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Regola trapezoidale

La regola trapezoidale è una delle regole fondamentali di integrazione che viene utilizzata per definire la definizione di base di integrazione. È una regola ampiamente utilizzata e la regola del trapezio è chiamata così perché calcola l'area sotto la curva dividendo la curva in piccoli trapezi invece che in rettangoli.

Generalmente troviamo l'area sotto la curva dividendo l'area in rettangoli più piccoli e poi trovando la somma di tutti i rettangoli, ma nella regola del trapezio l'area sotto la curva viene divisa in trapezi, e poi si calcola la loro somma. La regola trapezoidale viene utilizzata per trovare il valore degli integrali definiti nell'analisi numerica. Questa regola è anche chiamata regola del trapezio o regola del trapezio. Impariamo di più sulla regola trapezoidale, sulla sua formula e dimostrazione, sull'esempio e altro in dettaglio in questo articolo.

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Qual è la regola del trapezio?

La regola trapezoidale è una regola che viene utilizzata per trovare il valore dell'integrale definito della formaB∫UNf(x)dx. Sappiamo che il valore dell'integrale definitoB∫UNf(x) dx è l'area racchiusa sotto la curva y = f(x) e l'asse x nell'intervallo aeb sull'asse x. Calcoliamo quest'area dividendo l'area completa in diversi piccoli rettangoli e quindi calcolando la loro somma.



Nella regola del trapezio, come suggerisce il nome, l'area sotto la curva viene divisa in diversi trapezi e quindi la loro somma viene calcolata per ottenere l'area della curva. La regola trapezoidale non fornisce la migliore approssimazione dell'area sotto la curva rispetto alla regola di Simpson, ma il suo risultato è comunque sufficientemente preciso e questa regola è ampiamente utilizzata nel calcolo infinitesimale.

Formula della regola trapezoidale

La formula della regola trapezoidale è la formula utilizzata per trovare l'area sotto la curva. Ora per trovare l'area sotto la curva usando la regola del trapezio,

Sia y = f(x) una curva continua definita sull'intervallo chiuso [a, b]. Ora dividiamo l'intervallo chiuso [a, b] in n sottointervalli uguali, ciascuno avente larghezza di,

Δx = (b – a)/n

Tale che,

un = x0 1 2<⋯ N= b

Ora utilizzando la formula della regola trapezoidale possiamo trovare l'area sotto la curva come,

∫BUNf(x) dx = Area sotto la curva = (Δx/2) [y0+2 (e1+ e2+ e3+ ….. + en-1) + yN]

dove, sì0, E1, E2,…. ENsono i valori della funzione in x = 1, 2, 3, ….., n rispettivamente.

Derivazione della formula della regola trapezoidale

La formula della regola trapezoidale per calcolare l'area sotto la curva si ottiene dividendo l'area sotto la curva in diversi trapezi e quindi calcolando la loro somma.

Dichiarazione:

Sia f(x) una funzione continua definita sull'intervallo (a, b). Ora dividiamo gli intervalli (a, b) in n sottointervalli uguali dove la larghezza di ciascun intervallo è,

Δx = (b – a)/n

tale che a = x0 1 2 3<…..N= b

Quindi la formula della regola trapezoidale è:

∫BUNf(x)dx ≈ △x/2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) +….2f(xn-1) + f(xN)]

dove, xio= a + i△x

Se n → ∞, la destra dell'espressione dà l'integrale definito int_{a}^{b}f(x) dx

Prova:

Questa formula viene dimostrata dividendo l'area sotto la curva data come mostrato nella figura sopra in vari trapezi. Il primo trapezio ha altezza Δx e la lunghezza delle basi parallele è f(x0) e f(x1)

L'area del primo trapezio = (1/2) Δx [f(x0) + f(x1)]

Allo stesso modo, l’area dei rimanenti trapezi è (1/2)Δx [f(x1) + f(x2)], (1/2)Δx [f(x2) + f(x3)], e così via.

