IL inverso di Matrix è la matrice che moltiplicando con la matrice originale dà come risultato una matrice identità. Per ogni matrice A, la sua inversa è indicata come A-1.
Impariamo a conoscere l'inverso della matrice in dettaglio, inclusa la sua definizione, formula, metodi su come trovare l'inverso di una matrice ed esempi.
Tabella dei contenuti
- Matrice inversa
- Termini relativi a Matrix Inverse
- Come trovare l'inverso di matrice?
- Inversa di una formula di matrice
- Metodo della matrice inversa
- Esempio dell'inverso della matrice 2×2
- Determinante della matrice inversa
- Proprietà dell'inverso di matrice
- Esempi di matrice inversa risolta
Matrice inversa
L'inverso di una matrice è un'altra matrice che, moltiplicata per la matrice data, dà come risultato identità moltiplicativa .
Per la matrice A e la sua inversa di A-1, vale la proprietà identità.
AA -1 =A -1 A = io
Dove IO è la matrice identità.
Termini relativi a Matrix Inverse
La terminologia elencata di seguito può aiutarti a comprendere l'inverso di una matrice in modo più chiaro e semplice.
| Termini | Definizione | Formula/Processo | Esempio con la matrice A |
|---|---|---|---|
| Minore | Il minore di un elemento in una matrice è il determinante della matrice formata rimuovendo la riga e la colonna di quell'elemento. | Per l'elemento aij, rimuovi la i-esima riga e la j-esima colonna per formare una nuova matrice e trova il suo determinante. | Minore di UN undici è il determinante di |
| Cofattore | Il cofattore di un elemento è il minore di quell'elemento moltiplicato per (-1) io+j , dove i e j sono gli indici di riga e colonna dell'elemento. | Cofattore di aij= (-1)io+jMinore di aij | Cofattore di UN undici = (-1) 1+1 × Minore di UN undici = Minore di UN undici |
| Determinante | Il determinante di una matrice viene calcolato come la somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga o colonna e dei rispettivi cofattori. | Per una riga (o colonna), somma il prodotto di ciascun elemento e del suo cofattore. | Determinante di A = UN undici × Cofattore di UN undici + UN 12 × Cofattore di UN 12 + UN 13 × Cofattore di UN 13 . |
| Vice | L'aggiunto di una matrice è la trasposta della sua matrice dei cofattori. | Crea una matrice di cofattori per ciascun elemento della matrice originale e poi trasponila. | Aggiunto ad A è la trasposizione della matrice formata dai cofattori di tutti gli elementi di A. |
Matrice singolare
Una matrice il cui valore del determinante è zero è detta matrice singolare, ovvero qualsiasi matrice A è detta matrice singolare se |A| = 0. L'inverso di una matrice singolare non esiste.
Matrice non singolare
Una matrice il cui valore del determinante è diverso da zero è detta matrice non singolare, ovvero qualsiasi matrice A è detta matrice non singolare se |A| ≠ 0. Esiste l'inverso di una matrice non singolare.
Matrice identità
Una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sono nulli tranne gli elementi diagonali principali è detta matrice identità. Si rappresenta utilizzando I. È l'elemento identitario della matrice come per qualsiasi matrice A,
A×I = A
Un esempio di matrice Identità è,
IO3×3=
Questa è una matrice identità di ordine 3×3.
Per saperne di più :
- Matrice identità
Come trovare l'inverso di matrice?
Esistono due modi per trovare l'inverso di una matrice in matematica:
- Utilizzando la formula della matrice
- Utilizzo dei metodi della matrice inversa
Inversa di una formula di matrice
L'inverso della matrice A, cioè A-1viene calcolato utilizzando la formula inversa della matrice, che prevede la divisione dell'aggiunto di una matrice per il suo determinante.
Inversa di una formula di matrice
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
Dove,
- agg A = aggiunto della matrice A, e
- |A| = determinante della matrice A.
Nota : Questa formula funziona solo su matrici quadrate.
Per trovare l'inverso di una matrice utilizzando la formula dell'inverso di una matrice, attenersi alla seguente procedura.
Passo 1: Determina i minori di tutti gli elementi A.
Passo 2: Successivamente, calcola i cofattori di tutti gli elementi e costruisci la matrice dei cofattori sostituendo gli elementi di A con i rispettivi cofattori.
Passaggio 3: Prendi la trasposizione della matrice dei cofattori di A per trovare il suo aggiunto (scritto come adj A).
