Differenziazione delle funzioni trigonometriche è la derivata delle funzioni trigonometriche come sin, cos, tan, cot, sec e cosec. La differenziazione è una parte importante del calcolo. È definito come il tasso di variazione di una quantità rispetto a un'altra quantità. La differenziazione delle funzioni trigonometriche viene utilizzata nella vita reale in vari campi come computer, elettronica e matematica.

In questo articolo impareremo la differenziazione delle funzioni trigonometriche insieme alle formule, alle relative dimostrazioni e alle loro applicazioni. Inoltre, risolveremo alcuni esempi e otterremo risposte ad alcune domande frequenti sulla differenziazione delle funzioni trigonometriche. Iniziamo il nostro apprendimento sull'argomento della differenziazione delle funzioni trigonometriche.

Cos'è la differenziazione?

La differenziazione di una funzione è la velocità di variazione di una funzione rispetto a qualsiasi variabile. IL derivato di f(x) è indicato come f'(x) o (d /dx)[f(x)].

La procedura di differenziazione del funzioni trigonometriche si chiama differenziazione delle funzioni trigonometriche. In altre parole, trovare la velocità di variazione delle funzioni trigonometriche rispetto agli angoli è chiamata differenziazione delle funzioni trigonometriche.

Le sei funzioni trigonometriche di base sono sin, cos, tan, cosec, sec e cot. Troveremo le derivate di tutte le funzioni trigonometriche con le relative formule e dimostrazione.

Regola di derivazione per funzioni trigonometriche

La differenziazione delle sei funzioni trigonometriche di base è la seguente:

Puoi verificare la dimostrazione della derivata di queste sei funzioni trigonometriche nei link forniti di seguito:

Prova di differenziazione della formula di funzioni trigonometriche

Come discusso sopra le formule per tutte le funzioni trigonometriche, ora dimostreremo le formule sopra della differenziazione delle funzioni trigonometriche utilizzando il primo principio della derivata, la regola del quoziente e la regola della catena con l'aiuto dei limiti.

Differenziazione del peccato(x)

Per dimostrare la derivata di sin x utilizzeremo il primo principio della differenziazione e alcune identità trigonometriche di base e formule di limiti. Di seguito sono riportate le identità trigonometriche e la formula dei limiti utilizzati nella dimostrazione:

1. peccato (X + Y) = peccato X cos Y + peccato Y cos X
2. lim_x→0[sinx/x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Cominciamo la dimostrazione per la derivazione della funzione trigonometrica sin x

Per il primo principio di differenziazione

(d/dx) sin x = lim_h→0[{peccato(x + h) – peccato x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{peccato x cos h + peccato h cos x – peccato x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sen h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sen h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Utilizzando 2 e 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Pertanto, la differenziazione di sin x è cos x.

Differenziazione di cos(x)

Per dimostrare la derivata di cos x utilizzeremo il primo principio della derivazione e alcune identità trigonometriche di base e formule di limiti. Di seguito sono riportate le identità trigonometriche e la formula dei limiti utilizzati nella dimostrazione:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx/x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Cominciamo la dimostrazione per la derivazione della funzione trigonometrica cos x

Per il primo principio di differenziazione

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – peccato h peccato x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(senza h/h) senza x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Utilizzando 2 e 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sen x

Pertanto, la differenziazione di cos x è -sin x.

Differenziazione dell'abbronzatura(x)

Per dimostrare la derivata di tan x useremo la regola del quoziente e alcune identità trigonometriche di base e la formula dei limiti. Di seguito sono riportate le identità trigonometriche e la formula dei limiti utilizzati nella dimostrazione:

1. abbronzatura x = peccato x / cos x
2. secondo x = 1 / cos x
3. cos²x + peccato²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sen x

Cominciamo la dimostrazione per la derivazione della funzione trigonometrica tan x

Poiché, da (1)

abbronzatura x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Utilizzando la regola del quoziente

(d/dx) tan x = [{(d/dx) sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sen x) sin x] / cos²x [Per 4 e 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + peccato²x]/cos²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [Per 3]

⇒ (d/dx) tan x = sec ² X [Entro 2]

Pertanto, la differenziazione di tan x è sec ² X.

