Formule di probabilità sono importanti strumenti matematici utilizzati nel calcolo della probabilità. Prima di conoscere le formule di probabilità, dobbiamo comprendere in breve il concetto di Probabilità. La possibilità che si verifichi un evento casuale è definita dalla probabilità. Una probabilità è una possibilità di previsione. Le sue applicazioni si estendono in vari ambiti, tra cui le strategie di gioco, la creazione di previsioni basate sulla probabilità negli affari e il campo in evoluzione dell'intelligenza artificiale.

In questo articolo impareremo il significato e la definizione della formula della probabilità e come utilizzare queste formule per calcolare la probabilità. Vediamo anche vari termini legati alla Probabilità e diverse formule per risolvere facilmente problemi matematici.

Tabella dei contenuti

• Qual è la formula della probabilità?
• Termini relativi alla formula della probabilità
• Eventi nella formula della probabilità
• Diverse formule di probabilità
• Esempi sulla formula della probabilità

Qual è la formula della probabilità?

Le formule di probabilità vengono utilizzate per determinare le possibilità di un evento dividendo il numero di risultati favorevoli per il totale dei risultati possibili. Utilizzando questa formula, possiamo stimare la probabilità associata a un evento specifico.

Matematicamente, possiamo scrivere questa formula come:

P(A) = Numero di esiti favorevoli / Numero totale di esiti possibili

La formula della probabilità calcola il rapporto tra i risultati favorevoli e l'intero insieme di possibili risultati. Il valore della probabilità rientra in un intervallo compreso tra 0 e 1, a significare che i risultati favorevoli non possono superare i risultati totali e il valore negativo dei risultati favorevoli non è possibile.

Imparare,

• Probabilità in matematica
• Teoria della probabilità

Come calcolare la probabilità?

Probabilità di un evento = (Conteggio di esiti favorevoli) / (Numero totale di possibili esiti per l'evento)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Qui, P(A) indica la probabilità di un evento A, dove n(E) è il conteggio dei risultati favorevoli e n(S) è il numero totale di possibili risultati per l'evento.

Se si considera l’evento complementare, rappresentato come P(A’), che denota il non verificarsi dell’evento A, allora la formula sarà:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’), è l’opposto dell’evento A, indicando che si verifica l’evento P(A) oppure il suo complemento P(A’).

Pertanto, ora possiamo dire; P(A) + P(A’) = 1

Imparare,

• Eventi in probabilità
• Tipi di eventi in probabilità

Termini relativi alla formula della probabilità

Alcuni dei termini più comuni relativi alla formula di probabilità sono:

• Sperimentare: Un esperimento è un'azione o una procedura condotta per generare un particolare risultato.

• Spazio campione: Lo spazio campione include i potenziali risultati completi che derivano da un esperimento. Ad esempio, quando si lancia una moneta, lo spazio campionario include {testa, coda}.

• Esito favorevole: Un risultato favorevole è il risultato che si allinea con la conclusione prevista o attesa. Nel caso del lancio di due dadi, esempi di risultati favorevoli che danno come somma 4 sono (1,3), (2,2) e (3,1).

• Prova: Una prova denota l'esecuzione di un esperimento casuale.

• Esperimento casuale: UN Esperimento casuale è caratterizzato da un insieme ben definito di possibili risultati. L'esempio di esperimento casuale è il lancio di una moneta, il cui risultato potrebbe essere testa o croce. Ciò significa che il risultato sarebbe incerto.

• Evento: Un evento indica che i risultati totali provengono da un esperimento casuale.

• Eventi altrettanto probabili: Gli Eventi Ugualmente Probabili sono quegli eventi che hanno identiche probabilità di accadimento. L’esito di un evento non influisce sull’esito di un altro.

• Eventi esaustivi: Un evento esaustivo si verifica quando l'insieme di tutti i possibili risultati copre l'intero spazio campionario.