Passaggio 4: Moltiplicare adj A per il reciproco del determinante di A.
Ora, per ogni matrice quadrata non singolare A,
UN -1 = 1 / |A| × Ag (A)
Esempio: Trova l'inversa della matrice
Abbiamo,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Trova l'aggiunto della matrice A calcolando i cofattori di ciascun elemento e ottenendo la trasposta della matrice dei cofattori.
agg A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Trova il valore del determinante della matrice.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Quindi l'inverso della matrice è:
UN-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒A-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Metodo della matrice inversa
Esistono due metodi della matrice inversa per trovare la matrice inversa:
- Metodo determinante
- Metodo di trasformazione elementare
Metodo 1: Metodo Determinante
Il metodo più importante per trovare l'inversa della matrice è utilizzare un determinante.
jtextfield
La matrice inversa si trova anche utilizzando la seguente equazione:
UN -1 = adj(A) / det(A)
Dove,
- agg(A) è l'aggiunto di una matrice A, e
- esso(A) è il determinante di una matrice A.
Per trovare l'aggiunto di una matrice A è necessaria la matrice dei cofattori di A. Quindi l'aggiunto (A) è la trasposizione della matrice dei cofattori di A, ovvero
agg (A) = [C ij ] T
- Per il cofattore di una matrice, cioè Cij, possiamo utilizzare la seguente formula:
C ij = (-1) io+j esso (M ij )
Dove M ij si riferisce a (io, j) th matrice minore quando io th riga e J th la colonna viene rimossa.
Metodo 2: Metodo di trasformazione elementare
Segui i passaggi seguenti per trovare una matrice inversa con il metodo di trasformazione elementare.
Passo 1 : Scrivi la matrice data come A = IA, dove I è la matrice identità dell'ordine uguale ad A.
Passo 2 : Utilizzare la sequenza delle operazioni sulle righe o sulle colonne fino a ottenere la matrice identità sul lato sinistro e utilizzare anche operazioni elementari simili sul lato destro in modo tale da ottenere I = BA. Pertanto, la matrice B su RHS è l'inverso della matrice A.
Passaggio 3: Assicurati di utilizzare Operazione di riga o Operazione di colonna durante l'esecuzione di operazioni elementari.
Possiamo facilmente trovare l'inverso della Matrice 2 × 2 utilizzando l'operazione elementare. Capiamolo con l'aiuto di un esempio.
Esempio: Trova l'inverso di 2 × 2, A =
Soluzione:
Dato:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Ora, R1⇢R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢R2- R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢R1- R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Pertanto, l'inverso della matrice A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} ÈUN-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Esempio dell'inverso della matrice 2×2
L'inverso della matrice 2×2 può essere calcolato anche utilizzando il metodo di scelta rapida oltre al metodo discusso sopra. Consideriamo un esempio per comprendere il metodo scorciatoia per calcolare l'inverso di Matrice 2 × 2.
Per una data matrice A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Sappiamo che |A| = (annuncio – bc)
e agg A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} quindi utilizzando la formula per l'inverso
UN-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒A-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Pertanto, viene calcolata l'inversa della matrice 2 × 2.
Esempio inverso della matrice 3X3
Prendiamo una qualsiasi matrice 3×3 A =
L'inverso della matrice 3×3 viene calcolato utilizzando il formula di matrice inversa ,
UN -1 = (1 / |A|) × Adj A
Determinante della matrice inversa
Il determinante della matrice inversa è il reciproco del determinante della matrice originale. cioè.,
esso (A -1 ) = 1 / it(A)
La dimostrazione dell'affermazione di cui sopra è discussa di seguito:
det(A × B) = det (A) × det(B) (già noto)
⇒ A × A-1= I (per proprietà della matrice inversa)
⇒ esso(A × A-1) = esso(I)
⇒ esso(A) × esso(A-1) = det(I) [ ma, det(I) = 1]
⇒ esso(A) × esso(A-1) = 1
⇒ esso(A-1) = 1 / it(A)
Dimostrato, quindi.
Proprietà dell'inverso di matrice
La matrice inversa ha le seguenti proprietà:
- Per ogni matrice non singolare A, (UN -1 ) -1 =A
- Per due matrici qualsiasi non singolari A e B, (AB) -1 =B -1 UN -1
- Esiste l'inverso di una matrice non singolare, per una matrice singolare l'inverso non esiste.