Differenziazione di cosec(x)

Per dimostrare la derivata di cosec x utilizzeremo la regola della catena e alcune identità trigonometriche di base e formule di limiti. Di seguito sono riportate le identità trigonometriche e la formula dei limiti utilizzati nella dimostrazione:

1. lettino x = cos x / peccato x
2. cosec x = 1 / peccato x
3. (d/dx) sin x = cos x

Cominciamo la dimostrazione per la derivazione della funzione trigonometrica cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [Per 2]

Utilizzando la regola della catena

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) peccato x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cosx

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x lettino x [Per 1 e 2]

Pertanto, la differenziazione di cosec x è – cosec x cot x.

Differenziazione di sec(x)

Per dimostrare la derivata di sec x utilizzeremo la regola del quoziente e alcuni principi fondamentali identità trigonometriche E formula dei limiti . Di seguito sono riportate le identità trigonometriche e la formula dei limiti utilizzati nella dimostrazione:

1. abbronzatura x = peccato x / cos x
2. secondo x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sen x

Iniziamo la dimostrazione per la derivazione della funzione trigonometrica sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [Per 2]

Utilizzando la regola della catena

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-senza x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sen x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Per 1 e 2]

Pertanto, la differenziazione di sec x è sec x tan x.

Differenziazione del lettino(x)

Per dimostrare la derivata di cot x utilizzeremo la regola del quoziente e alcune identità trigonometriche di base e la formula dei limiti. Di seguito sono riportate le identità trigonometriche e la formula dei limiti utilizzati nella dimostrazione:

1. lettino x = cos x / peccato x
2. cosec x = 1 / peccato x
3. cos²x + peccato²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sen x

Cominciamo la dimostrazione per la differenziazione della funzione trigonometrica cot x

Poiché, da (1)

comando di installazione npm

lettino x = cos x / peccato x

(d/dx) lettino x = (d/dx)[cosx / sin x]

Utilizzando la regola del quoziente

(d/dx) culla x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²X

⇒ (d/dx) lettino x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [Per 4 e 5]

⇒ (d/dx) lettino x = [ -sin²x – cos²x] / peccato²X

⇒ (d/dx) lettino x = -[ sin²x + cos²x] / peccato²X

⇒ (d/dx) culla x = -1 / sin²x [Per 3]

⇒ (d/dx) lettino x = -cosec ² X [Entro 2]

Pertanto, la differenziazione di cot x è -cosec ² X.

Alcuni altri derivati ​​di funzioni trigonometriche

La differenziazione delle funzioni trigonometriche può essere facilmente eseguita utilizzando la regola della catena. Le funzioni trigonometriche complesse e le funzioni trigonometriche composite possono essere risolte applicando regola di derivazione di differenziazione. Nei capitoli seguenti studieremo ulteriormente in dettaglio la regola della catena e la differenziazione delle funzioni trigonometriche composite.

• Differenziazione utilizzando la regola della catena
• Differenziazione della funzione trigonometrica composita

Discutiamo questi argomenti in dettaglio.

Regola della catena e funzione trigonometrica

La regola della catena afferma che se p(q(x)) è una funzione, allora la derivata di questa funzione è data dal prodotto della derivata di p(q(x)) e della derivata di q(x). La regola della catena viene utilizzata per differenziare funzioni composite . La regola della catena viene utilizzata principalmente per differenziare facilmente le funzioni trigonometriche composite.

Esempio: Trova la derivata di f(x) = tan 4x

Soluzione:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Applicando la regola della catena

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sec²4x)(4)

Differenziazione della funzione trigonometrica composita

Per valutare la differenziazione delle funzioni trigonometriche composite applichiamo la regola della differenziazione della catena. Le funzioni trigonometriche composte sono le funzioni in cui l'angolo della funzione trigonometrica è esso stesso una funzione. La differenziazione delle funzioni trigonometriche composite può essere facilmente valutata applicando la regola della catena e le formule di differenziazione per le funzioni trigonometriche.

Esempio: Trova la derivata di f(x) = cos(x ² +4)

Soluzione:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Applicando la regola della catena

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sen(x²+4)

Cosa sono le funzioni trigonometriche inverse?

IL funzioni trigonometriche inverse sono le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse sono sei: sin^-1, cos^-1, COSÌ^-1, cosec^-1, sez^-1, lettino^-1. Le funzioni trigonometriche inverse sono anche chiamate funzioni d'arco.

Differenziazione di funzioni trigonometriche inverse

Le derivate di sei funzioni trigonometriche inverse sono le seguenti:

Esempio: Trova la derivata di f(x) = 3sin ^-1 x+4cos ^-1 X

Soluzione:

f'(x) = (d/dx) [3sen^-1x+4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3.4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Applicazioni alla derivazione di funzioni trigonometriche

Esistono molte diverse applicazioni della differenziazione delle funzioni trigonometriche nella vita reale. Le seguenti sono le applicazioni della differenziazione delle funzioni trigonometriche.