• Eventi reciprocamente esclusivi: Eventi reciprocamente esclusivi sono quelli che non possono verificarsi contemporaneamente. Ad esempio, quando lanciamo la moneta, il risultato sarà testa o croce, ma non possiamo ottenerli entrambi contemporaneamente.

Eventi nella formula della probabilità

Nella teoria della probabilità, un evento rappresenta un insieme di possibili risultati derivati ​​da un esperimento. Spesso costituisce un sottoinsieme dello spazio campionario complessivo. Se rappresentiamo la probabilità di un evento E come P(E), si applicano i seguenti principi:

Quando l'evento E è impossibile, allora P(E) = 0.

Quando l’evento E è certo, allora P(E) = 1.

La probabilità P(E) è compresa tra 0 e 1.

Consideriamo due eventi, A e B. La probabilità dell'evento A, indicata come P(A), che è maggiore della probabilità dell'evento B, P(B).

Per un particolare evento E, la formula della probabilità sarà:

P(E)= n(E)/ n(S)

Qui, n(E) rappresenta il numero di risultati favorevoli all’evento E.

n(S) denota il conteggio totale dei risultati all'interno dello spazio campionario.

Diverse formule di probabilità

Le diverse formule di probabilità sono discusse di seguito:

formatodata.formato

Formula classica della probabilità

P(A) = Numero di risultati favorevoli/Numero totale di risultati possibili

Formula della regola di addizione

Quando si tratta di un evento che è l'unione di due eventi separati, ad esempio A e B, la probabilità dell'unione sarà:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Formula della probabilità congiunta

Rappresenta gli elementi comuni che costituiscono i sottoinsiemi distinti di entrambi gli eventi A e B. La formula può essere espressa come:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Regola di aggiunta per eventi reciprocamente esclusivi

Se gli eventi A e B si escludono a vicenda, ovvero non possono verificarsi contemporaneamente, la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è pari alla somma delle rispettive probabilità.

P(A o B)=P(A)+P(B)

Formula della regola complementare

Se A è un evento, allora la probabilità che non A sia espressa dalla regola complementare:

P(non A) = 1 – P(A) oppure P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Alcune formule di probabilità basate su di essi sono le seguenti:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P(A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Formula della regola condizionale

Nel caso in cui il verificarsi dell'evento A sia già noto, la probabilità che si verifichi l'evento B, denominata probabilità condizionata. Può essere calcolato utilizzando la formula:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Probabilità (condizionata) dell'evento B quando si è verificato l'evento A.

P (A/B): Probabilità (condizionata) dell'evento A quando si è verificato l'evento B.

Formula della frequenza relativa

La formula della frequenza relativa si basa sulle frequenze osservate nei dati del mondo reale. Questa formula è data come

P(A) = Numero di volte in cui si verifica l'evento A/Numero totale di prove o osservazioni

Formula di probabilità con la regola della moltiplicazione

Nelle situazioni in cui un evento rappresenta il verificarsi simultaneo di altri due eventi, indicati come eventi A e B, le probabilità che entrambi gli eventi si verifichino simultaneamente possono essere calcolate utilizzando queste formule:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (in caso di eventi indipendenti)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (in caso di eventi dipendenti)

Evento disgiunto

Gli eventi disgiunti sono eventi che non si verificano mai nello stesso momento. Questi sono anche noti come eventi mutuamente esclusivi.

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P(A∩B) = 0

Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes calcola la probabilità dell'evento A dato il verificarsi dell'evento B. La formula del Teorema di Baye è data come

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Imparare, Teorema di Bayes

Formula della probabilità dipendente

Le probabilità dipendenti sono eventi che sono influenzati dal verificarsi di altri eventi. La formula per la probabilità dipendente è:

P(B e A) = P(A)×P(B | A)

Formula della probabilità indipendente

Le probabilità indipendenti sono eventi che non sono influenzati dal verificarsi di altri eventi. La formula della probabilità indipendente è:

P(A e B) = P(A)×P(B)

Formula della probabilità binominale

La formula della probabilità binomiale è data come

P(x) = ^N C _X · P ^X (1 - p) ^n−x oppure P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^R (1 - p) ^n−r

Dove, n = numero totale di eventi

r o x = numero totale di eventi riusciti.

p = Probabilità di successo in una singola prova.

