Volume del cono può essere definito come lo spazio occupato dal cono. Come sappiamo, il cono è una forma geometrica tridimensionale che ha una base circolare e un unico apice (vertice).

Impariamo a conoscere il volume del cono in dettaglio, inclusa la sua formula, gli esempi e il tronco di cono.

Qual è il volume del cono?

Il volume di un cono è definito come la quantità di spazio o capacità che riempie. Il volume di un cono si misura in unità cubiche come cm³, M³, In³, e così via. Ruotando un triangolo attorno a uno qualsiasi dei suoi vertici, è possibile produrre un cono. Il volume di un cono può essere misurato anche in litri.

• Un cono può essere diviso in due tipi: coni circolari retti e coni obliqui.
• Il vertice del cono circolare destro è verticalmente sopra il centro della base, ma il vertice del cono obliquo non è verticalmente sopra il centro della base.

Formula del volume del cono

Un cono è una forma tridimensionale solida avente una base circolare. Ha una superficie curva. L'altezza perpendicolare è la distanza dalla base al vertice.

Formula del volume del cono:

V = 1/3πr²H

Dove,

• R è il raggio del cono
• H è il raggio del cono
• Pi è costante con valore 22/7 o 3,14

Altezza inclinata del cono

L'altezza inclinata del cono è la distanza dal suo apice (punto superiore) a qualsiasi punto sul perimetro della sua base circolare. È la distanza in linea retta lungo la superficie laterale, non attraverso l'interno del cono.

Altezza inclinata di un cono può essere derivato utilizzando il teorema di Pitagora ,

H²+r²= l²

h = √(L²- R²)

Volume del cono in termini di altezza inclinata

Per un cono con altezza 'h' e raggio 'r' l'altezza inclinata 'L' del cono è data dalla formula,

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H²+r²= l²

h = √(L²- R²)…(io)

Quindi il volume del cono in termini di altezza dell'inclinazione è:

V = (1/3)πr²h...(ii)

Usando il valore di h nell'eq (ii), otteniamo la formula per il volume del cono come,

V = (1/3)πr ² √(L ² - R ² )

Volume di derivazione del cono

Supponiamo di avere un cono a base circolare il cui il raggio è r E l'altezza è h.

Sappiamo che il volume di un cono è pari ad un terzo del volume di un cilindro avente lo stesso raggio di base e la stessa altezza.

Quindi il volume diventa

V = 1/3 × area di base circolare × altezza

V = 1/3 × πr²× h

V = πr²h/3

Ciò deriva la formula per il volume di un cono.

Come trovare il volume del cono?

Consideriamo un esempio per determinare il volume di un cono.

Esempio: Determina il volume di un cono se il raggio della sua base circolare è 3 cm e l'altezza è 5 cm.

Passo 1: Notare il raggio della base circolare (r) e l'altezza del cono (h).

Qui il raggio è 3 cm e l'altezza è 5 cm.

Passo 2: Calcola l'area della base circolare = πr². Sostituisci il valore di r e π nell'equazione data,

i.e., 3.14 × (3)²= 28,26 cm².

Passaggio 3: Sappiamo che il volume di un cono è (1/3) × (area della base circolare) × altezza del cono.

Quindi, sostituisci i valori nell'equazione = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm³.

Passaggio 4: Quindi, il volume del cono dato è 47,1 cm³.

Utilizzando i passaggi discussi sopra è possibile calcolare il volume di un cono.

Volume del cono con altezza e raggio

Il volume del cono se vengono forniti la sua altezza (h) e il raggio (r) viene calcolato utilizzando la formula,

V = (1/3)πr ² h unità cubiche

Volume del cono con altezza e diametro

Il volume del cono quando vengono forniti il ​​diametro e l'altezza del cono viene calcolato di seguito. Supponiamo di avere un cono di raggio r e diametro d.

Allora il raggio della base è la metà del diametro della base, cioè r = d/2

Il volume del cono se vengono forniti la sua altezza (h) e il diametro (d) viene calcolato utilizzando la formula,

V = (1/12)πd ² h unità cubiche

Volume del cono (se raggio e altezza sono raddoppiati)

Supponiamo,

• Raggio del cono (r) = 2r
• Altezza del Cono (h) = 2h

Allora il volume di un cono è dato come:

Volume di un cono = (1/3)π(2r)²(2h) unità cubiche

V = (⅓)π(4anni²)(2 ore)

V = (8/3)πr ² H

Così, il volume di un cono diventa 8 volte il volume originale cioè V = (8/3)πr²h, quando il suo raggio e la sua altezza sono raddoppiati.

Volume del cono (se raggio e altezza sono dimezzati)

Supponiamo,

• Raggio del cono (r) = r/2
• Altezza del Cono (h) = h/2

Allora il volume di un cono è dato come:

Volume di un cono = (1/3)π(r/2)²(h/2) unità cubiche

V = (1/3)π(r²/4)(h/2)

V = (1/24)πr ² H

Pertanto, il volume di un cono diventa 1/8 volte il volume originale, ovvero V = (1/24)πr²h, quando il suo raggio e la sua altezza sono dimezzati.

