Inversa di una matrice 3 × 3 è un matrice che moltiplicato per la Matrice originale dà il matrice identità come il prodotto. L'inversa di una matrice è un aspetto fondamentale dell'algebra lineare. Questo processo gioca un ruolo cruciale nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari e varie applicazioni matematiche. Per calcolare l'inverso, è necessario calcolare la matrice aggiunta, verificare l'invertibilità della matrice esaminando il suo determinante (che non dovrebbe essere uguale a zero) e applicare una formula per derivare la matrice inversa.

Questo articolo tratta i vari concetti dell'inverso della matrice 3 × 3 e come trovare l'inverso della matrice 3 × 3 calcolando cofattori, aggiunti e determinanti della matrice 3 × 3. Più avanti in questo articolo troverai anche esempi risolti per una migliore comprensione e verranno fornite anche domande pratiche per verificare cosa abbiamo imparato da questo.

Tabella dei contenuti

• Qual è l'inverso della matrice 3×3?
• Come trovare l'inverso della matrice 3 × 3?
• Elementi utilizzati per trovare l'inverso della matrice 3 × 3
• Inversa della formula della matrice 3 × 3
• Trovare l'inverso di una matrice 3 × 3 utilizzando le operazioni sulle righe

Qual è l'inverso della matrice 3×3?

L'inverso di una matrice 3 × 3 è una matrice che, moltiplicata per la matrice originale, dà come risultato la matrice identità. Per trovare l'Inverso, puoi calcolare la matrice aggiunta, determinare se la matrice è invertibile (non singolare) controllando il suo determinante (che non dovrebbe essere uguale a zero), quindi applicare la formula A^-1= (adj A) / (det A). La matrice inversa consente di risolvere sistemi di equazioni lineari ed eseguire varie operazioni matematiche.

Come trovare l'inverso della matrice 3 × 3?

Segui i passaggi indicati di seguito per trovare l'inverso della matrice 3 × 3:

Passo 1: Innanzitutto, verifica se la matrice può essere invertita. Per fare ciò, calcola il determinante della matrice. Se il determinante è diverso da zero, procedere al passaggio successivo.

Passo 2: Calcola il determinante delle matrici 2 × 2 più piccole all'interno della matrice più grande.

Passaggio 3: Creare la matrice dei cofattori.

Passaggio 4: Ottieni l'adiuvato o l'aggiunto della matrice eseguendo la trasposizione della matrice dei cofattori.

Passaggio 5: Infine, dividi ciascun elemento nella matrice adiugata per il determinante della matrice 3 per 3 originale.

Lettura correlata

• Cofattore e Minori di Matrix
• Trasposizione di Matrix

Elementi utilizzati per trovare l'inverso della matrice 3 × 3

Gli elementi utilizzati per trovare l'Inverso di una Matrice 3×3 sono principalmente due:

• Aggiunto di Matrix
• Determinante della matrice

Aggiunto di una matrice 3×3

IL aggiunto di una matrice A si trova prendendo la trasposta della matrice dei cofattori di A. Per calcolare in dettaglio l'aggiunto di una matrice, seguire le istruzioni fornite.

Per una matrice 3×3, il cofattore di ogni elemento è il determinante di una matrice 2×2 formata rimuovendo la riga e la colonna contenente quell'elemento. Quando trovi i cofattori, alterni segni positivi e negativi.

Ad esempio, data la matrice A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

La matrice Minore si ottiene come segue:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Calcola i determinanti delle matrici 2 × 2 formate moltiplicando diagonalmente e sottraendo i prodotti da sinistra a destra cioè Minore.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

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egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Quindi la matrice dei cofattori è:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Trasponendo la matrice dei cofattori otteniamo la matrice aggiunta.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinante di una matrice 3×3

Utilizzando lo stesso esempio discusso sopra, possiamo calcolare il determinante della matrice A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Calcola il determinante della matrice utilizzando la prima riga,

Det A = 2(cofattore di 2) + 1(cofattore di 1) + 3(cofattore di 3)

Che A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Che A = 2 + 4 – 6

Che A = 0

Puoi controllare Trucco per calcolare il determinante di una matrice 3×3

Inversa della formula della matrice 3 × 3

Per trovare l'inverso di una matrice A 3 × 3, puoi utilizzare la formula A-1 = (adj A) / (det A), dove:

• adj A è la matrice aggiunta di A.
• det A è il determinante di A.

Perché A-1 esista, det A non dovrebbe essere uguale a zero. Questo significa:

• UN^-1esiste quando det A non è zero (A non è singolare).
• UN^-1non esiste quando det A è zero (A è singolare).