^NC_R= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Probabilità di fallimento.

Imparare, Distribuzione binomiale

Formula della probabilità normale

La formula della probabilità normale è data da:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

Imparare, Distribuzione normale

Formula della probabilità sperimentale

La formula per la probabilità sperimentale è;

Probabilità P(x) = Numero di volte in cui si verifica un evento/Numero totale di prove.

Formula della probabilità teorica

La formula della probabilità teorica è:

P(x) = Numero di risultati favorevoli/Numero di risultati possibili.

Formula della probabilità della deviazione standard

La formula standard della probabilità di deviazione è data come

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Formula della probabilità di Bernoulli

Una variabile casuale X avrà distribuzione di Bernoulli con probabilità p, la formula è,

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1-x , per x = 0, 1 e P(X = x) = 0 per altri valori di x

Qui, 0 è il fallimento e 1 è il successo.

Imparare, Distribuzione Bernoulli

Classe Formula di probabilità 10

Nella Classe 10, dobbiamo studiare la probabilità di base come la probabilità di lanciare una moneta, lanciare 2 monete, lanciare 3 monete, lanciare un dado, lanciare due dadi, probabilità di estrarre una carta da un mazzo ben mescolato. Tutte queste domande possono essere risolte con una sola formula. La Formula di probabilità Classe 10 è data come

P(E) = n(E)/n(s)

Dove,

P(E) è la probabilità di un evento

n(E) è il numero di prove in cui si è verificato l'evento

n(S) è il numero di spazio campione

Formula della probabilità per la Classe 12

Le varie formule utilizzate nella Classe di probabilità 12 sono elencate di seguito:

Inoltre, controlla

• Probabilità del lancio della moneta
• Probabilità della carta
• Formule statistiche

Esempi sulla formula della probabilità

Esempio 1: scegli una carta a caso da un mazzo standard. Qual è la probabilità di pescare una carta con un volto femminile?

Soluzione:

In un mazzo standard contenente 52 carte: Totale risultati possibili = 52

Il numero di eventi favorevoli (considerando solo le regine come volti femminili) = 4

Pertanto, la probabilità P(A) viene calcolata utilizzando la formula:

P(A) = Numero di risultati favorevoli ÷ Numero totale di risultati

= 4/52

= 1/13.

Esempio 2: Se la probabilità dell'evento E, indicata come P(E)=0,35, qual è la probabilità dell'evento complementare 'non E'?

Soluzione:

Dato che P(E)=0,35, possiamo usare la formula della probabilità complementare:

P(E) + P(non E) = 1

Sostituendo il valore noto:

P(non E) = 1 – P(E)

P(non E) = 1 – 0,35

Quindi, P(non E) = 0,65

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Esempio 3: Gli incendi pericolosi sono molto rari intorno all'1%, ma il fumo è abbastanza comune intorno al 20% a causa dei barbecue. Trova l'incendio pericoloso quando l'80% degli incendi pericolosi produce fumo.

Soluzione:

Probabilità di incendio pericoloso in presenza di fumo utilizzando il teorema di Bayes:

P(Fuoco|Fumo) = {P(Fuoco)P(Fuoco)}/P(Fumo)

P(Fuoco)=0,01(1%) e P(Fumo|Fuoco)= 0,80 (80%), possiamo sostituire questi valori:

P(Fuoco | Fumo)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Fuoco | Fumo)=0,018/0,30

(Fuoco | Fumo)= 0,06 = 6%.

Esempio 4: All'interno di un sacchetto ci sono 2 lampadine verdi, 4 lampadine arancioni e 6 lampadine bianche. Quando si sceglie casualmente un bulbo dal sacchetto, qual è la probabilità di prendere un bulbo verde o uno bianco?