Ora possiamo dire che,

∫BUNf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x0)+f(x1) ) + (1/2)Δx (f(x1)+f(x2) ) + (1/2)Δx (f(x2)+f(x3) ) + … + (1/2)Δx (f(xn-1) + f(xN) )

Dopo aver semplificato otteniamo,

∫BUNf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+ … +2f(xn-1) + f(xN))

La regola trapezoidale è quindi dimostrata.

Come applicare la regola trapezoidale?

La regola del trapezio trova l'area sotto la curva dividendo l'area sotto la curva in vari trapezi e poi calcola la somma di tutti i trapezi. La regola trapezoidale non è l'approssimazione perfetta del valore dell'integrale definito poiché utilizza l'approssimazione quadratica.

Dobbiamo trovare il valore dell'integrale definito, ∫BUNf(x)dx. Il valore dell'integrale definito può essere calcolato utilizzando la regola trapezoidale seguendo i passaggi seguenti,

Passo 1: Segna il valore dei sottointervalli n e degli intervalli a e b.

Passo 2: Trova la larghezza del sottointervallo (△x) utilizzando la formula △x = (b – a)/n

Passaggio 3: Inserisci tutti i valori nella formula della regola trapezoidale e trova l'area approssimativa della curva data che rappresenta l'integrale definito ∫BUNf(x)dx

∫ B UN f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x 0 )+2f(x 1 )+2f(x 2 )+2f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x N ))

Dove, X io = a + i△x

Notazione della sommatoria della regola trapezoidale

Sappiamo che l'area di un trapezio è sostanzialmente la media delle lunghezze dei lati paralleli moltiplicata per l'altezza. Quindi, in questo caso, considera un trapezio per la ithintervallo,

A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Poiché l’area totale è la somma di tutte le aree,

A = A1+A2+….+ AN

⇒ A = somma_{i = 1}^{i = n} A_{i}

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Questa è chiamata notazione sigma o notazione sommatoria delle somme trapezoidali.

Somme di Riemann

Il Riemann riassume il lavoro sull'idea di dividere l'area sotto la curva in diverse parti rettangolari. All'aumentare del numero di rettangoli, l'area si avvicina sempre di più all'area corrente. Nella figura mostrata sotto, c'è una funzione f(x). L'area sotto questa funzione è divisa in molti rettangoli. L'area totale sotto la curva è la somma delle aree di tutti i rettangoli.

Somme di Riemann (a destra)

Notare che nella figura sopra, l'estremità destra dei rettangoli tocca la curva. Questa si chiama somma di Riemann destra.

In un altro caso, quando l'estremità sinistra dei rettangoli tocca la curva come mostrato nell'immagine sottostante, vengono chiamate somme di Riemann sinistre.

Somme di Riemann (a sinistra)

Diciamo che Δx è la larghezza dell'intervallo e la larghezza n è il numero di intervalli come indicato sopra. Quindi l'area della curva rappresentata dalla somma è data da,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}

Somme del punto medio

Nelle somme di Riemann, l'estremità sinistra o l'estremità destra del rettangolo tocca la curva. In questo caso, il punto medio del rettangolo tocca la curva. Tutto il resto è uguale alle somme di Riemann. La figura seguente mostra la funzione f(x) e diversi rettangoli nelle somme dei punti medi.

Somme del punto medio

Diciamo Aiodenota l'area della ithrettangolo. L'area di questo rettangolo in questo caso sarà,

A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x

Ora, l'area totale nella notazione di somma sarà data da,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}

Per saperne di più,

Esempio risolto sulla regola trapezoidale

Esempio 1: Trova l'area racchiusa dalla funzione f(x) tra x = 0 e x = 4 con 4 intervalli.

f(x) = 4

Soluzione:

Qui a = 0, b = 4 e n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regola trapezoidale per n = 4 è,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Sostituendo i valori in questa equazione,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4 ) + 4) = 16

Esempio 2: Trova l'area racchiusa dalla funzione f(x) tra x = 0 e x = 3 con 3 intervalli.

f(x) = x

Soluzione:

