Il momento d'inerzia è la proprietà di un corpo in moto rotatorio. Il momento d'inerzia è la proprietà dei corpi rotanti che tende ad opporsi al cambiamento del movimento rotatorio del corpo. È simile all'inerzia di qualsiasi corpo in movimento traslatorio. Matematicamente, il momento d'inerzia è dato dalla somma del prodotto della massa di ciascuna particella per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione. Si misura nell'unità di kgm 2 .
Impariamo a conoscere il momento di inerzia in dettaglio nell'articolo qui sotto.
Tabella dei contenuti
- Definizione del momento d'inerzia
- Formula del momento d'inerzia
- Fattori che influenzano il momento di inerzia
- Come calcolare il momento di inerzia?
- Formula del momento di inerzia per forme diverse
- Raggio di rotazione
- Teoremi del momento d'inerzia
- Momenti di inerzia per oggetti diversi
Definizione del momento d'inerzia
Il momento d'inerzia è la tendenza di un corpo in movimento rotatorio che si oppone al cambiamento del suo movimento rotatorio a causa di forze esterne. Il momento d'inerzia si comporta come una massa angolare e si chiama inerzia rotazionale. Il momento d'inerzia è analogo a quello meccanico Inerzia del corpo.
MOI è definito come la quantità espressa dalla somma del prodotto di massa di ogni particella con il quadrato della sua distanza dall'asse di rotazione per qualsiasi particella che esegue il movimento rotatorio.
Unità di momento d'inerzia
Il Momento d'Inerzia è una quantità scalare e l'unità SI del Momento d'Inerzia lo è kgm 2 .
Formula dimensionale del momento di inerzia
Poiché il momento d'inerzia è dato dal prodotto della massa per il quadrato della distanza. Suo formula dimensionale è dato dal prodotto della formula dimensionale della massa per il quadrato della formula dimensionale della lunghezza. La formula dimensionale del momento di inerzia è: M.L 2
Cos'è l'inerzia?
L'inerzia è la proprietà di una materia per la quale essa tende a resistere al cambiamento del suo stato di moto. Ciò significa che un corpo in riposo cerca di rimanere a riposo e resistere a qualsiasi forza che cerca di metterlo in movimento, e un corpo in movimento cerca di continuare in movimento e resistere a qualsiasi forza che cerca di portarlo a cambiare l'entità del suo movimento. In termini di quantità, equivale alla forza massima che tenta di cambiare il suo stato movimento .
Impara di più riguardo Inerzia .
Formula del momento d'inerzia
Il momento di inerzia è a quantità scalare . Matematicamente, il prodotto del quadrato della massa di una particella per la distanza dall'asse di rotazione è chiamato momento di inerzia della particella attorno all'asse di rotazione.
La formula generale per trovare il momento d'inerzia di qualsiasi oggetto è:
io = signor 2
Dove,
M è la massa dell'oggetto'
R è la distanza dall'asse di rotazione
Per un corpo costituito da particelle continue infinitesimamente piccole, la forma integrale del momento d'inerzia viene utilizzata per calcolare il momento d'inerzia.
io = ∫dI
io =
int_{0}^{M} r^2 dm
Momento d'inerzia di un sistema di particelle
Il momento d'inerzia di un sistema di particelle è dato dalla formula,
io = ∑m io R io 2
Dove,
R io è la distanza perpendicolare di ithparticella dall'asse
M io è la massa di ithparticella
L'equazione del momento d'inerzia sopra dice che il momento d'inerzia per un sistema di particelle è uguale alla somma del prodotto della massa di ciascuna particella e del quadrato della distanza dall'asse di rotazione di ciascuna particella.
