Formule derivate nel calcolo infinitesimale sono uno degli strumenti importanti del calcolo poiché le formule di derivazione sono ampiamente utilizzate per trovare facilmente le derivate di varie funzioni e inoltre ci aiutano a esplorare vari campi della matematica, dell'ingegneria, ecc.

Questo articolo esplora tutti i formule derivate includendo strettamente la formula derivata generale, formule derivate per funzioni logaritmiche ed esponenziali, formule derivate per rapporti trigonometrici, formule derivate per rapporti trigonometrici inversi e formule derivate per funzioni iperboliche. La formula derivativa è importante per gli studenti della Classe 12 per i loro esami di bordo. Risolveremo anche alcuni esempi di derivate utilizzando le diverse formule di derivata. Affrontiamo da vicino il tema della Formula Derivativa.

Tabella dei contenuti

• Cos'è il derivato?
• Cosa sono le formule derivate?
• Formule di derivazione di base – Regole di derivazione nel calcolo infinitesimale
• Elenco delle formule derivate
• Alcune altre formule derivate
• Come trovare i derivati?
• Applicazioni della formula dei derivati

Cos'è il derivato?

IL derivati rappresentano il tasso di funzione rispetto a qualsiasi variabile. La derivata di una funzione f(x) è indicata come f'(x) o (d/dx) [f(x)]. Il processo di ricerca dei derivati ​​è chiamato differenziazione.

La formula derivativa più fondamentale è la definizione di derivata, che è definita come:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Esistono varie formule derivate tra cui formule derivate generali, formule derivate per funzioni trigonometriche e formule derivate per funzioni trigonometriche inverse, ecc.

Leggi in dettaglio: Calcolo in matematica

Cosa sono le formule derivate?

Le formule di derivazione sono quelle espressioni matematiche che ci aiutano a calcolare la derivata di una funzione specifica rispetto alla sua variabile indipendente. In parole semplici, le formule che aiutano a trovare i derivati ​​sono chiamate formule derivate. Esistono più formule derivate per diverse funzioni.

Esempi di formula derivativa

Alcuni esempi di formule per i derivati ​​sono elencati di seguito:

• Regola del potere: Se f(x) = x^N, dove n è una costante, allora la derivata è data da:

f'(x) = nx ^n-1

• Regola costante: Se f(x) = c, dove c è una costante, allora la derivata è zero:

f'(x) = 0

• Funzioni esponenziali: Se f(x) = e^X, Poi:

f'(x) = e ^X

Parliamo di tutte le formule relative al derivato in modo strutturato.

Formule di derivazione di base – Regole di derivazione nel calcolo infinitesimale

Alcune delle formule più basilari per trovare la derivata sono:

• Regola costante
• Regola del potere
• Regola della differenza di somma
• Regola del prodotto
• Regola del quoziente
• Regola di derivazione

Discutiamo queste regole in dettaglio:

Regola costante per i derivati

La regola costante per i derivati ​​è data da:

(d/dx) costante = 0

Regola della potenza per i derivati

La regola di potenza per i derivati ​​è data da:

(d/dx) x ^N =nx ^n-1

Regola della differenza di somma per i derivati

La regola della somma e della differenza per i derivati ​​è data da:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Regola del prodotto per i derivati

La regola del prodotto per i derivati ​​è data da:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Regola del quoziente per le derivate

La regola del quoziente per i derivati ​​è data da:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Regola della catena per i derivati

La regola della catena per la derivata è data da:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Elenco delle formule derivate

Di seguito sono elencate le formule derivate per le diverse funzioni:

Formule di derivazione esponenziale e logaritmica

Le formule derivate per le funzioni esponenziale e logaritmica sono elencate di seguito:

• (d/dx) e^X= e^X
• (d/dx) a^X= un^Xl'un
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) registro_UNx= (1/x lna)

Per saperne di più,

• Logaritmi
• Derivata di funzioni esponenziali

Formule di derivazione trigonometrica

Le formule derivate per le funzioni trigonometriche sono elencate di seguito:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sen x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) lettino x = -cosec²X
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x lettino x

Impara di più riguardo Derivata delle funzioni trigonometriche .

Formula derivativa per funzioni trigonometriche inverse

Le formule derivate per le funzioni trigonometriche inverse sono elencate di seguito:

• (d/dx) senza^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) così^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) lettino^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sez^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Per saperne di più, Derivata delle funzioni trigonometriche inverse .

Derivata delle funzioni iperboliche

Le formule derivate per le funzioni trigonometriche sono elencate di seguito:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = se stesso²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Alcune altre formule derivate

Esistono alcune altre funzioni come funzioni implicite, funzioni parametriche e derivate di ordine superiore le cui formule di derivazione sono elencate di seguito:

Formula della derivata implicita

Il metodo per trovare la derivata di una funzione implicita è chiamato differenziazione implicita. Facciamo un esempio per comprendere il metodo per trovare implicitamente le derivate.