Qui a = 0, b = 3 e n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regola trapezoidale per n = 3 è,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Sostituendo i valori in questa equazione,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Freccia destra T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6

Esempio 3: Trova l'area racchiusa dalla funzione f(x) tra x = 0 e x = 2 con 2 intervalli.

f(x) = 2x

Soluzione:

Qui a = 0, b = 2 e n = 2.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regola trapezoidale per n = 2 è,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))

Sostituendo i valori in questa equazione,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4

Esempio 4: Trova l'area racchiusa dalla funzione f(x) tra x = 0 e x = 3 con 3 intervalli.

f(x) = x 2

Soluzione:

Qui a = 0, b = 3 e n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regola trapezoidale per n = 3 è,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Sostituendo i valori in questa equazione,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14

Esempio 5: Trova l'area racchiusa dalla funzione f(x) tra x = 0 e x = 4 con 4 intervalli.

f(x) = x 3 +1

Soluzione:

Qui a = 0, b = 4 e n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regola trapezoidale per n = 4 è,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Sostituendo i valori in questa equazione,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72

Esempio 6: Trova l'area racchiusa dalla funzione f(x) tra x = 0 e x = 4 con 4 intervalli.

f(x) = e X

Soluzione:

Qui a = 0, b = 4 e n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

La regola trapezoidale per n = 4 è,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

il computer ha inventato quale anno

Sostituendo i valori in questa equazione,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}

Applicazioni della regola del trapezio

Integrazione numerica:

L'applicazione principale della regola trapezoidale è nell'approssimazione degli integrali definiti. Viene utilizzato quando l'integrazione di una funzione è impegnativa e un approccio numerico è più fattibile. La regola trapezoidale fa spesso parte di tecniche di integrazione numerica più avanzate.

Fisica e Ingegneria:

In fisica e ingegneria, la regola trapezoidale può essere applicata per calcolare quantità come spostamento, velocità e accelerazione. Ad esempio, quando i dati sperimentali vengono raccolti a intervalli di tempo discreti, è possibile utilizzare la regola trapezoidale per stimare l'area sotto la curva, fornendo un'approssimazione dell'integrale.

Economia e Finanza:

La regola trapezoidale può essere applicata nella modellazione finanziaria per stimare il valore attuale dei futuri flussi di cassa. Ciò è particolarmente utile nell'analisi dei flussi di cassa scontati (DCF), in cui l'obiettivo è calcolare il valore attuale netto di un investimento.

Statistiche:

In statistica, la regola trapezoidale può essere utilizzata per stimare l'area soggetta a funzioni di densità di probabilità o funzioni di distribuzione cumulativa. Ciò è particolarmente utile nei casi in cui la forma esatta della distribuzione è sconosciuta o complessa.

Domande frequenti sulla regola trapezoidale

Q1: Cos'è la regola trapezoidale?

Risposta:

La regola del trapezio è la regola utilizzata per trovare l'integrale definito: divide l'area sotto la curva in più trapezi, quindi viene trovata la loro area individuale e quindi viene calcolata la somma per ottenere il valore dell'integrale definito.

Q2: Qual è la formula della regola trapezoidale?

Risposta:

La formula della regola trapezoidale è:

∫ B UN f(x) dx = (Δx/2) (f(x 0 )+2f(x 1 )+2f(x 2 )+2f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x N ))

Q3: Perché si chiama formula della regola trapezoidale?

Risposta:

La formula della regola trapezoidale è chiamata regola trapezoidale perché divide l'area sotto la curva in diversi trapezi e quindi la loro area viene calcolata trovando la somma dei trapezi.

Q4: Qual è la differenza tra la regola trapezoidale e la regola delle somme di Riemann?

Risposta:

La differenza principale tra la regola trapezoidale e la regola delle somme di Riemann è che, poiché la regola trapezoidale divide l'area sotto la curva come i trapezi e quindi trova l'area prendendo la loro somma, mentre la regola delle somme di Riemann divide l'area sotto la curva come trapezio e quindi trova l'area eseguendo la loro somma.