come rappresentare graficamente una parabola con il suo vertice?

1. Trova le coordinate xey.

2. Scrivi due numeri più piccoli e due più grandi del fuoco e contrassegnali come coordinate x.

3. Sostituisci x con il valore della funzione e trova le coordinate y.

4.Identifica il fuoco e il vertice della parabola e traccia le coordinate su un foglio di carta millimetrata.