Per la figura riportata di seguito,
Momento d'inerzia della prima particella = m1×r12
Momento d'inerzia della seconda particella = m2×r22
Momento d'inerzia della terza particella = m3×r32
Allo stesso modo,
Momento d'inerzia di nthparticella = mN×rN2
Ora il momento di inerzia dell'intero corpo attorno all'asse di rotazione AB sarà uguale alla somma dei momenti di inerzia di tutte le particelle, quindi
io = m1×r12+ m2×r22+m3×r32+……+mN×rN2
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io = Σm io ×r io 2
Dove,
IO rappresentano il momento d'inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione
M io è la massa di ithparticella,
R io è il raggio di ithparticella
S rappresenta la somma.
Dall'equazione possiamo dire che il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un asse fisso è uguale alla somma del prodotto della massa di ciascuna particella di quel corpo e del quadrato della sua distanza perpendicolare dall'asse fisso.
Fattori che influenzano il momento di inerzia
Il momento d'inerzia di qualsiasi oggetto dipende dai seguenti valori:
- Forma e dimensione dell'oggetto
- Densità del materiale dell'oggetto
- Asse di rotazione
Come calcolare il momento di inerzia?
Vengono utilizzati diversi modi calcolare il momento d'inerzia di qualsiasi oggetto rotante.
- Per oggetti uniformi, il momento d'inerzia si calcola prendendo il prodotto della sua massa per il quadrato della sua distanza dall'asse di rotazione (r2).
- Per oggetti non uniformi, calcoliamo il momento di inerzia prendendo la somma del prodotto delle singole masse puntiformi su ciascun raggio diverso. Per questo la formula utilizzata è
io = ∑m io R io 2
Formula del momento di inerzia per forme diverse
Questa tabella discute le espressioni per il momento di inerzia per alcuni oggetti simmetrici insieme al loro asse di rotazione:
| Oggetto | Asse | Espressione del momento d'inerzia |
|---|---|---|
| Cilindro cavo a parete sottile | Centrale | Io = Sig2 |
| Anello sottile | Diametro | Io = 1/2 Sig2 |
| Anello anulare o cilindro cavo | Centrale | io = 1/2 M(r22+r12) |
| Cilindro solido | Centrale | Io = 1/2 Sig2 |
| Disco uniforme | Diametro | Io = 1/4 Sig2 |
| Sfera cava | Centrale | Io = 2/3 Sig2 |
| Sfera solida | Centrale | Io = 2/5 Sig2 |
| Guscio sferico simmetrico uniforme | Centrale | |
| Piatto uniforme o parallelepipedo rettangolare | Centrale | io = 1/12 M(a2+ b2) |
| Asta sottile | Centrale | Io = 1/12 Sig2 |
| Asta sottile | Alla fine dell'asta | Io = 1/3 Sig2 |
Raggio di rotazione
IL Raggio di rotazione di un corpo è definita come la distanza perpendicolare dall'asse di rotazione al punto di massa la cui massa è uguale alla massa dell'intero corpo e il momento di inerzia è uguale al momento di inerzia effettivo dell'oggetto così come è stato supponiamo che lì sia concentrata la massa totale del corpo. È una distanza immaginaria. Il raggio di rotazione è indicato con K.
Se la massa e il raggio di rotazione del corpo sono rispettivamente M e K, allora il momento d'inerzia di un corpo è
Io = MK 2 ……(1)
Pertanto, il raggio di rotazione di un corpo è perpendicolare all'asse di rotazione il cui quadrato moltiplicato per la massa di quel corpo dà il momento di inerzia di quel corpo attorno a quell'asse.
Sempre per l’equazione (1), K2= Io/M
K = √(I/m)
Pertanto, il raggio di rotazione di un corpo attorno ad un asse è uguale alla radice quadrata del rapporto del corpo attorno a quell'asse.