• La pendenza della tangente e della linea normale alla curva trigonometrica può essere determinata utilizzando la differenziazione delle funzioni trigonometriche.
• Può essere utilizzato anche per determinare i massimi e i minimi della funzione.
• Viene utilizzato anche nel campo dei computer e dell'elettronica.

Inoltre, controlla

• Derivata trigonometrica inversa
• Antiderivativo
• Formule di differenziazione

Esempi di problemi sulla differenziazione delle funzioni trigonometriche

Problema 1: Trova la derivata di f(x) = tan 2x.

Soluzione:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Applicando la regola della catena

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sec²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2sec²2x

Problema 2: Trova la derivata di y = cos x / (4x ² )

Soluzione:

y = cos x / (4x²)

Applicazione della regola del quoziente

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Problema 3: Calcola la derivata f(x) = cosec x + x tan x

Soluzione:

f(x) = cosec x + x tan x

Applicando formula e regola di prodotto

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²X

Problema 4: Trova la derivata della funzione f(x) = 6x ⁴ cos x

Soluzione:

f(x) = 6x⁴cos x

Applicando la regola del prodotto

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cosx+x⁴(-senza x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cosx-x⁴senza x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x peccato x]

Problema 5: Valuta la derivata: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Soluzione:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Applicando la regola del prodotto

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

stringa Java in carattere

⇒ f'(x) = (1 – peccato x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + peccato²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Problemi pratici sulla derivazione di funzioni trigonometriche

Problema 1: Trova la derivata di y = sin(x) + cos(x).

Problema 2: Calcola la derivata di y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problema 3: Trova la derivata di y = 2sin(3x).

Problema 4: Determina la derivata di y = tan(5x).

Problema 5: Trova la derivata di y = sin(x) cos(x).

Problema 6: Calcola la derivata di y = cos²(X).

Problema 7: Determina la derivata di y = tan²(X).

Problema 8: Determina la derivata di y = tan(x) sec(x).

Domande frequenti sulla differenziazione delle funzioni trigonometriche

Cos'è la differenziazione?

La derivazione è un'operazione matematica che calcola la velocità con cui una funzione cambia rispetto alla sua variabile indipendente.

Cos'è la funzione trigonometrica?

Le funzioni trigonometriche sono funzioni matematiche che mettono in relazione gli angoli di un triangolo rettangolo con i rapporti dei suoi lati.

Quali sono le funzioni trigonometriche comuni?

Le funzioni trigonometriche comuni includono seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (cosec), secante (sec) e cotangente (cot).

Definire la derivazione delle funzioni trigonometriche.

Il metodo per differenziare le funzioni trigonometriche è chiamato differenziazione delle funzioni trigonometriche.

Come si differenzia la funzione seno, ovvero sin (x)?

La derivata di sin (x) è cos (x). Nella notazione matematica, d/dx(sin(x)) = cos(x).

Cosa otteniamo dopo la differenziazione della funzione coseno, ovvero cos (x)?

La derivata di cos (x) è -sin (x). Nella notazione matematica, d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Come si differenzia la funzione tangente, ovvero tan (x)?

La derivata di tan(x) è sec²(x), dove sec(x) è la funzione secante. Nella notazione matematica, d/dx(tan(x)) = sec²(X).

Quali sono le formule per la derivazione delle funzioni trigonometriche?

Le formule per la differenziazione delle funzioni trigonometriche sono:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sen x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x lettino x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) lettino x = -cosec²X

Fornisci un esempio di derivazione di una funzione trigonometrica.

Consideriamo una funzione f(x) = 2sin(3x).

Usando la regola della catena,

f'(x) = d/dx(2sen(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Quali metodi vengono utilizzati per derivare la derivazione delle funzioni trigonometriche?

I diversi modi in cui è possibile derivare la formula di differenziazione delle funzioni trigonometriche sono:

• Utilizzando il Primo Principio dei Derivati
• Utilizzando il Regola del quoziente
• Utilizzando la regola della catena

Cos'è l'antidifferenziazione delle funzioni trigonometriche?

L'antidifferenziazione delle funzioni trigonometriche significa trovare l'integrazione delle funzioni trigonometriche.