Esempio: Trova la derivata di xy = 2

Soluzione:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Dalla data equazione y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

data locale Java

Impara di più riguardo Differenziazione implicita .

Formula della derivata parametrica

Se la funzione y(x) è espressa nei termini della terza variabile t e xey può essere rappresentata in x = f(t) e y = g(t), allora questo tipo di funzione è chiamata funzione parametrica.

Se y è funzione di x e x = f(t) e y = g(t) sono due funzioni differenziabili del parametro t allora la derivata della funzione parametrica è data da:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), tale che (dx/dt) ≠ 0

Leggi di più su Differenziazione parametrica .

Formula della derivata di ordine superiore

Trovare la derivata di una funzione per più di una volta dà la derivata di ordine superiore di una funzione.

N ^th Derivato = d ^N sì/(dx) ^N

Leggi di più su Derivato di ordine superiore .

Come trovare i derivati?

Per trovare le derivate di una funzione seguiamo i passaggi seguenti:

• Per prima cosa controlla il tipo della funzione: se è algebrica, trigonometrica ecc.
• Dopo aver trovato il tipo, applica le formule derivate corrispondenti sulla funzione.
• Il valore risultante fornisce la derivata della funzione utilizzando la formula delle derivate.

Applicazioni della formula dei derivati

Ci sono molte applicazioni delle formule derivate. Alcune di queste applicazioni sono elencate di seguito:

• I derivati ​​vengono utilizzati per trovare il tasso di variazione di qualsiasi quantità.
• Può essere utilizzato per trovare massimi e minimi.
• Viene utilizzato nelle funzioni crescenti e decrescenti.

Le persone visualizzano anche:

• Formule di differenziazione
• Formula di differenziazione e integrazione
• Differenziazione logaritmica

Esempi risolti sulla formula della derivata

Esempio 1: Trova la derivata di x ⁵ .

Soluzione:

Sia y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Esempio 2: Trova la derivata di log ₂ X.

Soluzione:

Sia y = logaritmo₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Esempio 3: Trova la derivata della funzione f(x) = 8 . 6 ^X

Soluzione:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Esempio 4: Trova la derivata della funzione f(x) = 3sinx + 2x

Soluzione:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Esempio 5: Trova la derivata della funzione f(x) = 5cos ^-1 x + e ^X

Soluzione:

f(x) = 5cos^-1x + e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + e^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + e^X

Problemi pratici sulla formula della derivata

Problema 1: Valutare: (d/dx) [x⁴].

Problema 2: Trova la derivata di y = 5cos x.

Problema 3: Trova la derivata di y = cosec x + cot x.

Problema 4: Trova la derivata di f(x) = 4^X+ registro₃x + così^-1X.

Problema 5: Valutare: (d/dx) [40].

Problema 6: Trova la derivata di f(x) = x⁵+5x³+1.

Domande frequenti sulla formula dei derivati

Cos'è il derivato?

Il valore che rappresenta il tasso di variazione di una funzione rispetto a qualsiasi variabile è chiamato derivata.

Come sono rappresentati i derivati?

Le derivate sono rappresentate come (d/dx) o se f(x) è una funzione, allora la derivata di f(x) è rappresentata come f'(x).

Come si calcola la derivata di una costante?

La derivata di una costante è sempre zero. Nella notazione matematica, se 'C' è una costante, allora dC/dx = 0.

Scrivi la formula di derivata generale di x^N.

La formula generale per la derivata di x^N=nx^n-1.

Come calcolare le derivate delle funzioni?

Per calcolare le derivate di una funzione, possiamo applicare la formula delle derivate in base alla funzione data.

Qual è la formula della derivata della funzione logaritmica?

La derivata della funzione logaritmo naturale, ln(x), è 1/x. Nella notazione matematica, se y = ln(x), allora dy/dx = 1/x.

Quale formula viene utilizzata per trovare la derivata delle funzioni esponenziali?

La derivata di una funzione esponenziale, y = a^X(dove ‘a’ è una costante), si trova utilizzando la formula dy/dx = a^X× ln(a).

Cosa sono i derivati ​​di ordine superiore?

Le derivate di ordine superiore sono derivate di una funzione presa più di una volta. La derivata seconda è la derivata della prima, la terza è la derivata della seconda e così via.

Cos'è la formula derivativa per e^X?

La derivata della funzione f(x) = e^X(dove 'e' è il numero di Eulero, circa 2,71828) è semplicemente f'(x) = e^X.

Scrivi la formula della derivata per u/v.

La derivata del quoziente di due funzioni u(x) e v(x) è data dalla regola del quoziente:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Cos'è la formula derivativa per 1/x?

La derivata della funzione f(x) = 1/x è data da:

f'(x) = -1/x ²