Teoremi del momento d'inerzia
Esistono due tipi di teoremi molto importanti riguardo al Momento d'Inerzia:
- Teorema degli assi paralleli
- Teorema dell'asse perpendicolare
Teorema dell'asse perpendicolare
Teorema dell'asse perpendicolare afferma che la somma del momento d'inerzia di un corpo attorno a due assi mutuamente perpendicolari situati nel piano di un corpo è uguale al momento d'inerzia del corpo attorno al terzo asse che è perpendicolare ai due assi e passante per il loro punto di intersezione.
in piedi
Nella figura sopra, BUE E LTD sono due assi nel piano del corpo perpendicolari tra loro. Il terzo asse è OZ che è perpendicolare al piano del corpo e passa per il punto di intersezione del BUE E LTD assi. Se IO X , IO E , E IO Con sono i momenti di inerzia del corpo rispetto all'asse BUE , LTD , E OZ assi rispettivamente, quindi secondo questo teorema
IO X +Io E = Io Con
Teorema degli assi paralleli
Secondo Teorema dell'asse parallelo , il momento d'inerzia di un corpo attorno a un dato asse è la somma del momento d'inerzia attorno a un asse passante per il centro di massa di quel corpo e il prodotto del quadrato della massa del corpo per la distanza perpendicolare tra i due assi.
Consideriamo la figura sopra, dobbiamo trovare il momento di inerzia di IO O del corpo passante per il punto O e rispetto all'asse perpendicolare al piano, mentre il momento d'inerzia del corpo passante per il centro di massa C e attorno ad un asse parallelo all'asse dato è IO C , quindi secondo questo teorema
IO O = Io C + ml 2
Dove
M è la massa dell'intero corpo
l è la distanza perpendicolare tra due assi.
Momenti di inerzia per oggetti diversi
Il momento d'inerzia di diversi oggetti è discusso di seguito in questo articolo
Momento d'inerzia di una piastra rettangolare
Se la massa della piastra è M, lunghezza l e larghezza b, allora il momento d'inerzia passa attraverso il centro di gravità e attorno ad un asse perpendicolare al piano della piastra.
io = M(l 2 + b 2 /12)
Momento d'inerzia di un disco
Se il disco ha massa M e raggio r, allora il momento di inerzia attorno all’asse geometrico del disco è
Io = 1/2(Sig 2 )
Momento d'inerzia di un'asta
Se la massa dell'asta è M e la lunghezza è l, allora il momento d'inerzia attorno all'asse perpendicolare alla lunghezza dell'asta e passante per il suo baricentro
Io = ML 2 /12
Momento d'inerzia di un cerchio
Se la massa dell'anello è M e il raggio dell'anello è r, allora il momento d'inerzia attorno all'asse passante perpendicolarmente al centro dell'anello è
Io = Sig 2
Momento d'inerzia di una sfera
Se una sfera solida ha massa M e raggio r, allora il momento d'inerzia attorno al suo diametro è
Io = 2/5Sig 2
Momento d'inerzia del cilindro solido
Il momento d'inerzia di un cilindro solido di raggio 'R' e massa M è dato da
I = 1/2MR 2
Momento d'inerzia del cilindro cavo
Un cilindro cavo ha due raggi: raggio interno e raggio esterno. Momento d'inerzia di un cilindro cavo di massa M e raggio esterno R1e raggio interno R2è dato come
io = 1/2M(R 1 2 +R 2 2 )
Momento d'inerzia della sfera solida
Il momento d'inerzia di una sfera solida di massa 'M' e raggio 'R' è dato come
io = 2/5MR 2
Momento d'inerzia della sfera cava
Il momento d'inerzia di una sfera cava di massa M e raggio 'R' è dato come
io = 2/3MR 2
Momento d'inerzia dell'anello
Il momento d'inerzia di un anello è dato per due casi quando l'asse di rotazione passa per il centro e quando l'asse di rotazione passa per il diametro.