Ecco i passaggi per trovare l'inverso di una matrice 3 × 3, utilizzando lo stesso esempio:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Passo 1: Calcolare la matrice aggiunta (adj A).

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Per trovare la matrice aggiunta, sostituisci gli elementi di A con i loro cofattori corrispondenti.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Passo 2: Trovare il determinante di A (det A).

Per calcolare il determinante di A, puoi utilizzare la formula per una matrice 3 × 3. In questo caso, det A = -8.

Passaggio 3: applicare la formula A^-1= (adj A) / (det A) per trovare la matrice inversa A^-1.

Dividi ciascun elemento della matrice aggiunta per il determinante di A:

UN ^-1 = adj A/Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Semplificando le frazioni,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Trovare l'inverso di una matrice 3 × 3 utilizzando le operazioni sulle righe

Per trovare l'inverso di una matrice 3×3, puoi seguire questi passaggi:

Passo 1: Inizia con la matrice A 3×3 data e crea una matrice identità I della stessa dimensione, posizionando A sul lato sinistro e I sul lato destro di una matrice aumentata, separati da una linea.

Passo 2: Applicare una serie di operazioni sulle righe alla matrice aumentata sul lato sinistro per trasformarla nella matrice identità I. La matrice sul lato destro della linea, che diventa A^-1, è l'inverso della matrice originale A.

Saperne di più, Operazione elementare delle matrici

Inoltre, controlla

• Tipi di matrici
• Matrice invertibile
• Traccia di una matrice

Esempi risolti sull'inverso della matrice 3 × 3

Esempio 1: Trova l'inverso di

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Soluzione:

Matrice minore di D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Matrice Minore di D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofattore di Matrix cioè X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Trasposizione della matrice X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Ora troveremo il determinante di D utilizzando la prima riga:

Che D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Quel D = 6+0+14

⇒ Che D = 20

Inverso della matrice D o D^-1= Adj D / Det D

⇒D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Esempio 2: Trova l'inverso di

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minore della Matrice E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofattore della matrice E cioè X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Troviamo ora il Determinante della Matrice E utilizzando la prima riga:

Che E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Quel E= -1 + 0 + 1

Che E = 0

∴ Poiché il determinante della matrice E è equivalente a 0, l'Inverso della Matrice E o E^-1non è possibile.

Domande pratiche sull'inverso della matrice 3 × 3

Q1. Calcola l'inverso della seguente matrice 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Trova l'inverso della matrice B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Determina se la matrice C è invertibile e, in tal caso, trova il suo inverso:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Calcola l'inverso della matrice D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Per la matrice E, controlla se è invertibile e, se lo è, trova la sua inversa:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverso della matrice 3×3 – Domande frequenti

1. Qual è l'inverso di una matrice 3×3?

L'inverso di una matrice 3×3 è un'altra matrice che, moltiplicata per la matrice originale, produce la matrice identità.

2. Perché è importante trovare l'Inverso?

È essenziale per risolvere sistemi di equazioni lineari, trasformazioni e varie operazioni matematiche.

3. Come si calcola l'inverso di una matrice 3×3?

In genere trovi la matrice aggiunta, controlli il valore diverso da zero del determinante e applichi una formula specifica.

4. Quando non esiste l'inverso di una matrice 3×3?

Non esiste quando il determinante della matrice è zero, rendendola singolare.

5. Qualsiasi matrice 3×3 può avere un inverso?

No, solo le matrici non singolari con determinante diverso da zero hanno inverse.

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6. Qual è il ruolo della Matrice Aggiunta nel trovare l'Inverso?

La matrice aggiunta aiuta nel calcolo dell'inverso fornendo cofattori per ciascun elemento.

7. In quali campi è ampiamente utilizzato il concetto di inversione della matrice 3×3?

Il concetto di inversione della matrice 3×3 viene utilizzato in ingegneria, fisica, computer grafica e varie discipline matematiche.

8. Come ottenere l'inverso della matrice 3×3?

Per trovare l'inversa di una matrice 3×3, puoi seguire questi passaggi:

• Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice.
• Se il determinante non è uguale a 0, procedere al passaggio successivo. Se è 0, la matrice non ha un inverso.
• Trova la matrice dei minori creando matrici 3×3 per ciascun elemento della matrice originale, escluse la riga e la colonna dell'elemento su cui ti stai concentrando.
• Calcola la matrice dei cofattori applicando uno schema di segni più e meno agli elementi della matrice dei minori.
• Trasponi la matrice dei cofattori scambiando righe con colonne.
• Infine, dividi la matrice trasposta dei cofattori per il determinante per ottenere l'inverso della matrice 3×3.