Pezzo di cono

Il tronco di cono è la parte affettata di un cono e il volume del tronco di cono è la quantità di liquido che qualsiasi tronco di cono può contenere.

Quindi per calcolare il volume dobbiamo trovare la differenza nei volumi di due coni.

Volume del pezzo di cono

La formula del volume del tronco di cono si ottiene sottraendo il volume del cono più piccolo da quello più grande.

Dalla figura sopra, abbiamo,

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• Altezza totale H’ = H + h
• Altezza inclinata L = l₁+ l₂
• Raggio del cono = r
• Raggio del cono affettato = r’

Ora il volume del cono più grande = 1/3 π r²H' = 1/3 πr²(H+h)

Volume del cono più piccolo = 1/3 π(r’)²H. Il volume del tronco può essere calcolato dalla differenza tra i due coni, cioè

Volume del pezzo = 1/3 π r²H' -1/3 π(r')²H

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3 π(r’)²H

v = 1/3 π [r²(H+h) – (r’)²h] ………(1)

Utilizzando le proprietà di triangoli simili in Δ QPS e Δ QAB. abbiamo,

r/ r’ = H+h / h

H+h = (dx)/r’

Sostituendo nella formula il valore di H+h per il volume del tronco otteniamo,

Volume del pezzo = 1/3 π [r²(dx/r’) – (r’)²H]

V = 1/3 π [r³h/r’ – (r’)²H]

V = 1/3 π h (r³/r – (r’)²)

V = 1/3 π h [{r³- (R')³} / R]

Volume del pezzo di cono = 1/3 π h [{r ³ - (R') ³ } / R]

Dove,

• R è il raggio della base inferiore del tronco di cono
• R' è il raggio della base superiore del tronco di cono
• H è l'altezza del cono più piccolo
• Pi è costante con valore 22/7 o 3,14

Per saperne di più

• Pezzo di cono
• Cono: formula, tipi e proprietà
• Area superficiale del cono
• Aree e volumi
• Volume di un cubo
• Volume del cuboide
• Volume della sfera
• Volume del cilindro

Esempi risolti sul volume del cono

Risolviamo alcune domande sulle formule del volume del cono.

Esempio 1. Trova il volume di un cono per un raggio di 7 cm e un'altezza di 14 cm.

Soluzione:

Abbiamo,

• r = 7
• h = 14

Volume del cono = 1/3 πr²H

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)

V = (1/3) (7) (7) (2)

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Altezza = 32,66 cm³

Esempio 2. Trova il volume di un cono per a raggio di 5 cm e altezza di 9 cm.

Soluzione:

Abbiamo,

• r = 5
• h = 9

Volume del cono = 1/3 πr²H

V = (1/3) (3,14) (5) (5) (9)

V = (3,14) (5) (5) (3)

Altezza = 235,49 cm³

Esempio 3. Trova il volume di a cono per a raggio di 7 cm e altezza di 12 cm.

Soluzione:

Abbiamo,

• r = 7
• h = 12

Volume del cono = 1/3 πr²H

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)

V = (22) (7) (4)

Altezza = 616 centimetri³

Esempio 4. Trova il volume di un cono per a raggio di 8 cm e altezza di 15 cm.

Soluzione:

Abbiamo,

• r = 8
• h = 15

Volume del cono = 1/3 πr²H

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)

Altezza = 335,02 centimetri³

Domande pratiche sul volume del cono

Q1. Trova il raggio di un cono se il suo volume è 121 cm ² e la sua altezza è di 2 cm.

Q2. Trova il volume di un cono per l'altezza di 12 cm e l'apotema di 7 cm.

Q3. Trova il volume di un cono per l'altezza di 21 cm e il diametro di base è 12 cm.

Q4. Trova il volume di un cono per un raggio di 12 cm e un'altezza di 5 cm.

Volume del cono – Domande frequenti

Definire il volume del cono.

Il volume di un cono è definito come la capacità totale del liquido che un cono può contenere in 3 dimensioni. È lo spazio totale occupato dal cono.

Qual è la formula del volume del cono?

Il volume di un cono è dato dalla seguente formula,

Volume del cono = ⅓ πr ² h unità cubiche.

Come trovare il volume del cono con l'altezza inclinata?

Il volume del cono se vengono forniti la sua altezza inclinata (L) e il suo raggio (r) viene calcolato utilizzando la formula, V = (1/3)πr ² √(L ² - R ² )

Qual è la superficie totale (TSA) della formula del cono?

La superficie totale di un cono è data dalla formula, TSA del Cono = πr(l + r) unità quadrate .

Qual è la relazione tra il volume del cilindro e del cono?

IN Il volume del cono è 1/3 del volume del cilindro.

Qual è la formula dell'altezza inclinata del cono?

L'altezza inclinata (l) di un cono viene calcolata utilizzando la formula, l = √(h ² +r ² ) .

Qual è il volume del cono, se vengono forniti altezza e diametro?

Il volume del cono se vengono forniti la sua altezza (h) e il diametro della base (d) è, V = (1/12)πd ² h unità cubiche .

Come trovare il volume del liquido nel cono?

Il volume del liquido all'interno del cono viene calcolato utilizzando il volume della formula del cono aggiunta sopra.