Il momento d'inerzia dell'anello rispetto all'asse passante per il centro è dato da
converte la stringa in intero
Io = SIG 2
Il momento d'inerzia dell'anello rispetto all'asse passante per il diametro è dato da
Io = Sig 2 /2
Momento d'inerzia del quadrato
Il momento d'inerzia del quadrato di lato 'a' è dato da
io = a 4 /12
Il momento d'inerzia di una piastra quadrata di lato di lunghezza 'l' e massa M è dato come
io = 1/6 ml 2
Momento d'inerzia del triangolo
Il momento d'inerzia di un triangolo è dato per 3 situazioni, la prima quando l'asse passa per il centro, la seconda quando l'asse passa per la base e la terza quando l'asse è perpendicolare alla base. Vediamo la loro formula una per una. Per un triangolo di base “b” e altezza “h”, la formula per il momento d’inerzia è data come segue
Quando l'asse passa attraverso il centroide
io = bh 3 /36
Quando l'asse passa attraverso la base
io = bh 3 /12
Quando l'asse è perpendicolare alla base
I = (hb/36)(b 2 - B 1 b + b 1 2 )
Differenza tra momento di inerzia e inerzia
La differenza tra inerzia e momento di inerzia è tabellata di seguito:
| Si No. | Inerzia | Momento d'inerzia |
|---|---|---|
| 1. | La sua importanza è nel movimento lineare. | La sua importanza è nel movimento rotatorio. |
| 2. | È quella proprietà di un oggetto che si oppone al cambiamento di stato dell'oggetto in movimento lineare. | Il momento d'inerzia è quella proprietà di un oggetto che si oppone al cambiamento di stato dell'oggetto in movimento rotatorio. |
| 3. | L'inerzia di un oggetto dipende solo dalla sua massa. | Il momento d'inerzia di un oggetto dipende dalla sua massa e dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione. |
| 4. | L'inerzia di un oggetto è fissa. | Il momento di inerzia di un oggetto varia rispetto ai diversi assi di rotazione. |
Energia cinetica del corpo rotante
Ipotizziamo un corpo di massa ‘m’ che ruota con velocità v ad una distanza ‘r’ dall’asse di rotazione. La sua velocità angolare è quindi data da ω = v/r quindi v = rω. Ora sappiamo che il Energia cinetica di un corpo è dato da
KE = 1/2mv 2
⇒ KE = 1/2m(rω)2
⇒ KE = 1/2mr2OH2
⇒ KE = 1/2Iω 2
Quindi l'energia cinetica di un corpo in rotazione è data dalla metà del prodotto del momento d'inerzia per il velocità angolare del corpo. Viene anche chiamata l'energia cinetica del corpo rotante Energia cinetica rotazionale . La formula dell'energia cinetica rotazionale è data come
KE = 1/2Iω 2
Il momento d'inerzia(I) è indipendente dalla velocità angolare del corpo. È funzione della massa del corpo rotante e della distanza del corpo dall'asse di rotazione. Quindi, osserviamo che il movimento angolare è analogo al movimento lineare, ciò significa che il significato del momento d'inerzia è che dà un'idea di come le masse sono distribuite a diverse distanze dall'asse di rotazione in un corpo rotante.
Applicazione del momento di inerzia
Il momento d'inerzia ha varie applicazioni, alcune delle quali sono discusse di seguito:
- A causa del maggiore momento d'inerzia, la terra ruota attorno al proprio asse con la stessa velocità angolare.
- Sotto il motore da gioco per bambini è posizionata una piccola ruota mobile. Dopo aver sfregato questa ruota con il terreno e aver lasciato il motore, a causa del momento di inerzia della ruota, il motore continua a funzionare per un po' di tempo.
- Ogni motore è costituito da una ruota grande e pesante fissata al suo albero, con la maggior parte della sua massa sulla sua circonferenza. Pertanto, il suo momento di inerzia è elevato. Questa ruota è chiamata volano. La coppia che aziona l'albero del motore continua ad aumentare. Pertanto, la rotazione dell'albero potrebbe non essere uniforme, ma a causa della presenza di una ruota mobile con maggiore inerzia, l'albero continua a ruotare ad una velocità quasi uniforme.
- Nella ruota dei carri trainati da buoi, dei risciò, degli scooter, delle biciclette, ecc., la maggior parte della massa è concentrata sul suo cerchio o bordo. questo cerchio o routine è fissato all'asse della ruota tramite raggi rigidi. In questo modo aumenta il suo momento di inerzia. Pertanto, quando le gambe smettono di muoversi durante la pedalata, la ruota continua a girare per un certo periodo.