- Per ogni A non singolare, (UN T ) -1 = (A -1 ) T
Imparentato:
- Matrice invertibile
- Matrici: proprietà e formule
- Operazioni matematiche sulle matrici
- Determinante della matrice
- Come trovare il determinante della matrice?
Esempi di matrice inversa risolta
Risolviamo alcune domande di esempio sull'inverso di Matrix.
Esempio 1: Trova l'inversa della matrice
Soluzione:
Abbiamo,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Trova l'aggiunto della matrice A calcolando i cofattori di ciascun elemento e ottenendo la trasposta della matrice dei cofattori.
agg A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Trova il valore del determinante della matrice.
|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
array Java da elencareQuindi l'inverso della matrice è:
UN-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Esempio 2: Trova l'inverso della matrice A=old{ utilizzando la formula.}
Soluzione:
Abbiamo,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Trova l'aggiunto della matrice A calcolando i cofattori di ciascun elemento e ottenendo la trasposta della matrice dei cofattori.
agg A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Trova il valore del determinante della matrice.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Quindi l'inverso della matrice è:
UN-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Esempio 3: Trovare l'inversa della matrice A=
Soluzione:
Abbiamo,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Trova l'aggiunto della matrice A calcolando i cofattori di ciascun elemento e ottenendo la trasposta della matrice dei cofattori.
agg A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Trova il valore del determinante della matrice.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Quindi l'inverso della matrice è:
UN-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Esempio 4: Trovare l'inversa della matrice A=
Soluzione:
Abbiamo,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Trova l'aggiunto della matrice A calcolando i cofattori di ciascun elemento e ottenendo la trasposta della matrice dei cofattori.
agg A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Trova il valore del determinante della matrice.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Quindi l'inverso della matrice è:
UN-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Domande frequenti sull'inverso di Matrix
Cos'è l'inverso di Matrix?
Il reciproco di una matrice è detto Inverso di una matrice. Solo le matrici quadrate con determinanti diversi da zero sono invertibili. Supponiamo che per qualsiasi matrice quadrata A con matrice inversa B il loro prodotto sia sempre una matrice identità (I) dello stesso ordine.
[A]×[B] = [I]
Cos'è Matrix?
La matrice è una matrice rettangolare di numeri divisa in un numero definito di righe e colonne. Il numero di righe e colonne in una matrice viene definito dimensione o ordine.
Qual è l'inverso della matrice 2×2?
Per qualsiasi matrice A o ordine 3×3 la sua inversa si trova utilizzando la formula,
UN -1 = (1 / |A|) × Adj A
Qual è l'inverso della matrice 3×3?
L'inverso di qualsiasi matrice quadrata 3×3 (ad esempio A) è la matrice dello stesso ordine indicata con A-1tale che il loro prodotto sia una matrice Identità di ordine 3×3.
[UN] 3×3 ×[A -1 ] 3×3 = [io] 3×3
Aggiunto e inverso di matrice sono la stessa cosa?
No, l'aggiunto di una matrice e l'inverso di una matrice non sono la stessa cosa.
Come utilizzare l'inverso di Matrix?
L'inversa di una matrice viene utilizzata per risolvere espressioni algebriche in forma di matrice. Ad esempio, per risolvere AX = B, dove A è la matrice dei coefficienti, X è la matrice variabile e B è la matrice costante. Qui la matrice variabile si trova utilizzando l'operazione inversa come,
X = A -1 B
Cosa sono le matrici invertibili?
Le matrici la cui inversa esiste si dicono invertibili. Le matrici invertibili sono matrici che hanno un determinante diverso da zero.
Perché l'inverso della matrice 2×3 non esiste?
Esiste l'inverso solo di una matrice quadrata. Poiché la matrice 2 × 3 non è una matrice quadrata ma piuttosto una matrice rettangolare, il suo inverso non esiste.
Allo stesso modo, anche la matrice 2 × 1 non è una matrice quadrata ma piuttosto una matrice rettangolare, quindi il suo inverso non esiste.
Cos'è l'inverso della matrice d'identità?
L'inverso di una matrice identità è la matrice identità stessa. Questo perché la matrice identità, indicata come IO (O IO N per un N × N matrice), è l'unica matrice per la quale ogni elemento lungo la diagonale principale è 1 e tutti gli altri elementi sono 0. Quando moltiplichiamo una matrice identità per se stessa (o il suo inverso), otteniamo nuovamente la matrice identità.