Soluzione:

Il numero totale di lampadine nella confezione è 2 verdi + 4 arancioni + 6 bianche = 12 lampadine

Numero di lampadine verdi = 2 e numero di lampadine bianche = 6

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Probabilità = (Numero di lampadine verdi + Numero di lampadine bianche) / Numero totale di lampadine

Probabilità = (2+6)/12

Probabilità = 8/12

Probabilità = 2/3.

Domande pratiche sulla formula della probabilità

Q1. Da una raccolta di biglie in un sacchetto (8 rosse, 9 blu e 6 verdi) vengono scelte casualmente due biglie senza reinserimento. Qual è la probabilità che entrambe le biglie scelte siano blu?

Q2. In un cassetto contenente 6 penne nere, 4 penne blu e 7 penne rosse, si estrae una penna a caso. Qual è la probabilità che la penna sia nera o blu?

Q3. Pescando una carta da un mazzo di 52 carte accuratamente mescolato, determina la probabilità che la carta:

• Sii un re.
• Non essere un re.

Q4. Secondo un sondaggio, il 70% delle persone apprezza il cioccolato e tra gli appassionati di cioccolato il 60% apprezza anche la vaniglia. Qual è la probabilità che a un individuo piaccia la vaniglia, data la sua passione per il cioccolato?

Q5. Determinare la probabilità che esca un numero dispari lanciando un dado a sei facce.

Formula della probabilità – Domande frequenti

1. Qual è il significato di probabilità?

La possibilità che si verifichi un evento casuale è definita dalla probabilità. Una probabilità è una possibilità di previsione.

2. Qual è il significato della formula della probabilità?

Le formule di probabilità vengono utilizzate per determinare le possibilità di un evento dividendo il numero di risultati favorevoli per il totale dei risultati possibili. Il valore della probabilità rientra in un intervallo compreso tra 0 e 1, a significare che i risultati favorevoli non possono superare i risultati totali e il valore negativo dei risultati favorevoli non è possibile.

3. Qual è il significato della notazione U e ∩ in Probabilità?

Il simbolo U in probabilità denota una distribuzione uniforme. D'altra parte, il simbolo ∩ indica l'intersezione di insiemi. In termini più semplici, l'intersezione di due insiemi è l'insieme più esteso che coinvolge tutti gli elementi condivisi da entrambi gli insiemi.

4. Qual è la formula convenzionale per calcolare la probabilità?

La probabilità di un evento = (Conteggio dei risultati favorevoli) / (Numero totale di possibili risultati per l'evento)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Qui, P(A) indica la probabilità di un evento A, dove n(E) è il conteggio dei risultati favorevoli e n(S) è il numero totale di possibili risultati per l'evento.

5. Cos'è la formula complementare?

Se A è un evento, allora la probabilità che non A sia espressa dalla regola complementare:

P(non A) = 1 – P(A) oppure P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Cos'è l'evento disgiunto?

Gli eventi disgiunti sono eventi che non si verificano mai nello stesso momento. Questi sono anche noti come eventi mutuamente esclusivi.

P(A∩B) = 0.

7. Cos'è il teorema di Bayes?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Il Teorema di Bayes calcola la probabilità che si verifichi l’evento A dato che si verifica l’evento B.

8. Cos'è la formula condizionale?

Nel caso in cui il verificarsi dell'evento A sia già noto, la probabilità che si verifichi l'evento B, denominata probabilità condizionata. Può essere calcolato utilizzando la formula:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Probabilità (condizionata) dell'evento B quando si è verificato l'evento A.

P (A/B): Probabilità (condizionata) dell'evento A quando si è verificato l'evento B.

9. Quali sono alcuni esempi di probabilità nella vita reale?

Le previsioni del tempo, i giochi di carte, il voto politico, i giochi di dadi, il lancio di una moneta, ecc. sono alcuni esempi di probabilità