Inoltre, controlla
- Cinematica del moto rotatorio
- Moto di un corpo rigido
- Movimento rotatorio
Esempi risolti sui momenti di inerzia
Esempio 1: Un corpo di massa 500 g ruota attorno ad un asse. la distanza del centro di massa del corpo dall'asse di rotazione è 1,2 m. trovare il momento di inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione.
Soluzione:
Dato che M = 500 g = 0,5 kg, r = 1,2 m.
Ovviamente si può supporre che l'intera massa di un corpo sia collocata nel suo centro di massa. Quindi il momento di inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione.
Io = Sig2
io = 0,5 × (1,2)2
io = 0,72 kg m2
Esempio 2: Il raggio di rivoluzione attorno ad un asse distante 12 cm dal centro di massa di un corpo di massa 1,2 kg è 13 cm. Calcola il raggio di rivoluzione e momento d'inerzia attorno ad un asse passante per il centro di massa.
Soluzione:
Detto questo, M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, KCM=?, ioCM= ?
Dal Teorema degli Assi Paralleli I = ICM+ ml2
K2=KCM2+ l2
o KCM2=K2– l2
KCM2 = (13)2– (12)2= 25
KCM= 5
Ora, Momento di Inerzia ICM=MKCM2
IOCM= 1,0 × (0,05)2= 2,5×10-3kgm2
Esempio 3: Un corpo di massa 0,1 kg ruota attorno ad un asse. se la distanza del centro di massa del corpo dall'asse di rotazione è 0,5 m, trova il momento di inerzia del corpo.
Soluzione:
Detto questo, M = 0,1 kg e r = 0,5 m
quindi io = Sig2
io = 0,1 × (0,5)2
io = 0,025 kg m2
Esempio 4: Il momento d'inerzia degli anelli attorno ad un asse passante per il suo centro perpendicolare al piano dell'anello circolare è 200 gm cm 2 . Quale sarà il momento d'inerzia rispetto al suo diametro?
Soluzione:
Momento d'inerzia di un anello circolare attorno ad un asse passante per un altro centro perpendicolare al suo piano
SIG2= 200 g cm2
Momento d'inerzia rispetto al diametro
= 1/2 SIG2
= 1/2 × 200 = 100 g cm2
Domande frequenti sui momenti di inerzia
Come calcolare il momento di inerzia?
La formula di base per trovare il momento di inerzia di qualsiasi oggetto uniforme è:
io = signor 2
Dove,
M è la massa dell'oggetto'
R è la distanza dall'asse di rotazione
Come calcolare il momento d'inerzia di una trave?
Il momento d'inerzia di una trave lungo il centro e l'asse orizzontale ad esso viene calcolato utilizzando la formula,
nonIo = ML 2 /12
Da cosa dipende il momento d'inerzia di un corpo?
Il momento di inerzia di qualsiasi oggetto dipende dai fattori indicati di seguito:
- Massa del corpo,
- Asse di rotazione
- Forma e dimensione dell'oggetto
Cos'è l'unità del momento d'inerzia?
L'unità del Momento d'Inerzia è Kgm 2
Il momento di inerzia può essere negativo?
No, il momento di inerzia non può mai essere negativo.
Cos'è il momento di inerzia di massa?
Il momento di inerzia di massa è la misura della resistenza di un corpo al cambiamento del suo momento angolare o della sua direzione. Il momento d'inerzia di massa per un punto di massa è dato da I = mr2e per il sistema di particelle, il momento d'inerzia di massa è dato come I = ΣioMioRio2
Cos'è il momento d'inerzia dell'area?
Il momento d'inerzia dell'area è una proprietà di un piano di forma 2D che mostra come i punti sono dispersi rispetto a un asse arbitrario in un piano. Il momento d'inerzia dell'area è noto anche come secondo momento dell'area o momento quadratico dell'area. La formula per il momento d'inerzia dell'area nel piano xy è data come Ixy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA